AP Calculus अभ्यास प्रश्न: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

इष्टतमीकरण

विधि: Q(x) को एक चर में लिखें, Q′(x) = 0 हल करें, Q″ या अंत्य बिंदु जाँचें
उच्चिष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
निम्निष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
बंद बेलन: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
लाभ: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^2x ज्ञात कीजिए। दशमलव मान दें।

f(x) = (1 + 1/x)^2xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x² ज्ञात कीजिए।

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x·sin(x), x रेडियन में। f′(1) ज्ञात करें।

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.अवकलजकठिन

f(x) = 3x² − 2x + 2 की x = −2 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = 3x² − 2x + 2x = −2

b =

5.इष्टतमीकरणमध्यम

वर्गाकार आधार वाले एक खुले डिब्बे (बिना ढक्कन) में 4000 cm³ आना चाहिए। सबसे कम संभव सामग्री का उपयोग करें, अर्थात आधार और चारों भुजाओं का सबसे छोटा क्षेत्रफल। ऊँचाई h ज्ञात कीजिए।

V = 4000 cm³

h = cm

6.इष्टतमीकरणकठिन

एक छोटी फ़र्म अपना उत्पाद €55 प्रति इकाई के स्थिर बाज़ार मूल्य पर बेचती है। q इकाइयाँ बनाने की लागत C(q) = 1300 + 42q + 0.02q² यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला उत्पादन q ज्ञात कीजिए।

p = €55C = 1300 + 42q + 0.02q²

q = इकाइयाँ

7.समाकलमध्यम

I = ∫₀^π/2 x·sin x dx का मान निकालिए (x रेडियन में)।

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.समाकलकठिन

परवलय y = 1 − x² और x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।

y = 1 − x²

A =

9.अवकल समीकरणमध्यम

y(0) = 5 और y′(0) = 6 के साथ y″ + 8y′ + 15y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = 6

y(1) =

10.अवकल समीकरणकठिन

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + y′ + 4.25y = 4.25 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। उसकी पग अनुक्रिया का शिखर मान y_max ज्ञात कीजिए।

y″ + y′ + 4.25y = 4.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

घात श्रेणी Σ_k=1^∞ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)² की अभिसरण त्रिज्या R ज्ञात करें।

Σ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)²x₀ = 3

R =

12.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(x) = eˣ का सन्निकटन x = 2 पर घात n के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! और M = 8 के साथ वह सबसे छोटी घात n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0005 से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0.0005

n =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = 7.389

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

लघुगणक लें

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

मान निकालें

u → 0 पर ln(1 + u)/u → 1, इसलिए x·ln(1 + a/x) → a।

ln L = 2·1 = 2

लघुगणक हटाएँ

L = e² = 7.389

उत्तर

L = 7.389

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 0.5

पहला प्रयोग

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

दूसरा प्रयोग

1·e^−x/2

x = 0 रखें

L = 1·1/2 = 0.5

उत्तर

L = 0.5

3.अवकलज

उत्तर: f′(1) = 1.382

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल और शृंखला नियम

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

मान रखें

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

उत्तर

f′(1) = 1.382

4.अवकलज

उत्तर: b = −10

बिंदु और ढाल

f(−2) = 18

f′(x) = 6x − 2 → f′(−2) = −14

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − (−14)·(−2) = −10

उत्तर

b = −10

5.इष्टतमीकरण

उत्तर: h = 10 cm

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

x के फलन के रूप में क्षेत्रफल

S(x) = x² + 16000/x

अवकलज को शून्य रखें

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।

x³ = 8000 → x = 20 cm

ऊँचाई और क्षेत्रफल

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

उत्तर

h = 10 cm

सबसे अच्छा खुला डिब्बा जितना चौड़ा है उससे आधा ऊँचा होता है।

6.इष्टतमीकरण

उत्तर: q = 325 इकाइयाँ

लाभ फलन

P(q) = 55q − (1300 + 42q + 0.02q²) = −0.02q² + 13q − 1300

अवकलज को शून्य रखें

P″(q) = −0.04 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।

13 − 0.04q = 0 → q = 325

अधिकतम लाभ

P = 13·325 − 0.02·325² − 1300 = €812.5

उत्तर

q = 325

7.समाकल

उत्तर: I = 1

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

u और dv चुनें

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

प्रतिअवकलज

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

सीमाएँ

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

उत्तर

I = 1

8.समाकल

उत्तर: A = 1.333

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

शून्यक

1 − x² = 0 → x = ±1

समाकलन करें

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

उत्तर

A = 1.333

9.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 0.701

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 5, −3A − 5B = 6

A = 15.5, B = −10.5

मान निकालें

y(1) = 15.5·e⁻³ + (−10.5)·e⁻⁵ = 0.701

उत्तर

y(1) = 0.701

10.अवकल समीकरण

उत्तर: y_max = 1.456

स्थिर मान और मूल

y_ss = 1, r = −0.5 ± 2j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0.5A + 2B = 0 → B = −0.25

शिखर

t = π/2 = 1.571

y_max = 1·(1 + e^−0.5·π/2) = 1.456

उत्तर

y_max = 1.456

11.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: R = 0.25

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

गुणांक

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, इसलिए R = 1/4

त्रिज्या

R = 0.25

उत्तर

R = 0.25

अनुपात परीक्षण दोनों अंत बिंदुओं पर कुछ नहीं कहता; उन्हें अलग से जाँचना होता है।

12.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: n = 10

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

बढ़ते n के लिए सीमाएँ

n = 9: 0.002257 ≥ 0.0005

n = 10: 0.0004105 < 0.0005

सबसे छोटी घात

n = 10

उत्तर

n = 10

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