Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
R(s)+81s(s + 4)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 8/(s(s + 4)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ωd.

L(s) = 8/(s(s + 4))
ωd = rad/s
2.Facile
s³15s²a25s¹(5·a − 25)/as⁰25

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 5s + 25 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 5s + 25 = 0
a =
3.Moyen
R(s)+Ks + 8s(s + 2)(s + 3)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 8)/(s(s + 2)(s + 3)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 8)/(s(s + 2)(s + 3))
Kmax =
4.Moyen
R(s)+51s(s + 4)(s + 8)C(s)+

La boucle du schéma utilise une contre-réaction positive, avec L(s) = 5/(s(s + 4)(s + 8)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

L(s) = 5/(s(s + 4)(s + 8))
N =
5.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12−14−162j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 14)/(s(s + 7)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −7, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de jonction si.

L(s) = K(s + 14)/(s(s + 7))
si =
6.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2−1,5

Pour la boucle L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)), trouvez le gain K qui place un pôle en boucle fermée en s = −1,5.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))s = −1,5
K =

Corrigé

  1. 1. ωd = 2 rad/s
  2. 2. a = 5
  3. 3. Kmax = 10
  4. 4. N = 1
  5. 5. si = −23,9
  6. 6. K = 19,13

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