Fiche d’exercices de Optimisation avec corrigé

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 48 cm × 48 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton rectangulaire de 15 cm × 24 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.

Une boîte de conserve cylindrique fermée (avec un couvercle et un fond) doit contenir 1000 cm³. La quantité de métal utilisée est proportionnelle à l’aire totale. Trouvez la plus petite aire possible A.

Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 62500 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez l’aire minimale S.

Un théâtre vend 1040 billets par représentation à 12 € l’unité. Une étude de marché montre que chaque hausse de 1 € du prix du billet fait vendre 40 billets de moins (et chaque baisse de 1 €, 40 de plus). Trouvez le prix du billet p qui maximise la recette.

Une petite entreprise vend son produit au prix de marché fixe de 40 € par unité. Produire q unités coûte C(q) = 500 + 20q + 0,1q² euros. Trouvez le bénéfice maximal P.