कलन 1: अभ्यास प्रश्न और परीक्षा प्रश्न

अवकलज और समाकल: अवकलन के नियम, स्पर्श रेखाओं और इष्टतमीकरण जैसे अनुप्रयोग, और समाकलन की मुख्य तकनीकें।

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क्रैम पैक (PDF)सूत्र-पत्रक, विधि के चरण और पूरे हल सहित अभ्यास प्रश्न, प्रिंट करने के लिए तैयार।

इस कोर्स के विषय

  1. सीमाएँप्रत्यक्ष प्रतिस्थापन और गुणनखंडन · अनंत पर सीमाएँ · लोपिताल का नियमगणनाएँ
  2. अवकलजघात नियम · शृंखला और गुणनफल नियम · स्पर्शरेखाएँ और चरम मानगणनाएँ
  3. इष्टतमीकरणअधिकतम क्षेत्रफल या आयतन · न्यूनतम लागत या सामग्री · लाभ और राजस्वगणनाएँ
  4. समाकलबहुपद · चरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन · वक्रों के बीच क्षेत्रफलगणनाएँ

कलन 1 के लिए परीक्षा सुझाव

  • श्रृंखला नियम पूरा लिखें: बाहरी फलन का अवकलज गुणा भीतरी फलन का अवकलज।
  • समाकल की जाँच अपने उत्तर का अवकलन करके करें।
  • निश्चित समाकल में प्रतिस्थापन से सीमाएँ भी बदल जाती हैं।

हल किए गए उदाहरण

सीमाएँआसान
xyx = 1

सीमा L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1) ज्ञात कीजिए।

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

ज्ञात करें: L

संकेत दिखाएँ
  1. प्रतिस्थापन से 0/0 मिलता है। अंश का गुणनखंड करें।
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ

अंश → 0 और हर → 0, इसलिए रूप 0/0 है।

गुणनखंड करें और काटें

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

मान रखें

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

उत्तर

L = 4

यह x = a पर xⁿ का अवकलज है: n·aⁿ⁻¹।

अवकलजमध्यम
xyx = 1

मान लें f(x) = x3·e−x। f′(1) ज्ञात करें।

f(x) = x3·e−xx = 1

ज्ञात करें: f′(1)

संकेत दिखाएँ
  1. u = x3 और v = e−x के साथ गुणनफल नियम।
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल नियम

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

मान रखें

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

उत्तर

f′(1) = 0.7358

अभ्यास कैसे काम करता है

  • “इस कोर्स का अभ्यास करें” असली परीक्षा की तरह इसके सभी विषयों के प्रश्न मिलाकर देता है।
  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • मॉक परीक्षाओं में समय सीमा होती है और कोई संकेत नहीं मिलता; अंत में आपको अपना स्कोर और पूरी समीक्षा मिलती है।

इस कोर्स के कैलकुलेटर

चरणों सहित अवकलज कैलकुलेटरसमाकल कैलकुलेटर (निश्चित और अनिश्चित)

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