Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Un régulateur proportionnel de gain K = 2 commande le procédé G(s) = 1/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

Pour le polynôme caractéristique Q(s) = 3s³ + s² + 6s + 5, trouvez l’élément b₁ de la première colonne sur la ligne s¹ du tableau de Routh.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 9)/(s(s + 1)(s + 3)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le procédé G(s) = (s + 5)/((s − 4)(s + 2)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Pour L(s) = K/((s + 8)(s² + 4s + 5)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 8)/(s(s + 5)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −5, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.