संवलन और LTI तंत्र: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: संवलन और LTI तंत्र क्या है?

एक रैखिक काल-अपरिवर्ती (LTI) तंत्र का पूरा वर्णन उसकी आवेग अनुक्रिया h से हो जाता है: वह निर्गत जो तंत्र तब देता है जब निवेश एक अकेला छोटा धक्का हो। किसी भी निवेश को गुणित और खिसकाए हुए धक्कों की एक पंक्ति के रूप में देखा जा सकता है। हर धक्का h की एक गुणित और खिसकाई हुई प्रतिलिपि बनाता है, और निर्गत सभी प्रतिलिपियों का योग है। वह योग संवलन y = x ∗ h है।

Q: संवलन और LTI तंत्र के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: असतत संवलन मध्यम: संतत संवलन कठिन: आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त संवलन और LTI तंत्र अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: असतत संवलन, संतत संवलन, आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

अनुक्रम x[n] = {−3, 2, 4, 3} और h[n] = {1, 1, 1} दोनों n = 0 से शुरू होते हैं। संवलन y[n] = x[n] ∗ h[n] का नमूना y[1] ज्ञात कीजिए।

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2

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संवलन और LTI तंत्र का मुफ़्त अभ्यास करें अभी संवलन और LTI तंत्र का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानअसतत संवलन
मध्यमसंतत संवलन
कठिनआवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी

संवलन और LTI तंत्र के प्रश्न कैसे हल करें

दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।

सामान्य गलतियाँ

दोनों संकेतों का संवलन करने की जगह उन्हें नमूने-दर-नमूने गुणा कर देना।
h को उलटे बिना खिसकाना, जिससे सहसंबंध मिलता है।
जहाँ आवेग अनुक्रिया पूछी गई हो वहाँ सोपान अनुक्रिया का सूत्र लगाना, या इसका उलटा।
हार्मोनिक संख्या गलत गिनना: k/T पर घटक हार्मोनिक k है।

मुख्य सूत्र

असतत संवलन: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान: y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
प्रथम-कोटि तंत्र: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत: |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम: वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|

संवलन और LTI तंत्र शुरू से सीखें

इससे पहले: समाकल

1संवलन क्या करता है

एक रैखिक काल-अपरिवर्ती (LTI) तंत्र का पूरा वर्णन उसकी आवेग अनुक्रिया h से हो जाता है: वह निर्गत जो तंत्र तब देता है जब निवेश एक अकेला छोटा धक्का हो।

किसी भी निवेश को गुणित और खिसकाए हुए धक्कों की एक पंक्ति के रूप में देखा जा सकता है। हर धक्का h की एक गुणित और खिसकाई हुई प्रतिलिपि बनाता है, और निर्गत सभी प्रतिलिपियों का योग है। वह योग संवलन y = x ∗ h है।

संवलन वहाँ आता है जहाँ तंत्र में स्मृति हो: फ़िल्टर, संवेदक, संरचनाएँ, परिपथ, और समय के साथ संकेत का फैलना।

स्व-जाँच एक तंत्र का h[n] = {1, 3} (n = 0, 1) है। निवेश एक अकेला नमूना x[0] = 2 है। निर्गत क्या है?

y[n] = {2, 3}
y[n] = {2, 6}
y[n] = {3, 1}
y[n] = {8}

उत्तर: y[n] = {2, 6}. ऊँचाई 2 का एक धक्का, h की 2 से गुणित एक प्रतिलिपि देता है: {2·1, 2·3} = {2, 6}। संवलन h का आकार बनाए रखता है; वह नमूनों को आपस में नहीं जोड़ता।

2असतत संवलन चरण-दर-चरण

अनुक्रमों के लिए संवलन एक योग है:

y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]

h को उलटिए: h[−k], k = 0 के सापेक्ष h का दर्पण-प्रतिबिंब है।
उलटे h को n से खिसकाइए।
उसे x के साथ नमूने-दर-नमूने गुणा कीजिए और गुणनफल जोड़िए। इससे y[n] मिलता है।
हर n के लिए दोहराइए। यदि x में L_x नमूने और h में L_h हैं, तो y में L_x + L_h − 1 नमूने होते हैं, जो दोनों आरंभ सूचकांकों के योग से शुरू होते हैं।

एक त्वरित जाँच: y के सभी नमूनों का योग (Σx)·(Σh) के बराबर होता है।

स्व-जाँच x[n] = {1, 2} और h[n] = {3, 1} के लिए, दोनों n = 0 से शुरू होते हैं, y[1] क्या है?

उत्तर: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7। केवल x[1]·h[1] गुणा करने पर 2 आता है, और 6 दोनों गुणनफलों में से केवल एक रखता है।

3एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

x[n] = {2, 1, −1} का h[n] = {1, 3} के साथ संवलन कीजिए, दोनों n = 0 से शुरू होते हैं।

अनुक्रमों को देखिए

x में 3 नमूने हैं और h में 2, इसलिए y में 3 + 2 − 1 = 4 नमूने हैं, n = 0 से n = 3 तक।

y[0]

केवल x[0] और h[0] अतिव्यापी हैं।

y[0] = 2·1 = 2

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7

y[2] और y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2

y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3

उत्तर जाँचें

Σx = 2 और Σh = 4, इसलिए Σy = 8 होना चाहिए। वास्तव में 2 + 7 + 2 − 3 = 8।

उत्तर

y[n] = {2, 7, 2, −3}, n = 0 … 3 के लिए।

4संतत संवलन

संतत-समय संकेतों के लिए योग समाकल बन जाता है:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

विधि वही है: h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए, और उस भाग पर गुणनफल का समाकलन कीजिए जहाँ दोनों संकेत अशून्य हैं।

x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 s के लिए, और h(t) = e^−tu(t) के साथ, स्पंद के चालू रहते निर्गत y(t) = ∫₀ᵗ 2e^{−(t − τ)} dτ = 2(1 − e^−t) है। t = 1 s पर यह 2(1 − e⁻¹) = 1.26 तक पहुँचता है, और उसके बाद यह 1.26·e^{−(t − 1)} की तरह क्षीण होता है।

y दोनों आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है और दोनों अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है।
y के अंतर्गत क्षेत्रफल, x के अंतर्गत क्षेत्रफल गुणा h के अंतर्गत क्षेत्रफल होता है।
दो आयताकार स्पंद समलंब देते हैं; दो समान स्पंद त्रिभुज देते हैं।

स्व-जाँच x(t) 0 से 2 s तक अशून्य है और h(t) 1 s से 4 s तक। y(t) = x(t) ∗ h(t) कब समाप्त होता है?

उत्तर: 6 s. y अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है: 2 + 4 = 6 s। यह 0 + 1 = 1 s पर शुरू होता है, इसलिए यह 5 s चलता है; 5 s अवधि है, अंत नहीं।

5आवेग अनुक्रियाएँ और फूरिए श्रेणी

प्रथम-कोटि तंत्र y′ + a·y = b·x की आवेग अनुक्रिया h(t) = b·e^−atu(t) है। इसका असतत रूप y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n], n ≥ 0 के लिए h[n] = b·aⁿ रखता है।

एक ज्यावक्रीय संकेत LTI तंत्र से अपनी आवृत्ति बदले बिना गुज़रता है। वह |H(jω)| से गुणित और ∠H(jω) से विस्थापित होता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। h(t) = b·e^−atu(t) के लिए H(jω) = b/(a + jω)।

आवर्तकाल T वाला आवर्ती संकेत आवृत्तियों k/T पर हार्मोनिकों का योग है। कुछ मानक आयाम:

−A और +A के बीच की वर्ग तरंग: केवल विषम k, आयाम 4A/(kπ)।
−A और +A के बीच की त्रिभुज तरंग: केवल विषम k, आयाम 8A/(π²k²)।
ऊँचाई A और कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी: माध्य A·D, हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)|।

स्व-जाँच एक वर्ग तरंग −2 और +2 के बीच बदलती है। इसके तीसरे हार्मोनिक का आयाम क्या है?

0.283
0.424
0.849
2.546

उत्तर: 0.849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0.849। 2.546 मूल घटक है, 0.283 त्रिभुज की तरह k² से भाग देता है, और 0.424 में 2A/(kπ) का उपयोग हुआ है, जो 0 से A तक की तरंग का सूत्र है।

6सामान्य गलतियाँ

दोनों संकेतों का संवलन करने की जगह उन्हें नमूने-दर-नमूने गुणा कर देना।
h को उलटे बिना खिसकाना; इससे सहसंबंध मिलता है, संवलन नहीं।
आवेग अनुक्रिया और सोपान अनुक्रिया को गड्डमड्ड करना: सोपान अनुक्रिया h का चल योग या समाकल है।
हार्मोनिक गलत गिनना: k/T पर घटक हार्मोनिक k है।

स्व-जाँच x[n] = {1, 2} और h[n] = {1, 1}, दोनों n = 0 से। y[1] क्या है?

उत्तर: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3। नमूने-दर-नमूने गुणनफल x[1]·h[1] केवल 2 देता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: असतत संवलन। आप एक निर्गत नमूना, सबसे बड़ा नमूना, सभी नमूनों का योग, y का पहला या अंतिम सूचकांक, FIR फ़िल्टर का निर्गत, या सोपान पर अनुक्रिया ज्ञात करते हैं।
मध्यम: संतत संवलन। आप दो स्पंदों, एक चरघातांकी और सोपान या स्पंद, या दो चरघातांकियों के लिए किसी दिए गए समय पर y(t), तथा y का क्षेत्रफल, आरंभ, अंत या अवधि ज्ञात करते हैं।
कठिन: आवेग अनुक्रियाएँ और फूरिए श्रेणी। आप प्रथम-कोटि ODE का h(t), किसी पुनरावृत्ति का h[n] या सोपान अनुक्रिया, ज्यावक्रीय संकेत के लिए लब्धि या कला, या वर्ग, त्रिभुज या स्पंद तरंग का एक हार्मोनिक ज्ञात करते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

अनुक्रम x[n] = {4, −3, −2} और h[n] = {3, 1} दोनों n = 0 से शुरू होते हैं। संवलन y[n] = x[n] ∗ h[n] का नमूना y[1] ज्ञात कीजिए।

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

ज्ञात करें: y[1]

संकेत दिखाएँ

y[n] = Σ x[k]·h[n − k]।
n = 1 के लिए पद k = 0, 1 हैं।
x[0]·h[1] + x[1]·h[0].

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

असतत संवलन: रैखिक काल-अपरिवर्ती तंत्र का निर्गत y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k] है: h को उलटिए, उसे n से खिसकाइए, x के साथ नमूने-दर-नमूने गुणा कीजिए और जोड़िए। यदि x में n_x से शुरू होने वाले L_x नमूने हैं और h में n_h से शुरू होने वाले L_h नमूने हैं, तो y में n_x + n_h से शुरू होने वाले L_x + L_h − 1 नमूने होते हैं। y के सभी नमूनों का योग (Σx)·(Σh) के बराबर होता है। FIR फ़िल्टर y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … h[n] = b_n के साथ एक संवलन है।

योग के पद

केवल वे k योगदान देते हैं जिनके लिए x[k] और h[n − k] दोनों मौजूद हैं।

x[0]·h[1] = 4·1 = 4

x[1]·h[0] = −3·3 = −9

जोड़ें

y[1] = −5

उत्तर

y[1] = −5

उदाहरण 2मध्यम

स्पंद x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 s के लिए (अन्यत्र शून्य), h(t) = e^−2tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। स्पंद समाप्त होने के बाद t = 2.5 s पर निर्गत y(2.5) ज्ञात कीजिए।

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e^−2tu(t)t = 2.5 s

ज्ञात करें: y(2.5)

संकेत दिखाएँ

स्पंद को t = 0 पर एक सोपान में से t = 1 s पर एक सोपान घटाकर लिखिए।
सोपान अनुक्रिया (A/a)(1 − e^−at) है।
स्पंद के बाद: y(t) = y(1)·e^{−a(t − 1)}।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e^−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e^−at)।

स्पंद के अंत पर निर्गत

y(1) = (1/2)(1 − e⁻²) = 0.4323

स्पंद के बाद क्षय

y(2.5) = 0.4323·e^−2·1.5 = 0.02152

उत्तर

y(2.5) = 0.02152

उदाहरण 3कठिन

एक तंत्र y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t) का पालन करता है। t = 0.05 s पर इसकी आवेग अनुक्रिया h(0.05) ज्ञात कीजिए।

y′ + 5y = 3xt = 0.05 s

ज्ञात करें: h(0.05)

संकेत दिखाएँ

शून्य प्रारंभिक प्रतिबंधों के साथ लाप्लास रूपांतर लीजिए: (s + 5)Y(s) = 3X(s)।
H(s) = 3/(s + 5).
h(t) = 3·e^−5tu(t).

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e^−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।

अंतरण फलन

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

आवेग अनुक्रिया

h(t) = 3·e^−5tu(t)

h(0.05) = 3·e^−0.25 = 2.336

उत्तर

h(0.05) = 2.336

प्रश्न और उत्तर

संवलन और LTI तंत्र क्या है?

संवलन और LTI तंत्र के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।

संवलन और LTI तंत्र में आम गलतियाँ क्या हैं?

दोनों संकेतों का संवलन करने की जगह उन्हें नमूने-दर-नमूने गुणा कर देना।
h को उलटे बिना खिसकाना, जिससे सहसंबंध मिलता है।
जहाँ आवेग अनुक्रिया पूछी गई हो वहाँ सोपान अनुक्रिया का सूत्र लगाना, या इसका उलटा।
हार्मोनिक संख्या गलत गिनना: k/T पर घटक हार्मोनिक k है।

संवलन और LTI तंत्र के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: असतत संवलन
मध्यम: संतत संवलन
कठिन: आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

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