Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + s³ + 5s² + 12s + 6. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 10/(s + 10) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −30.

Le procédé G(s) = (s + 1)/((s − 2)(s + 2)) a un pôle instable en s = 2. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

La boucle du schéma fonctionne avec K = 38,4 et L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 8)/((s + 5)(s + 1)(s + 6)(s + 4)). Trouvez le point σ_a où les asymptotes du lieu des racines coupent l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 4)(s + 12)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.