सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: परिमाण और घटक मध्यम: अदिश गुणनफल कठिन: सदिश गुणनफल और आघूर्ण हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: परिमाण और घटक, अदिश गुणनफल, सदिश गुणनफल और आघूर्ण।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

सदिश a = (6, −5, 9) का परिमाण |a| ज्ञात कीजिए।

a = (6, −5, 9)

अगला प्रश्न →

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल का मुफ़्त अभ्यास करें अभी सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानपरिमाण और घटक
मध्यमअदिश गुणनफल
कठिनसदिश गुणनफल और आघूर्ण

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल के प्रश्न कैसे हल करें

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

सामान्य गलतियाँ

घटकों के बजाय परिमाणों को जोड़ना।
सदिश गुणनफल के बीच वाले (y) घटक का चिह्न गलत करना।
आघूर्ण में r = A − O के बजाय बिंदु की स्थिति का उपयोग करना।
चतुर्थांश जाँचे बिना arctan लेना।

मुख्य सूत्र

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल शुरू से सीखें

1सदिश क्या है

कुछ राशियों को केवल एक संख्या चाहिए: 5 kg का द्रव्यमान या 20 °C का तापमान। ये अदिश हैं।

अन्य राशियों को दिशा भी चाहिए। ऊपर धकेलता 40 N का बल बगल में धकेलते 40 N से बहुत भिन्न है। ये सदिश हैं।

आप सदिश का वर्णन उसके घटकों से करते हैं: वह x के अनुदिश, y के अनुदिश और z के अनुदिश कितनी दूर पहुँचता है। सदिश a = (4, 3, 0) x के अनुदिश 4 इकाई, y के अनुदिश 3 और z के अनुदिश 0 पहुँचता है।

बल, विस्थापन और वेग सभी सदिश हैं। इंजीनियर बल जोड़ने, कोण ज्ञात करने और तीन विमाओं में आघूर्ण निकालने के लिए सदिश गणित का उपयोग करते हैं।

सदिश घटक-दर-घटक जुड़ते हैं: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4)। इसी तरह आप कई बलों का परिणामी ज्ञात करते हैं।

स्व-जाँच सदिश a = (3, 4, 0) की लंबाई क्या है?

उत्तर: 5. लंबाई √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5 है। घटकों को जोड़ना (7) गलत है क्योंकि वे लंबवत हैं, और 25 वर्गमूल भूल जाता है।

2लंबाई, दिशा और घटक

परिमाण |a| सदिश की लंबाई है। यह तीन विमाओं में पाइथागोरस है:

|a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)

इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है और वह उसी दिशा में संकेत करता है। आप हर घटक को परिमाण से भाग देकर उसे पाते हैं:

û = a / |a|

a = (0, 3, 4) के लिए परिमाण 5 है, इसलिए û = (0, 0.6, 0.8)। जाँच: 0.6² + 0.8² = 1।

xy-तल में बल अक्सर परिमाण F और कोण θ के रूप में दिया जाता है, जो धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। उसके घटक हैं:

F_x = F·cos θ F_y = F·sin θ

कोज्या और ज्या चिह्न अपने-आप दे देते हैं। 120° पर बल का x-घटक ऋणात्मक होता है क्योंकि cos 120° = −0.5।

घटकों से वापस कोण पाने पर, arctan(R_y/R_x) केवल −90° और 90° के बीच उत्तर देता है। यदि R_x ऋणात्मक हो, तो 180° जोड़िए। यदि केवल R_y ऋणात्मक हो, तो 360° जोड़िए।

स्व-जाँच a = (0, 3, 4) की दिशा में इकाई सदिश का y-घटक क्या है?

0.12
0.43
0.6
3

उत्तर: 0.6. परिमाण 5 से भाग दीजिए: 3/5 = 0.6। 3 भाग देना भूल गया, 0.12 |a|² = 25 से भाग देता है, और 0.43 घटकों के योग (7) से भाग देता है।

3अदिश गुणनफल और सदिश गुणनफल

दो सदिशों को गुणा करने के दो तरीके हैं। अदिश गुणनफल (डॉट गुणनफल) एक संख्या देता है। सदिश गुणनफल (क्रॉस गुणनफल) एक नया सदिश देता है।

a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ

यहाँ θ दो सदिशों के बीच का कोण है। डॉट गुणनफल मापता है कि सदिश कितना एक ही दिशा में संकेत करते हैं। लंबवत होने पर वह शून्य होता है।

कोण: cos θ = a·b / (|a|·|b|)।
b पर a का अदिश प्रक्षेप (a का b के अनुदिश भाग): a·b / |b|।
किसी विस्थापन पर अचर बल द्वारा किया गया कार्य: W = F·d।
दो सदिश लंबवत होते हैं जब a·b = 0।

क्रॉस गुणनफल a × b एक सदिश है जो a और b दोनों के लंबवत है। उसकी लंबाई उस समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे दोनों सदिश बनाते हैं।

a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)

a = (1, 2, 0) और b = (3, 1, 0) के लिए: a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5)। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 5 है और त्रिभुज का उसका आधा, 2.5।

क्रम मायने रखता है: b × a = −(a × b)। बिंदु A पर कार्य करते बल F का बिंदु O के परितः आघूर्ण M = r × F है, जहाँ r = A − O।

स्व-जाँच a = (2, 1, 0) और b = (1, 4, 0) के लिए, a × b का z-घटक क्या है?

6
7
9
−7

उत्तर: 7. z-घटक = a_xb_y − a_yb_x = 2·4 − 1·1 = 7। −7 b × a है (क्रम बदला हुआ), 6 डॉट गुणनफल है, और 9 दोनों गुणनफलों को घटाने के बजाय जोड़ता है।

4विधि चरण-दर-चरण

हर सदिश को घटकों में लिखिए। परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग कीजिए।
यदि प्रश्न बिंदु देता है, तो उनसे सदिश बनाइए: A से B तक का सदिश B − A है।
तय कीजिए कि आपको कौन-सा उपकरण चाहिए। लंबाई और दिशा: परिमाण और इकाई सदिश। कोण, प्रक्षेप और कार्य: डॉट गुणनफल। क्षेत्रफल, लंबवत सदिश और आघूर्ण: क्रॉस गुणनफल।
पहले सूत्र लिखिए, फिर संख्याएँ एक-एक घटक करके रखिए। चिह्नों को कोष्ठक में रखिए।
परिणाम जाँचिए: इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है, a × b, a के लंबवत होता है (इसलिए a·(a × b) = 0), और सदिशों के बीच का कोण 0° और 180° के बीच होता है।

दो सदिशों के लंबवत इकाई सदिश के लिए, n = a × b लीजिए और उसे उसकी लंबाई से भाग दीजिए। यदि प्रश्न धनात्मक z-घटक चाहता है और आपका ऋणात्मक है, तो सभी चिह्न उलट दीजिए।

किनारों a, b और c वाले डिब्बे (समांतर षट्फलक) का आयतन |a·(b × c)| है: पहले क्रॉस गुणनफल, फिर डॉट गुणनफल।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक अचर बल F = (6, 2, −3) N किसी वस्तु को बिंदु A(1, 0, 2) से बिंदु B(3, 4, 2) तक सीधी रेखा में धकेलता है। निर्देशांक मीटर में हैं। बल द्वारा किया गया कार्य W और बल तथा विस्थापन के बीच का कोण θ ज्ञात कीजिए।

विस्थापन बनाइए

विस्थापन A से B तक का सदिश है: अंत में से आरंभ घटाइए।

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m

डॉट गुणनफल से कार्य

कार्य बल और विस्थापन का डॉट गुणनफल है। संगत घटकों को गुणा करके जोड़िए।

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J

दोनों परिमाण

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N

|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4.472 m

कोण

डॉट गुणनफल के दूसरे रूप F·d = |F|·|d|·cos θ का उपयोग कीजिए और cos θ के लिए हल कीजिए।

cos θ = 20 / (7 · 4.472) = 0.6389

θ = arccos 0.6389 ≈ 50.3°

उत्तर जाँचें

कार्य धनात्मक है, इसलिए कोण 90° से कम होना चाहिए, और वह है।

गति के अनुदिश बल का भाग |F|·cos θ = 7 · 0.6389 ≈ 4.47 N है। दूरी 4.472 m से गुणा करने पर फिर 20 J मिलता है।

उत्तर

W = 20 J और θ ≈ 50.3°।

6सामान्य गलतियाँ

घटकों के बजाय परिमाणों को जोड़ना। समकोण पर लगे 3 N और 4 N के दो बल 5 N देते हैं, 7 N नहीं।
आघूर्ण में r = A − O की जगह बिंदु के निर्देशांकों का उपयोग करना।
क्रॉस गुणनफल के मध्य (y) घटक का चिह्न गलत लेना। वह a_zb_x − a_xb_z है, उलटा नहीं।
क्रॉस गुणनफल में क्रम बदल देना। b × a, a × b से विपरीत दिशा में संकेत करता है।
यह जाँचे बिना कि सदिश किस चतुर्थांश में है, दिशा के लिए arctan लेना।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए ½ भूल जाना: वह |AB × AC| का आधा है।

स्व-जाँच बल F = (0, 10, 0) N बिंदु A(3, 0, 0) m पर कार्य करता है। O(1, 0, 0) m के परितः उसके आघूर्ण का परिमाण क्या है?

10 N·m
20 N·m
30 N·m
40 N·m

उत्तर: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, इसलिए M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m। स्वयं बिंदु A को r लेने पर 30 N·m मिलता है, A + O से 40 N·m, और अकेले O से 10 N·m।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: परिमाण और घटक। सदिश की लंबाई, इकाई सदिश का एक घटक, परिमाण और कोण से दिए गए बल का एक घटक, या दो बलों के परिणामी का परिमाण या दिशा।
मध्यम: डॉट गुणनफल। एक डॉट गुणनफल, दो सदिशों के बीच का कोण, अदिश प्रक्षेप, दो बिंदुओं के बीच बल द्वारा किया गया कार्य, या k का वह मान जो दो सदिशों को लंबवत बनाए।
कठिन: क्रॉस गुणनफल और आघूर्ण। a × b का एक घटक, समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज का क्षेत्रफल, किसी बिंदु के परितः बल का आघूर्ण, इकाई अभिलंब सदिश, या त्रिक गुणनफल से डिब्बे का आयतन।

लंबवतता के प्रश्न के लिए a·b = 0 रखिए। यह k में एक रैखिक समीकरण देता है।

शीर्ष A, B और C वाले त्रिभुज के लिए, किनारा सदिश AB = B − A और AC = C − A का उपयोग कीजिए। क्षेत्रफल ½·|AB × AC| है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

xy-तल में एक बिंदु पर दो बल कार्य करते हैं: F₁ = 110 N, 0° पर और F₂ = 190 N, 135° पर, दोनों धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापे गए। उनके परिणामी की दिशा φ, धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापकर (0° और 360° के बीच), ज्ञात कीजिए।

F₁ = 110 N, θ₁ = 0°F₂ = 190 N, θ₂ = 135°

ज्ञात करें: φ (°)

संकेत दिखाएँ

हर बल को x- और y-घटकों में बाँटें।
x-घटकों और y-घटकों को अलग-अलग जोड़ें।
Rₓ = −24.35 N, R_y = 134.4 N.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Vectors: a vector a = (a_x, a_y, a_z) has magnitude |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components F_x = F·cos θ and F_y = F·sin θ. Vectors add component by component.

परिणामी के घटक

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24.35 N

R_y = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134.4 N

दिशा

Rₓ ऋणात्मक है, इसलिए परिणामी दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में है: कैलकुलेटर के कोण में 180° जोड़ें।

arctan(R_y/Rₓ) = arctan(134.4/−24.35) = −79.73°

φ = 100.3°

उत्तर

φ = 100.3°

उदाहरण 2मध्यम

k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिश a = (−4, −4, 0) और b = (k, 6, 4) लंबवत हैं।

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

ज्ञात करें: k

संकेत दिखाएँ

लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है।
k को अज्ञात लेकर a·b = 0 लिखें और रैखिक समीकरण हल करें।
(−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

अदिश गुणनफल शून्य के बराबर

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0

−24 + (−4)·k = 0

k के लिए हल करें

k = −(−24)/(−4) = −6

उत्तर

k = −6

उदाहरण 3कठिन

कोनों A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) और C(1, 4, −4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए। निर्देशांक मीटर में हैं।

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

ज्ञात करें: A (m²)

संकेत दिखाएँ

एक ही कोने से दो भुजा सदिश बनाएँ: AB = B − A और AC = C − A।
क्षेत्रफल ½·|AB × AC| है।
AB × AC = (−5, −11, −36).

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

भुजा सदिश

AB = B − A = (−1, 7, −2)

AC = C − A = (4, 8, −3)

सदिश गुणनफल

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 7·(−3) − (−2)·8 = −5

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·8 − 7·4 = −36

|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37.97

त्रिभुज का क्षेत्रफल

A = ½·37.97 = 18.99 m²

उत्तर

A = 18.99 m²

प्रश्न और उत्तर

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल क्या है?

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल में आम गलतियाँ क्या हैं?

घटकों के बजाय परिमाणों को जोड़ना।
सदिश गुणनफल के बीच वाले (y) घटक का चिह्न गलत करना।
आघूर्ण में r = A − O के बजाय बिंदु की स्थिति का उपयोग करना।
चतुर्थांश जाँचे बिना arctan लेना।

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: परिमाण और घटक
मध्यम: अदिश गुणनफल
कठिन: सदिश गुणनफल और आघूर्ण

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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