काई-वर्ग परीक्षण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त काई-वर्ग परीक्षण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: समंजन सुष्ठुता, स्वतंत्रता परीक्षण, क्रांतिक मान से निर्णय।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
एक मिठाई निर्माता तालिका में दिखाए गए रंग अनुपातों का दावा करता है। 200 मिठाइयों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श प्रेक्षित गणनाएँ देता है। H₀: दावा किए गए अनुपात सही हैं के लिए काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता प्रतिदर्शज χ² निकालिए।
काई-वर्ग परीक्षण (χ²) गणनाओं की तुलना करता है। यह पूछता है कि आपकी प्रेक्षित गणनाएँ अपेक्षित गणनाओं से संयोग से ज़्यादा भिन्न हैं या नहीं।
उदाहरण: आप एक पासा 60 बार फेंकते हैं। यदि वह निष्पक्ष है, तो हर फलक लगभग 60 · 1/6 = 10 बार आना चाहिए। ये अपेक्षित गणनाएँ E हैं।
आप 8, 12, 9, 11, 6 और 14 देखते हैं। ये प्रेक्षित गणनाएँ O हैं। ये निष्पक्ष पासे के लिए भी कभी ठीक 10 नहीं होतीं। प्रश्न यह है कि क्या ये बहुत ज़्यादा दूर हैं।
हर परिकल्पना परीक्षण की तरह, H₀ कहता है कि कुछ विशेष नहीं हो रहा: पासा निष्पक्ष है, या दो चर स्वतंत्र हैं।
स्व-जाँच यह जाँचने के लिए कि पासा निष्पक्ष है या नहीं, उसे 120 बार फेंका जाता है। हर फलक की अपेक्षित गणना कितनी है?
1/6
120
20
6
उत्तर: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20। प्रायिकता 1/6 कोई गणना नहीं है; आपको उसे फेंकों की संख्या से गुणा करना होगा।
2परीक्षण प्रतिदर्शज
हर श्रेणी के लिए अंतर O − E लें, उसका वर्ग करें, और E से भाग दें। फिर सभी श्रेणियों पर जोड़ें:
χ² = Σ (O − E)² / E
वर्ग करने से हर पद धनात्मक हो जाता है। E से भाग देने पर 4 का अंतर तब ज़्यादा मायने रखता है जब केवल 10 अपेक्षित थे, उस स्थिति से जब 1000 अपेक्षित थे।
इस समंजन-उत्कृष्टता परीक्षण के लिए स्वातंत्र्य कोटि df = k − 1 है, जहाँ k श्रेणियों की संख्या है। छह फलकों से df = 5 मिलता है।
बड़ा χ² बताता है कि आँकड़े H₀ से बुरी तरह मेल खाते हैं। यदि χ² सारणी के क्रांतिक मान से बड़ा हो, तो H₀ को अस्वीकार करें। α = 0.05 पर:
df 1: 3.841, df 2: 5.991, df 3: 7.815
df 4: 9.488, df 5: 11.070, df 6: 12.592
पासे के लिए 4.2, 11.070 से कम है, इसलिए यह मानने का कोई प्रमाण नहीं है कि वह अनिष्पक्ष है।
स्व-जाँच एक श्रेणी में O = 14 और E = 10 है। यह χ² में क्या जोड़ती है?
0.4
1.6
16
4
उत्तर: 1.6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1.6। वर्ग करना भूल जाने पर 0.4 आता है, और E से भाग देना भूल जाने पर 16।
3स्वतंत्रता का परीक्षण
एक आकस्मिकता सारणी मामलों को एक साथ दो चरों के अनुसार गिनती है, जैसे उपचार (पंक्तियाँ) और परिणाम (स्तंभ)। H₀: दोनों चर स्वतंत्र हैं।
यदि वे स्वतंत्र हैं, तो हर कोष्ठ की अपेक्षित गणना कुल योगों से निकलती है:
E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग
फिर χ² उसी सूत्र से निकाला जाता है, सारणी के हर कोष्ठ पर, कुल योगों को छोड़कर।
df = (r − 1)(c − 1)
यहाँ r पंक्तियों की संख्या है और c स्तंभों की, कुल योगों को छोड़कर। 2×2 सारणी के लिए df = 1 होता है।
स्व-जाँच कुल योग 120 वाली एक सारणी में एक कोष्ठ का पंक्ति योग 40 और स्तंभ योग 30 है। उसकी अपेक्षित गणना कितनी है?
10
1200
3
70
उत्तर: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10। 1200 में कुल योग से भाग देना भूल गए हैं।
4विधि चरण-दर-चरण
H₀ लिखें: दावा किए गए अनुपात सही हैं (समंजन-उत्कृष्टता), या चर स्वतंत्र हैं।
हर अपेक्षित गणना निकालें: E = n · p, या पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग।
हर कोष्ठ के लिए (O − E)²/E निकालें। χ² पाने के लिए सबको जोड़ें।
df ज्ञात करें: समंजन-उत्कृष्टता के लिए k − 1, स्वतंत्रता के लिए (r − 1)(c − 1)।
α = 0.05 पर उस df के लिए क्रांतिक मान देखें।
यदि χ² क्रांतिक मान से बड़ा हो तो H₀ को अस्वीकार करें। निष्कर्ष शब्दों में लिखें।
जाँच: हर पंक्ति और स्तंभ की अपेक्षित गणनाओं का योग प्रेक्षित गणनाओं के योग के बराबर आता है।
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
एक परीक्षण में 120 रोगियों को नई दवा दी जाती है (पंक्ति A) और 100 को प्लेसीबो (पंक्ति B)। स्तंभ 1 में सुधरे हुए रोगियों की गणना है, स्तंभ 2 में न सुधरने वालों की। α = 0.05 पर जाँचें कि परिणाम उपचार से स्वतंत्र है या नहीं।
1
सारणी पढ़ें
पंक्ति योग: 120 और 100। स्तंभ योग: 110 और 110। कुल योग: 220।
एक पासा निष्पक्ष है या नहीं, यह परखने के लिए उसे 300 बार फेंका जाता है। हर फलक की गणनाएँ दिखाई गई हैं। H₀: हर फलक की प्रायिकता 1/6 है के लिए काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता प्रतिदर्शज χ² निकालिए।
n = 300k = 6
ज्ञात करें: χ²
संकेत दिखाएँ
H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाएँ: हर श्रेणी के लिए E = n·p।
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
सभी श्रेणियों पर (O − E)²/E जोड़ें।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
df = 5। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 11.070 है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है।
उदाहरण 2मध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1802 × 2
ज्ञात करें: χ²
संकेत दिखाएँ
हर कोष्ठिका की अपेक्षित गणना: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग।
E = 32, 48 | 40, 60.
सभी 4 कोष्ठिकाओं पर (O − E)²/E जोड़ें।
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काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
धूम्रपान करने वाले: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
धूम्रपान न करने वाले: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।
उदाहरण 3कठिन
2 पंक्तियों और 6 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?
2 × 6
ज्ञात करें: df
संकेत दिखाएँ
स्वातंत्र्य कोटि गिनती है कि योग (और कोई आकलित प्राचल) तय होने के बाद कितनी कोष्ठिकाएँ स्वतंत्र रूप से बदल सकती हैं।
समंजन सुष्ठुता: k − 1, हर आकलित प्राचल के लिए एक कम।
स्वतंत्रता: (r − 1)(c − 1)।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
उत्तर
df = 5
प्रश्न और उत्तर
काई-वर्ग परीक्षण क्या है?
काई-वर्ग परीक्षण (χ²) गणनाओं की तुलना करता है। यह पूछता है कि आपकी प्रेक्षित गणनाएँ अपेक्षित गणनाओं से संयोग से ज़्यादा भिन्न हैं या नहीं।
उदाहरण: आप एक पासा 60 बार फेंकते हैं। यदि वह निष्पक्ष है, तो हर फलक लगभग 60 · 1/6 = 10 बार आना चाहिए। ये अपेक्षित गणनाएँ E हैं।
काई-वर्ग परीक्षण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
काई-वर्ग परीक्षण में आम गलतियाँ क्या हैं?
हर वर्गित अंतर को प्रेक्षित गणना O से नहीं, अपेक्षित गणना E से भाग दें।
जोड़ने से पहले हर वर्गित अंतर को उसकी अपनी अपेक्षित गणना E से भाग दें, कुल को n से नहीं।
अपेक्षित गणनाएँ सीमांत योगों से आती हैं, कुल को बराबर बाँटने से नहीं: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग।
काई-वर्ग परीक्षण के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: समंजन सुष्ठुता
मध्यम: स्वतंत्रता परीक्षण
कठिन: क्रांतिक मान से निर्णय
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।