इष्टतमीकरण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त इष्टतमीकरण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: अधिकतम क्षेत्रफल या आयतन, न्यूनतम लागत या सामग्री, लाभ और राजस्व।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
नदीxxy

एक किसान के पास एक सीधी नदी के किनारे एक आयताकार खेत घेरने के लिए 240 m बाड़ है। नदी के किनारे बाड़ की आवश्यकता नहीं है। घेरा जा सकने वाला सबसे बड़ा क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

240 m2x + y = 240
m²
अगला प्रश्न →
इष्टतमीकरण का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी इष्टतमीकरण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानअधिकतम क्षेत्रफल या आयतन
  2. मध्यमन्यूनतम लागत या सामग्री
  3. कठिनलाभ और राजस्व

मुख्य सूत्र

विधि
Q(x) को एक चर में लिखें, Q′(x) = 0 हल करें, Q″ या अंत्य बिंदु जाँचें
उच्चिष्ठ
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
निम्निष्ठ
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
बंद बेलन
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
लाभ
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

इष्टतमीकरण शुरू से सीखें

इससे पहले: अवकलज

1अनुकूलन क्या है

अनुकूलन का अर्थ है सर्वोत्तम मान ढूँढना: दी गई बाड़ की लंबाई के लिए सबसे बड़ा क्षेत्रफल, डिब्बे के लिए सबसे कम धातु, या सबसे अधिक लाभ।

जिस राशि को आप यथासंभव बड़ा या छोटा बनाना चाहते हैं वह एक चर पर निर्भर करती है, उदाहरण के लिए खेत की चौड़ाई x।

उसके ग्राफ़ की कल्पना कीजिए। पहाड़ी की चोटी पर और घाटी की तली में ग्राफ़ एक क्षण के लिए सपाट होता है। इसलिए वहाँ ढाल शून्य होता है।

यही मुख्य विचार है: उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ पर अवकलज 0 होता है। आप सर्वोत्तम x Q′(x) = 0 हल करके पाते हैं।

स्व-जाँच किसी खेत का क्षेत्रफल A(x) x = 12 पर सबसे बड़ा है। A′(12) क्या है?
  1. 0
  2. A(12) के बराबर
  3. एक ऋणात्मक संख्या
  4. एक धनात्मक संख्या

उत्तर: 0. ग्राफ़ के शीर्ष पर स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है, इसलिए ढाल 0 है। धनात्मक ढाल का अर्थ है कि क्षेत्रफल अभी बढ़ रहा है।

2लक्ष्य और प्रतिबंध

हर अनुकूलन समस्या के दो भाग होते हैं। कुछ भी गणना करने से पहले उनके नाम बताइए।

  • लक्ष्य: वह राशि जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना है, जैसे क्षेत्रफल A या लागत C।
  • प्रतिबंध: कोई निश्चित शर्त, जैसे बाड़ की कुल लंबाई या वह आयतन जो डिब्बे को धारण करना है।

लक्ष्य में आमतौर पर दो चर होते हैं, उदाहरण के लिए A = x · y। इसका अवकलन आप अभी नहीं कर सकते।

प्रतिबंध का उपयोग करके y को x के पदों में लिखिए। तब लक्ष्य केवल x पर निर्भर करता है।

उदाहरण: 20 m परिमाप वाले आयत में 2x + 2y = 20 है, इसलिए y = 10 − x और A(x) = x(10 − x) = 10x − x²।

पहले रेखाचित्र बनाइए और उस पर हर लंबाई लिखिए। अधिकांश गलतियाँ प्रतिबंध में होती हैं।

स्व-जाँच नदी के किनारे का खेत तीन ओर से 40 m बाड़ से घेरा गया है: लंबाई x की दो भुजाएँ और नदी के समांतर एक भुजा y। प्रतिबंध क्या है?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

उत्तर: 2x + y = 40. तीन बाड़ें हैं: x, x और y। नदी वाली ओर बाड़ की ज़रूरत नहीं। 2x + 2y पूरे आयत के लिए होता, जिसकी चारों भुजाओं पर बाड़ हो।

3लागत और लाभ की समस्याएँ

व्यापार संबंधी समस्याओं में लक्ष्य लाभ होता है: आय में से लागत घटाना।

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

यहाँ q बिकी इकाइयों की संख्या है और p प्रति इकाई मूल्य। यदि मूल्य q पर निर्भर हो, तो पहले उस सूत्र को R में रखिए।

उदाहरण: मूल्य p = 60 − q है और लागत C = 100 + 30q।

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

तब सर्वोत्तम मूल्य p = 60 − 15 = €45 है। प्रश्न ध्यान से पढ़िए: वह q, p या स्वयं लाभ P पूछ सकता है।

स्व-जाँच एक उत्पाद €40 प्रति इकाई पर बिकता है। q इकाइयों की लागत C = 100 + 10q + 0.5q² यूरो है। किस उत्पादन q पर लाभ सबसे अधिक होता है?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

उत्तर: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0.5q², इसलिए P′ = 30 − q = 0 और q = 30। 0.5q² का अवकलन करते समय 2 भूल जाने पर 60 मिलता है।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. रेखाचित्र बनाइए और चरों के नाम रखिए।
  2. लक्ष्य Q (क्षेत्रफल, लागत, लाभ) और प्रतिबंध लिखिए।
  3. प्रतिबंध का उपयोग करके Q को एक चर के फलन Q(x) के रूप में लिखिए।
  4. अवकलन कीजिए और Q′(x) = 0 हल कीजिए।
  5. जाँचिए कि यह सही प्रकार का बिंदु है: उच्चिष्ठ के लिए Q″ < 0, निम्निष्ठ के लिए Q″ > 0।
  6. पूछे गए प्रश्न का उत्तर दीजिए: x, दूसरी भुजा, या स्वयं Q का सर्वोत्तम मान, मात्रक सहित।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक किसान के पास सीधी नदी के किनारे आयताकार खेत के लिए 60 m की बाड़ है। नदी के किनारे बाड़ की ज़रूरत नहीं है। नदी के समांतर भुजा y और सबसे बड़ा क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

1

रेखाचित्र और प्रतिबंध

xxyA

नदी ऊपर है, इसलिए केवल तीन भुजाओं पर बाड़ चाहिए: दो भुजाएँ x और एक भुजा y।

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

एक चर में क्षेत्रफल

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

अवकलज को शून्य रखें

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

क्या यह उच्चिष्ठ है?

A″(x) = −4 < 0

द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, इसलिए x = 15 m सबसे बड़ा क्षेत्रफल देता है।

xA(15, 450)1530
5

दूसरी भुजा और क्षेत्रफल

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

उत्तर जाँचें

दोनों ओर एक-एक मान आज़माइए। x = 14 से 14 · 32 = 448 m² और x = 16 से 16 · 28 = 448 m² मिलता है। दोनों 450 m² से छोटे हैं।

उत्तर

y = 30 m और सबसे बड़ा क्षेत्रफल A = 450 m² है।

6सामान्य गलतियाँ

  • गलत राशि का उत्तर देना: प्रश्न y पूछता है, और आप x बताते हैं।
  • ऐसे लक्ष्य का अवकलन करना जिसमें अब भी दो चर हों। पहले प्रतिबंध का उपयोग कीजिए।
  • गलत प्रतिबंध लिखना, उदाहरण के लिए नदी वाली ओर भी बाड़ लगाना।
  • यह न जाँचना कि बिंदु उच्चिष्ठ है या निम्निष्ठ।
  • मात्रक भूल जाना, या क्षेत्रफल को m² के बजाय m में देना।
स्व-जाँच नदी के किनारे 40 m बाड़ (2x + y = 40) के साथ सर्वोत्तम चौड़ाई x = 10 m है। प्रश्न नदी के समांतर भुजा y पूछता है। आप क्या उत्तर देते हैं?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

उत्तर: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m। 10 m उत्तर देना y की जगह x देता है, और 200 m² क्षेत्रफल है, भुजा नहीं।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: अधिकतम क्षेत्रफल या आयतन, जैसे नदी के किनारे का खेत या अतिरिक्त बाड़ से बँटा बाड़ा।
  • मध्यम: न्यूनतम लागत या सामग्री, जैसे बंद डिब्बा (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) या प्रति मीटर दो कीमतों वाली बाड़।
  • कठिन: लाभ और आय। P = R − C बनाइए, P′(q) = 0 हल कीजिए, फिर मूल्य या अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।

एक त्वरित जाँच: अपने उत्तर से थोड़ा ऊपर और थोड़ा नीचे का मान Q में रखिए। दोनों बदतर होने चाहिए।

ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखेंऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
x18 cm18 cmx

18 cm × 18 cm की एक वर्गाकार गत्ते की चादर के चारों कोनों से भुजा x के बराबर वर्ग काटकर और किनारों को मोड़कर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। सबसे बड़ा संभव आयतन V ज्ञात कीजिए।

18 cm × 18 cm

ज्ञात करें: V (cm³)

संकेत दिखाएँ
  1. आधार (18 − 2x) गुणा (18 − 2x) है और ऊँचाई x है।
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. केवल 0 < x < 9 वाला मूल अर्थपूर्ण है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

x के फलन के रूप में आयतन

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

अवकलज को शून्य रखें

बड़ा मूल आधार भुजा ≤ 0 देता है, इसलिए यह अनुमत परास से बाहर है।

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 या x = 9
x = 3 cm

आयतन

V = 3·12·12 = 432 cm³

उत्तर

V = 432 cm³
उदाहरण 2मध्यम
rh

एक बंद बेलनाकार डिब्बे (ऊपर और नीचे सहित) में 400 cm³ आना चाहिए। प्रयुक्त धातु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सबसे छोटा संभव पृष्ठीय क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

V = 400 cm³

ज्ञात करें: A (cm²)

संकेत दिखाएँ
  1. h हटाने के लिए आयतन का उपयोग करें: πr²h = 400, इसलिए h = 400/(πr²)।
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

r के फलन के रूप में क्षेत्रफल

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

अवकलज को शून्य रखें

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

ऊँचाई और क्षेत्रफल

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

उत्तर

A = 300.5 cm²

सबसे सस्ता बंद डिब्बा जितना चौड़ा है उतना ही ऊँचा होता है: h = 2r।

उदाहरण 3कठिन
p (€)R(p)10अभी

एक थिएटर प्रति शो €10 प्रति टिकट पर 580 टिकट बेचता है। बाज़ार अनुसंधान दिखाता है कि टिकट मूल्य में हर €1 की वृद्धि से 20 टिकट कम बिकते हैं (और हर €1 की कमी से 20 अधिक)। प्रति शो अधिकतम राजस्व R ज्ञात कीजिए।

580 × €1020 / €1

ज्ञात करें: R (€)

संकेत दिखाएँ
  1. मूल्य p पर बिके टिकट: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p।
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

कीमत के फलन के रूप में राजस्व

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

अवकलज को शून्य रखें

R″(p) = −40 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।

p = 780/40 = €19.5

अधिकतम राजस्व

n = 780 − 20·19.5 = 390
R = 19.5·390 = €7605

उत्तर

R = €7605

प्रश्न और उत्तर

इष्टतमीकरण क्या है?

अनुकूलन का अर्थ है सर्वोत्तम मान ढूँढना: दी गई बाड़ की लंबाई के लिए सबसे बड़ा क्षेत्रफल, डिब्बे के लिए सबसे कम धातु, या सबसे अधिक लाभ।

जिस राशि को आप यथासंभव बड़ा या छोटा बनाना चाहते हैं वह एक चर पर निर्भर करती है, उदाहरण के लिए खेत की चौड़ाई x।

इष्टतमीकरण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

इष्टतमीकरण में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • आधार की हर भुजा दोनों सिरों पर एक वर्ग खोती है, इसलिए आधार की भुजाएँ a − 2x और b − 2x हैं, a − x और b − x नहीं।
  • डिब्बा बंद है: ऊपर और नीचे दोनों गिनें, A = 2πr² + 2πrh।
  • यह वर्तमान मूल्य पर राजस्व है। पहले वह मूल्य ज्ञात करें जहाँ R′(p) = 0 है।
इष्टतमीकरण के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: अधिकतम क्षेत्रफल या आयतन
  • मध्यम: न्यूनतम लागत या सामग्री
  • कठिन: लाभ और राजस्व

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

अवकलज

इस विषय वाले कोर्स

कलन 1AP Calculus अभ्यास प्रश्न

गणित और सांख्यिकी में और विषय

सीमाएँअवकलजसमाकलअनुक्रम और श्रेणियाँबहुचर कलनअवकल समीकरणसम्मिश्र संख्याएँसंख्यात्मक विधियाँआव्यूह और सारणिकसदिश: अदिश और सदिश गुणनफलप्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँसमुच्चय, संबंध और फलनग्राफ़ सिद्धांतसंख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितप्रायिकतावर्णनात्मक सांख्यिकीप्रसामान्य बंटनविश्वास्यता अंतरालपरिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालरैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकाई-वर्ग परीक्षण

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित इष्टतमीकरण वर्कशीट
इष्टतमीकरण का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी इष्टतमीकरण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।