समाकल: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: समाकल क्या है?

समाकल किसी बदलती हुई राशि को जोड़ता है। सबसे स्पष्ट चित्र ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल है। एक कार 5 s तक 20 m/s से चलती है। वह 20 · 5 = 100 m तय करती है। चाल–समय ग्राफ़ पर, यह रेखा के नीचे के आयत का क्षेत्रफल है।

Q: समाकल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: बहुपद मध्यम: चरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन कठिन: वक्रों के बीच क्षेत्रफल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त समाकल अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: बहुपद, चरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन, वक्रों के बीच क्षेत्रफल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

I = ∫₋₂⁻¹ (4x² − 4x + 5) dx का मान निकालें।

f(x) = 4x² − 4x + 5[−2, −1]

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समाकल का मुफ़्त अभ्यास करें अभी समाकल का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानबहुपद
मध्यमचरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन
कठिनवक्रों के बीच क्षेत्रफल

समाकल के प्रश्न कैसे हल करें

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

सामान्य गलतियाँ

नई घात से भाग देना भूल जाना।
प्रतिस्थापन के बाद सीमाएँ न बदलना।
अनिश्चित समाकल में + C भूल जाना।

मुख्य सूत्र

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

समाकल शुरू से सीखें

इससे पहले: अवकलज

1समाकल क्या है

समाकल किसी बदलती हुई राशि को जोड़ता है। सबसे स्पष्ट चित्र ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल है।

एक कार 5 s तक 20 m/s से चलती है। वह 20 · 5 = 100 m तय करती है। चाल–समय ग्राफ़ पर, यह रेखा के नीचे के आयत का क्षेत्रफल है।

जब चाल बदलती है, तो ग्राफ़ के नीचे का आकार वक्र होता है, परंतु विचार वही रहता है: क्षेत्रफल ही दूरी है।

x = a और x = b के बीच f के नीचे के क्षेत्रफल को हम इस प्रकार लिखते हैं:

∫_a^b f(x) dx

संख्याएँ a और b समाकल की सीमाएँ हैं। dx बताता है कि x चर है।

स्व-जाँच एक साइकिल सवार 4 s तक स्थिर 10 m/s से चलता है। चाल–समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल क्या है?

10 m
14 m
2.5 m
40 m

उत्तर: 40 m. क्षेत्रफल एक आयत है: ऊँचाई 10 m/s गुणा चौड़ाई 4 s से 40 m मिलता है। 10 को 4 से भाग देने पर 2.5 आता है, जो क्षेत्रफल नहीं है।

2प्रतिअवकलज और घात नियम

समाकलन उलटा अवकलन है। f का प्रतिअवकलज F ऐसा फलन है जिसका अवकलज f हो।

चूँकि (x³)′ = 3x², इसलिए 3x² का एक प्रतिअवकलज x³ है। कोई भी अचर जोड़ा जा सकता है, इसलिए हम लिखते हैं ∫3x² dx = x³ + C।

समाकलों के लिए घात नियम: घात में एक जोड़िए, फिर नई घात से भाग दीजिए।

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1

अचर गुणांक सामने ही रहता है: ∫5x² dx = 5x³/3 + C।
अकेला अचर: ∫4 dx = 4x + C।
योग में, हर पद का अलग-अलग समाकलन कीजिए।

इन्हें भी सीखिए: ∫eˣ dx = eˣ, ∫e^kx dx = e^kx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x और ∫sin x dx = −cos x।

आप प्रतिअवकलज की जाँच हमेशा कर सकते हैं: उसका अवकलन कीजिए, और आपको मूल फलन वापस मिलना चाहिए।

स्व-जाँच ∫6x² dx क्या है?

12x + C
2x³ + C
3x³ + C
6x³ + C

उत्तर: 2x³ + C. घात को 3 कीजिए और 3 से भाग दीजिए: 6x³/3 = 2x³। 12x अवकलज है, समाकल नहीं, और 6x³ में नई घात से भाग देना भूल गए।

3निश्चित समाकल और क्षेत्रफल

निश्चित समाकल में सीमाएँ होती हैं और वह एक संख्या देता है। एक प्रतिअवकलज F ज्ञात कीजिए, फिर दोनों सीमाओं पर उसके मानों का अंतर लीजिए।

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

घटाने में अचर C कट जाता है, इसलिए यहाँ उसे छोड़ा जा सकता है।

उदाहरण: ∫₁³ 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3.296, क्योंकि ln 1 = 0।

प्रतिस्थापन तब मदद करता है जब एक फलन दूसरे के भीतर हो। e^0.5x के लिए u = 0.5x रखिए। परिणाम ऊपर वाला नियम है: 0.5 से भाग दीजिए।

∫₀³ e^0.5x dx = 2e^0.5x |₀³ = 2(e^1.5 − 1) ≈ 6.963

दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर, उन बिंदुओं के बीच लिए गए समाकल के बराबर होता है जहाँ वे मिलते हैं।

y = 2x और y = x² के लिए, वक्र x = 0 और x = 2 पर मिलते हैं। उस अंतराल पर 2x ऊपर है।

A = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

स्व-जाँच वक्र y = x और y = x² x = 0 और x = 1 पर मिलते हैं। उनके बीच y = x ऊपर है। घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

1/2
1/6
5/6
−1/6

उत्तर: 1/6. 0 से 1 तक ∫(x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6। नीचे में से ऊपर को घटाने पर −1/6 मिलता है, और दोनों समाकलों को जोड़ने पर 5/6।

4विधि चरण-दर-चरण

फलन को सरल पदों के योग के रूप में फिर से लिखिए। मूल और भिन्नों को घात के रूप में लिखिए: √x = x^1/2।
घात नियम या किसी मानक समाकल से प्रत्येक पद का प्रतिअवकलज ज्ञात कीजिए।
मन ही मन अवकलन करके जल्दी से जाँच लीजिए।
निश्चित समाकल के लिए F(b) और F(a) अलग-अलग निकालिए।
घटाइए: F(b) − F(a)। जब a ऋणात्मक हो तो ऋण चिह्नों का ध्यान रखिए।

दो वक्रों के बीच के क्षेत्रफल के लिए, पहले सीमाएँ पाने हेतु f(x) = g(x) हल कीजिए, फिर ऊपरी में से निचले को घटाकर समाकलन कीजिए।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

I = ∫₀² (3x² + 2x + 1) dx का मान निकालिए।

पद-दर-पद समाकलन कीजिए

3x² का समाकल 3x³/3 = x³ है। 2x का 2x²/2 = x² है। अचर 1 का x है।

F(x) = x³ + x² + x

अवकलन करके जाँचिए

F′(x) = 3x² + 2x + 1

यह मूल फलन है, इसलिए F सही है।

ऊपरी सीमा पर मान

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14

निचली सीमा पर मान

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0

घटाइए

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14

समाकल x = 0 और x = 2 के बीच वक्र के नीचे का छायांकित क्षेत्रफल है।

उत्तर

I = 14

6सामान्य गलतियाँ

नई घात से भाग देना भूल जाना।
समाकलन करने के बजाय अवकलन करना: घात बढ़ाने के बजाय घटाना।
∫1/x dx को x⁰/0 लिखना। घात नियम n = −1 के लिए काम नहीं करता; ln|x| का उपयोग कीजिए।
जब a ऋणात्मक हो तो F(a) में ऋण चिह्न भूल जाना, उदाहरण के लिए (−1)³ = −1।
अनिश्चित समाकल में + C भूल जाना, या प्रतिस्थापन के बाद सीमाएँ न बदलना।

स्व-जाँच ∫₀² x³ dx क्या है?

उत्तर: 4. F(x) = x⁴/4, इसलिए F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4। नई घात 4 से भाग देना भूल जाने पर 16 मिलता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: बहुपद का निश्चित समाकल, कभी-कभी ऋणात्मक सीमाओं के साथ। घात नियम और F(b) − F(a) का उपयोग कीजिए।
मध्यम: चरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन, जैसे दो सीमाओं के बीच ∫e^0.5x dx या ∫3/x dx।
कठिन: दो वक्रों से घिरा क्षेत्रफल, जैसे y = x² और y = 4x। पहले वे कहाँ मिलते हैं यह ज्ञात कीजिए, फिर ऊपरी में से निचले को घटाकर समाकलन कीजिए।

एक त्वरित जाँच: दो वक्रों से घिरा क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है। यदि आपको ऋणात्मक संख्या मिले, तो आपने गलत क्रम में घटाया है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

x = 0 से x = 3 तक y = 0.5x के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस (शंकु) का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

ज्ञात करें: V

संकेत दिखाएँ

x पर परत y = 0.5x त्रिज्या की चकती है।
V = π∫₀³ (0.5x)² dx.
= π·0.25·x³/3.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

चकती विधि

V = π∫₀³ 0.25x² dx

समाकलन करें

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

उत्तर

V = 7.069

जाँच: त्रिज्या 1.5 और ऊँचाई 3 वाले शंकु का आयतन (1/3)πr²h = 7.069 है।

उदाहरण 2मध्यम

I = ∫₀² x·cos x dx का मान निकालिए (x रेडियन में)।

∫₀² x·cos x dx

ज्ञात करें: I

संकेत दिखाएँ

u = x और dv = cos x dx लें।
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

u और dv चुनें

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

प्रतिअवकलज

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

सीमाएँ

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

उत्तर

I = 0.4024

उदाहरण 3कठिन

y = 2x² और y = x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।

y = 2x²y = x

ज्ञात करें: A

संकेत दिखाएँ

पहले वक्रों के मिलन बिंदु ज्ञात करें: उन्हें बराबर रखें।
वे x = 0 और x = 0.5 पर मिलते हैं। इनके बीच रेखा परवलय के ऊपर है।
A = ∫₀^0.5 (x − 2x²) dx.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिच्छेद बिंदु

2x² = x → x = 0, x = 0.5

ऊपरी घटा निचले का समाकलन करें

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

उत्तर

A = 0.04167

प्रश्न और उत्तर

समाकल क्या है?

समाकल के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

समाकल में आम गलतियाँ क्या हैं?

नई घात से भाग देना भूल जाना।
प्रतिस्थापन के बाद सीमाएँ न बदलना।
अनिश्चित समाकल में + C भूल जाना।

समाकल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: बहुपद
मध्यम: चरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन
कठिन: वक्रों के बीच क्षेत्रफल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

अवकलज

इसके बाद

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कैलकुलेटर

समाकल कैलकुलेटर (निश्चित और अनिश्चित)

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