सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
सीमा L = limx→∞ (√(x2 + 5x) − x) ज्ञात कीजिए।
सीमा L = limx→0 (1 − cos 5x)/(4x²) ज्ञात कीजिए, x रेडियन में।
मान लें f(x) = x·sin(3x), x रेडियन में। f′(1) ज्ञात करें।
मान लें f(x) = x3 + 7.5x2 + 12x + 1। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।
एक बंद बेलनाकार डिब्बे (ऊपर और नीचे सहित) में 250 cm³ आना चाहिए। प्रयुक्त धातु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सबसे छोटा संभव पृष्ठीय क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।
एक कंपनी प्रति सप्ताह q इकाइयाँ बेचती है। जिस मूल्य पर वह उन्हें बेच सकती है वह p = 180 − 0.5q यूरो प्रति इकाई है, और लागत C(q) = 1500 + 80q यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला साप्ताहिक उत्पादन q ज्ञात कीजिए।
I = ∫₁1.5 x·ln x dx का मान निकालिए।
परवलय y = 1 − x² और x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।
उत्तर: L = 2.5
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
उत्तर: L = 3.125
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
उत्तर: f′(1) = −2.829
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
उत्तर: x = −1
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
f″(x) = 6x + 15: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।
उत्तर: A = 219.7 cm²
इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।
A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।
सबसे सस्ता बंद डिब्बा जितना चौड़ा है उतना ही ऊँचा होता है: h = 2r।
उत्तर: q = 100 इकाइयाँ
इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।
P″(q) = −1 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।
उत्तर: I = 0.1436
खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।
उत्तर: A = 1.333
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
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