Fiche d’exercices de Optimisation avec corrigé

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 30 cm × 30 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.

Un enclos rectangulaire est clôturé avec 144 m de clôture et divisé en deux parties par une clôture supplémentaire parallèle aux côtés de longueur x (au total, trois clôtures de longueur x et deux de longueur y). Trouvez la plus grande aire totale A que l’on peut clôturer.

Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 32000 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez la hauteur h.

Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 500 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez le côté du fond x.

Une entreprise vend q unités par semaine. Le prix auquel elle peut les vendre est p = 140 − 0,1q euros par unité, et le coût vaut C(q) = 14400 + 20q euros. Trouvez la production hebdomadaire q qui maximise le bénéfice.

Une petite entreprise vend son produit au prix de marché fixe de 25 € par unité. Produire q unités coûte C(q) = 700 + 4q + 0,1q² euros. Trouvez le bénéfice maximal P.