सीमाएँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: सीमाएँ क्या है?

सीमा उस मान को बताती है जिसके निकट फलन पहुँचता है जब x किसी संख्या के निकट आता है। ठीक उसी संख्या पर क्या होता है, इससे फ़र्क नहीं पड़ता। मान 2 के और निकट आते जाते हैं। हम लिखते हैं:

Q: सीमाएँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

Q: सीमाएँ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन और गुणनखंडन मध्यम: अनंत पर सीमाएँ कठिन: लोपिताल का नियम हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त सीमाएँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन और गुणनखंडन, अनंत पर सीमाएँ, लोपिताल का नियम।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

सीमा L = lim_x→9 (√x − 3)/(x − 9) ज्ञात कीजिए।

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9

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सीमाएँ का मुफ़्त अभ्यास करें अभी सीमाएँ का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानप्रत्यक्ष प्रतिस्थापन और गुणनखंडन
मध्यमअनंत पर सीमाएँ
कठिनलोपिताल का नियम

मुख्य सूत्र

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

सीमाएँ शुरू से सीखें

1सीमा क्या है

सीमा उस मान को बताती है जिसके निकट फलन पहुँचता है जब x किसी संख्या के निकट आता है। ठीक उसी संख्या पर क्या होता है, इससे फ़र्क नहीं पड़ता।

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) लीजिए। x = 1 पर आपको 0/0 मिलता है, जिसका कोई मान नहीं है। पर आप 1 के निकट की संख्याएँ आज़मा सकते हैं।

x = 0.9 पर f = 1.9।
x = 0.99 पर f = 1.99।
x = 1.01 पर f = 2.01।

मान 2 के और निकट आते जाते हैं। हम लिखते हैं:

lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2

ग्राफ़ एक सीधी रेखा है जिसमें एक बिंदु अनुपस्थित है, (1, 2) पर एक छिद्र। सीमा उस छिद्र की ऊँचाई है।

स्व-जाँच एक फलन g में g(2.9) = 5.9, g(2.99) = 5.99 और g(3.01) = 6.01 हैं। वह x = 3 पर परिभाषित नहीं है। x → 3 पर सीमा क्या है?

3
5.99
6
इसका अस्तित्व नहीं है, क्योंकि g(3) परिभाषित नहीं है

उत्तर: 6. मान दोनों ओर से 6 के निकट आते हैं, इसलिए सीमा 6 है। सीमा केवल x = 3 के निकट के मानों को देखती है, x = 3 पर मान को कभी नहीं।

2प्रतिस्थापन, 0/0 और गुणनखंडन

हमेशा पहले सीधा प्रतिस्थापन आज़माइए: संख्या रखकर देखिए। यदि आपको कोई सामान्य संख्या मिलती है, तो वही सीमा है।

lim_x→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

यदि आपको 0/0 मिले, तो आप पूरा नहीं कर पाए हैं। 0/0 को अनिर्धार्य रूप कहते हैं: यह सरल करने का संकेत है, उत्तर नहीं।

आमतौर पर अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होता है जो उस बिंदु पर शून्य होता है। दोनों के गुणनखंड कीजिए, उभयनिष्ठ गुणनखंड काटिए, फिर दोबारा प्रतिस्थापित कीजिए।

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

इसलिए x → 3 पर सीमा 3 + 3 = 6 है। उपयोगी गुणनखंड प्रतिरूप:

x² − a² = (x − a)(x + a)
x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
x² − x − 30 जैसे द्विघात का गुणनखंड (x − 6)(x + 5) होता है: दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल −30 और योग −1 हो।

वर्गमूल के साथ, अंश और हर को संयुग्मी से गुणा कीजिए: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4।

स्व-जाँच lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) क्या है?

0
2
4
इसका अस्तित्व नहीं है, क्योंकि 0/0 मिलता है

उत्तर: 4. प्रतिस्थापन से 0/0 मिलता है, इसलिए गुणनखंड कीजिए: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, जो x = 2 पर 4 है। 0/0 पर रुक जाना ही “अस्तित्व नहीं है” वाली गलती का कारण है।

3अनंत पर सीमाएँ और L’Hôpital का नियम

x → ∞ का अर्थ है कि x बिना अंत के बढ़ता है। बहुपदों के भिन्न के लिए, जब x बहुत बड़ा हो तो केवल उच्चतम घातें मायने रखती हैं।

हर के सबसे ऊँचे x की घात से हर पद को भाग दीजिए। 4/x और 7/x² जैसे पद 0 की ओर जाते हैं।

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2

अंश और हर में उच्चतम घात समान हो: सीमा अग्रणी गुणांकों का अनुपात है।
हर में उच्चतर घात हो: सीमा 0 है।
अंश में उच्चतर घात हो: भिन्न बिना अंत के बढ़ता है, इसलिए कोई परिमित सीमा नहीं है।

√(x² + 6x) − x के लिए संयुग्मी से गुणा कीजिए। आपको 6x/(√(x² + 6x) + x) मिलता है, जो 6/(1 + 1) = 3 की ओर जाता है।

L’Hôpital का नियम: यदि प्रतिस्थापन से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो आप अंश और हर को उनके अवकलजों से बदल सकते हैं, प्रत्येक का अलग-अलग।

lim_x→0 (eˣ − 1)/x = lim_x→0 eˣ/1 = 1

यदि आपको फिर 0/0 मिले, तो नियम को एक बार और लगाइए। त्रिकोणमितीय सीमाओं में x हमेशा रेडियन में होता है।

स्व-जाँच lim_x→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x) क्या है?

उत्तर: 2. उच्चतम घातें समान हैं (x²), इसलिए सीमा अग्रणी गुणांकों का अनुपात है: 4/2 = 2। ½ उलटा भाग देने से आता है।

4विधि चरण-दर-चरण

संख्या रखिए। कोई सामान्य संख्या ही उत्तर है।
यदि 0/0 मिले, तो अंश और हर के गुणनखंड कीजिए, या यदि मूल हो तो संयुग्मी से गुणा कीजिए।
उभयनिष्ठ गुणनखंड काटिए और दोबारा प्रतिस्थापित कीजिए।
यदि x → ∞ हो, तो हर पद को x की उच्चतम घात से भाग दीजिए और a/x जैसे पदों को 0 की ओर जाने दीजिए।
यदि गुणनखंडन काम न करे (eˣ, sin, cos, ln), तो 0/0 या ∞/∞ रूप पर L’Hôpital का नियम उपयोग कीजिए।
बिंदु के बहुत निकट की संख्या से जाँचिए, उदाहरण के लिए x = 1.001।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

L = lim_x→−2 (x³ + 8)/(x + 2) ज्ञात कीजिए।

प्रतिस्थापन आज़माइए

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

यह अनिर्धार्य रूप 0/0 है, इसलिए पहले सरल करना होगा।

अंश का गुणनखंड कीजिए

8 = 2³, इसलिए अंश a = 2 के साथ घनों का योग है।

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)

उभयनिष्ठ गुणनखंड काटिए

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

यह इसलिए मान्य है कि x केवल −2 के निकट आता है, इसलिए x + 2 कभी ठीक 0 नहीं होता।

दोबारा प्रतिस्थापित कीजिए

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

उत्तर जाँचें

x = −1.99 आज़माइए: (−7.880599 + 8)/0.01 = 11.94, जो 12 के निकट है।

ग्राफ़ परवलय x² − 2x + 4 है जिसमें (−2, 12) पर एक छिद्र है।

उत्तर

L = 12

6सामान्य गलतियाँ

0/0 को उत्तर के रूप में लिखना, या यह कहना कि सीमा का अस्तित्व नहीं है। 0/0 का अर्थ है: पहले सरल कीजिए।
जब प्रतिस्थापन से 0/0 या ∞/∞ न मिले तब L’Hôpital का नियम उपयोग करना।
L’Hôpital के नियम में भागफल नियम का उपयोग करना। अंश और हर का अलग-अलग अवकलन कीजिए।
अनंत पर, उच्चतम घातों के बजाय लिखे हुए पहले पदों की तुलना करना।
sin या cos वाली सीमाओं में रेडियन के बजाय डिग्री का उपयोग करना।

स्व-जाँच lim_x→1 (x² + 1)/(x + 1) क्या है?

0
1
2
इसका अस्तित्व नहीं है

उत्तर: 1. प्रतिस्थापन से 2/2 = 1 मिलता है, जो सामान्य संख्या है, इसलिए वही सीमा है। यहाँ L’Hôpital का उपयोग (2x/1 = 2) गलत है, क्योंकि रूप 0/0 नहीं था।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: सीधा प्रतिस्थापन और गुणनखंडन। प्रतिस्थापन से 0/0 मिलता है, फिर उदाहरण की तरह गुणनखंड करके काटिए।
मध्यम: अनंत पर सीमाएँ। उच्चतम घात से भाग दीजिए, या √(x² + 4x) − x जैसे मूल के लिए संयुग्मी का उपयोग कीजिए।
कठिन: L’Hôpital का नियम, उदाहरण के लिए x → 0 पर (eˣ − 1 − x)/x² या (1 − cos 3x)/x²। आपको नियम दो बार लगाना पड़ सकता है।

एक त्वरित जाँच: कैलकुलेटर से बिंदु के बहुत निकट की संख्या रखिए। परिणाम आपके उत्तर के निकट होना चाहिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

सीमा L = lim_x→1 (x⁴ − 1)/(x − 1) ज्ञात कीजिए।

f(x) = (x⁴ − 1)/(x − 1)x → 1

ज्ञात करें: L

संकेत दिखाएँ

प्रतिस्थापन से 0/0 मिलता है। अंश का गुणनखंड करें।
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1).

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ

अंश → 0 और हर → 0, इसलिए रूप 0/0 है।

गुणनखंड करें और काटें

(x⁴ − 1)/(x − 1) = x³ + x² + x + 1

मान रखें

L = 1·1³ + 1·1² + 1·1 + 1·1 = 4

उत्तर

L = 4

यह x = a पर xⁿ का अवकलज है: n·aⁿ⁻¹।

उदाहरण 2मध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x ज्ञात कीजिए। दशमलव मान दें।

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

ज्ञात करें: L

संकेत दिखाएँ

रूप 1^∞ है। L = e^(ln L) लिखें और ln L ज्ञात करें।
ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x).
छोटे u के लिए ln(1 + u) ≈ u। यहाँ u = 1/x।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

लघुगणक लें

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

मान निकालें

u → 0 पर ln(1 + u)/u → 1, इसलिए x·ln(1 + a/x) → a।

ln L = 1·1 = 1

लघुगणक हटाएँ

L = e¹ = 2.718

उत्तर

L = 2.718

उदाहरण 3कठिन

सीमा L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x) ज्ञात कीजिए, x रेडियन में।

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

ज्ञात करें: L

संकेत दिखाएँ

x = 0 पर: ln 1 = 0 और sin 0 = 0, इसलिए रूप 0/0 है।
(ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
f′/g′ में x = 0 रखें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

लोपिताल का नियम

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

x = 0 रखें

L = 2/3 = 0.6667

उत्तर

L = 0.6667

प्रश्न और उत्तर

सीमाएँ क्या है?

मान 2 के और निकट आते जाते हैं। हम लिखते हैं:

सीमाएँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

सीमाएँ में आम गलतियाँ क्या हैं?

दूसरे गुणनखंड का हर पद रखें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), और x = a पर सभी n पद बराबर होते हैं।
रूप 1^∞ अनिर्धार्य है, 1 नहीं। पहले प्राकृतिक लघुगणक लें।
अंश का अवकलज ऊपर रखें: lim f/g = lim f′/g′।

सीमाएँ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन और गुणनखंडन
मध्यम: अनंत पर सीमाएँ
कठिन: लोपिताल का नियम

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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