वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 47, 17, 25, 48, 46।
n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 100 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 300 से कम है?
μ = 500σ = 100x = 300
P =
3.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.3, 0.35, 0.05
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €1 है। आप प्रायिकता 0.1 से €4 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €50; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €1€4: p = 0.1€50: p = 0.02
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 148.8 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6< 148.8 kg
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
15 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 1.1 और मानक विचलन 3.7 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n = 15d̄ = 1.1sd = 3.790%t(14) = 1.761
E = mmHg
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 5 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?
σ = 5E = 299%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 75.76 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 75x̄ = 75.76s = 4n = 81
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 70.9 है। समष्टि मानक विचलन 15 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 70.9σ = 15n = 6495%
U =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 9 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 9
ŷ =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 14.54
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 183/5 = 36.6
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 10.4² + (−19.6)² + (−11.6)² + 11.4² + 9.4² = 845.2
मानक विचलन
s = √(845.2/4) = 14.54
उत्तर
s = 14.54
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.02275
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −2
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
उत्तर
P = 0.02275
3.प्रायिकता
उत्तर: Var(X) = 0.8275
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.3 + 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.05 = 1.15
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.05 = 2.15
प्रसरण
Var(X) = 2.15 − 1.15² = 0.8275
उत्तर
Var(X) = 0.8275
4.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = 0.4 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 3 (p = 0.1), 49 (p = 0.02), −1 (p = 0.88)
प्रत्याशित मान
E(G) = 3·0.1 + 49·0.02 − 1·0.88 = 0.4 €
उत्तर
E(G) = 0.4 €
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.1635
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
कुल का बंटन
μT = 150 kg, σT = 0.5·√6 = 1.225 kg
मानकीकृत करें
z = (148.8 − 150)/1.225 = −0.98
प्रायिकता
P = Φ(−0.98) = 0.1635
उत्तर
P = 0.1635
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 254.2 g
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
वापस x पर
x = 250 + 0.8416·5 = 254.21 g
उत्तर
x = 254.21 g
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 1.682 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 14, t = 1.761
त्रुटि सीमा
E = 1.761·3.7/√15 = 1.682
उत्तर
E = 1.682 mmHg
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 42
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (2.576·5/2)² = 41.47
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 42
उत्तर
n = 42
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.71
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
परीक्षण सांख्यिकी
t = (75.76 − 75)/0.4444 = 1.71
उत्तर
t = 1.71
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 74.58
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.96·15/√64 = 3.675
अंतराल सीमा
U = 70.9 + 3.675 = 74.58
उत्तर
U = 74.58
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9899
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 137/6 = 22.83
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 203
Syy = Σ(y − ȳ)² = 600.8
सहसंबंध गुणांक
r = 203/√(70·600.8) = 0.9899
उत्तर
r = 0.9899
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 104.9
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 548/6 = 91.33
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 474
समाश्रयण रेखा
b = 474/70 = 6.771
a = 91.33 − 6.771·7 = 43.93
ŷ = 43.93 + 6.771·x
पूर्वानुमान
ŷ = 43.93 + 6.771·9 = 104.9
उत्तर
ŷ = 104.9
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