मेश विश्लेषण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त मेश विश्लेषण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: 2 मेश, 1 स्रोत, 2 मेश, 2 स्रोत, 3 मेश।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
R1​ = 3 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​6 VR3​3 ΩAR4​6 ΩBI1​I2​

मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R1 से होकर धारा IR1 ज्ञात कीजिए।

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
A
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आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसान2 मेश, 1 स्रोत
  2. मध्यम2 मेश, 2 स्रोत
  3. कठिन3 मेश

मेश विश्लेषण के प्रश्न कैसे हल करें

  1. परिपथ के हर मेश (खिड़की) में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ।
  2. हर मेश के चारों ओर किरखॉफ़ का वोल्टता नियम लगाएँ: वोल्टता पातों का योग शून्य है।
  3. दो मेशों के साझा प्रतिरोधक में धारा दोनों मेश धाराओं का अंतर होती है।
  4. समीकरण हल करें; ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि धारा उलटी दिशा में बहती है।

सामान्य गलतियाँ

  • साझा प्रतिरोधक में पूरी मेश धारा का उपयोग करना।
  • लूप के चारों ओर चलते हुए किसी स्रोत का चिह्न गलत लेना।
  • भूल जाना कि बाहरी शाखा में धारा स्रोत उस मेश की धारा तय कर देता है।

मुख्य सूत्र

किरचॉफ का वोल्टता नियम
हर लूप के चारों ओर ΣV = 0
साझा प्रतिरोध
धारा = I1 − I2
मेश में धारा स्रोत
उस मेश की धारा तय करता है

मेश विश्लेषण शुरू से सीखें

इससे पहले: श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

1जाल विश्लेषण क्या है

जाल विश्लेषण परिपथ में धाराएँ ज्ञात करने की एक मानक विधि है। यह नोडल विश्लेषण की जोड़ीदार है: नोडल विश्लेषण वोल्टता को अज्ञात लेता है, जाल विश्लेषण धाराओं को।

समतल परिपथ आरेख को देखिए। तारों और अवयवों से घिरी खाली “खिड़कियाँ” जाल कहलाती हैं।

आप कल्पना करते हैं कि हर खिड़की के चारों ओर एक धारा घूम रही है। ये जाल धाराएँ हैं। हर वास्तविक शाखा धारा इन्हीं से बनती है।

एक-दूसरे के बगल में लगी दाँतेदार चक्कियों की पंक्ति सोचिए। हर चक्की अपने आप घूमती है, और जहाँ दो चक्कियाँ मिलती हैं, वहाँ जो आप देखते हैं वह उनकी गतियों का अंतर है।

स्व-जाँच एक समतल परिपथ आरेख में तीन खिड़कियाँ हैं। आपको कितनी जाल धाराएँ चाहिए?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6

उत्तर: 3. हर खिड़की के लिए एक जाल धारा, इसलिए तीन। फिर आप हर जाल के लिए एक समीकरण लिखते हैं, कुल तीन समीकरण।

2किरचॉफ का वोल्टता नियम

किसी भी बंद पाश के चारों ओर एक बार चलिए और वहीं लौट आइए जहाँ से शुरू किया था। आप उसी वोल्टता पर पहुँचते हैं जिससे शुरू किया था।

इसलिए स्रोतों में जो वोल्टता आप पाते हैं वह प्रतिरोधकों में खोई वोल्टता के बराबर होती है। यही किरखॉफ़ का वोल्टता नियम (KVL) है।

Σ वोल्टता वृद्धि = Σ वोल्टता पात
+−I​12 V8 V?+−

जब आप स्रोत से − से + की ओर गुज़रते हैं तो वह वृद्धि है। जब आप प्रतिरोधक से उसकी धारा की दिशा में चलते हैं तो वह I·R का पतन है।

इस पाश में स्रोत 12 V देता है। एक प्रतिरोधक 8 V लेता है, इसलिए दूसरे को शेष 4 V लेना होगा।

स्व-जाँच एक 10 V स्रोत दो प्रतिरोधकों वाले एक पाश को चलाता है। पहले के आर-पार 7 V है। दूसरे के आर-पार वोल्टता क्या है?
  1. 10 V
  2. 17 V
  3. 3 V
  4. 7 V

उत्तर: 3 V. पतनों का योग 10 V की वृद्धि के बराबर होना चाहिए: 10 − 7 = 3 V। वोल्टताओं को जोड़ना (17 V) KVL का उल्लंघन करता है।

3साझा प्रतिरोधक में जाल धाराएँ

हर जाल धारा को दक्षिणावर्त खींचिए, एक ही नाम-प्रतिरूप के साथ: I1, I2, …

+−V1​10 VR1​ = 2 ΩR2​ = 4 ΩR3​6 ΩR4​2 ΩI1​I2​

परिपथ के बाहरी किनारे पर स्थित प्रतिरोधक केवल एक जाल का होता है। वह उसी जाल धारा को वहन करता है।

दो खिड़कियों के बीच का प्रतिरोधक साझा होता है। दोनों जाल धाराएँ उससे होकर विपरीत दिशाओं में गुज़रती हैं। उसकी वास्तविक धारा अंतर है।

IR3 (नीचे की ओर) = I1 − I2

जाल 1 में, I1 R3 से होकर नीचे बहती है, इसलिए आप I1 − I2 लिखते हैं। जाल 2 में, I2 R3 से होकर ऊपर बहती है, इसलिए आप I2 − I1 लिखते हैं।

स्व-जाँच ऊपर के परिपथ में, I1 = 3 A और I2 = 1 A हैं। R3 से होकर नीचे कौन-सी धारा बहती है?
  1. 1 A
  2. 2 A
  3. 3 A
  4. 4 A

उत्तर: 2 A. साझा प्रतिरोधक अंतर वहन करता है: 3 − 1 = 2 A नीचे की ओर। जाल धाराओं को जोड़ना (4 A) सबसे आम चूक है।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. खिड़कियाँ गिनिए। हर में एक दक्षिणावर्त जाल धारा खींचिए: I1, I2, …
  2. जाल 1 के चारों ओर दक्षिणावर्त चलिए। पतन जोड़िए: हर प्रतिरोधक के लिए, R गुणा उससे गुज़रने वाली धारा (उसकी अपनी जाल धारा, या साझा प्रतिरोधक में अंतर)।
  3. पतनों को उस जाल में स्रोत की वृद्धियों के बराबर रखिए। स्रोत को + गिना जाता है जब आप उसे − से + की ओर पार करते हैं, और दूसरी दिशा में − गिना जाता है।
  4. हर जाल के लिए दोहराइए। आपको हर जाल के लिए एक समीकरण मिलता है।
  5. जाल धाराओं के लिए समीकरण हल कीजिए।
  6. आपको जो शाखा धारा या वोल्टता चाहिए वह ज्ञात कीजिए। ऋणात्मक जाल धारा वामावर्त बहती है।

हमेशा जाल धारा की दिशा में ही घूमिए। तब हर प्रतिरोधक पद धन चिह्न से शुरू होता है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

जाल धाराएँ और तीर की दिशा में R3 से होकर बहने वाली धारा IR3 ज्ञात कीजिए।

1

मेश धाराएँ निर्धारित करें

+−V1​10 VR1​ = 2 ΩR2​ = 4 ΩR3​6 ΩR4​2 ΩI1​I2​IR3​

दो खिड़कियाँ हैं, इसलिए दो दक्षिणावर्त जाल धाराएँ I1 और I2 हैं। R3 दोनों के बीच साझा है।

2

जाल 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए, आप V1 को − से + की ओर पार करते हैं: 10 V की वृद्धि। R1 में I1 बहती है, और R3 में I1 − I2।

2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3

जाल 2 के चारों ओर KVL

जाल 2 में कोई स्रोत नहीं है, इसलिए उसके पतनों का योग 0 है। R2 और R4 में I2 बहती है, और R3 में I2 − I1।

4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4

समीकरण हल कीजिए

I1 = 2·I2 को पहले समीकरण में रखिए।

8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5

R₃ में धारा

तीर नीचे की ओर है, R3 में I1 की ही दिशा में।

IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6

उत्तर जाँचें

जाल 1: R1 2·2 = 4 V लेता है और R3 6·1 = 6 V लेता है। कुल 10 V, जो V1 के बराबर है।

जाल 2: R2 और R4 में 1 A बहती है और वे 4 + 2 = 6 V लेते हैं। यह R3 के आर-पार के 6 V के बराबर है, जैसा होना चाहिए, क्योंकि वे उन्हीं दो नोडों के बीच हैं।

उत्तर

I1 = 2 A, I2 = 1 A और IR3 = 1 A नीचे की ओर।

6सामान्य गलतियाँ

  • साझा प्रतिरोधक में पूरी जाल धारा का उपयोग करना। साझा प्रतिरोधक दो जाल धाराओं का अंतर वहन करता है।
  • स्रोत का चिह्न गलत लेना। चलने की दिशा में स्रोत को + से − की ओर पार करना ऋणात्मक वृद्धि गिना जाता है।
  • कुछ जालों में वामावर्त घूमना। हर जाल धारा और हर चक्कर को दक्षिणावर्त रखिए।
  • यह भूल जाना कि ऋणात्मक परिणाम मान्य है। उसका अर्थ केवल इतना है कि धारा वामावर्त बहती है।
स्व-जाँच जाल 2 के चारों ओर दक्षिणावर्त चलते हुए, आप 6 V के स्रोत को उसके + सिरे से − सिरे की ओर पार करते हैं। जाल 2 में R2 = 2 Ω और साझा R3 = 4 Ω हैं। कौन-सा समीकरण सही है?
  1. 2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
  2. 2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
  3. 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
  4. 2·I2 + 4·I2 = −6

उत्तर: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. स्रोत को + से − की ओर पार करना पतन है, इसलिए वृद्धि वाले पक्ष में वह −6 V गिना जाता है। जाल 2 में साझा प्रतिरोधक I2 − I1 वहन करता है, न केवल I2 और न I1 − I2।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: दो जाल और एक वोल्टता स्रोत, जैसा हल किए गए उदाहरण में है। जाल 2 में कोई स्रोत नहीं है, इसलिए उसका समीकरण 0 के बराबर है।
  • मध्यम: दो जाल और दो वोल्टता स्रोत, हर तरफ एक। जाल 2 में दाईं ओर के स्रोत के चिह्न पर ध्यान दीजिए।
  • कठिन: तीन जाल, दो साझा प्रतिरोधकों के साथ। बीच का जाल अपने हर पड़ोसी के साथ एक प्रतिरोधक साझा करता है।

प्रश्न जाल धारा, तीर की दिशा में किसी प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा, या दर्शाई गई ध्रुवता के साथ प्रतिरोधक के आर-पार वोल्टता पूछता है।

वोल्टता के लिए, पहले प्रतिरोधक से बहने वाली धारा ज्ञात कीजिए और फिर V = I·R का उपयोग कीजिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩIR2​+−V1​10 VR3​3 ΩAR4​8 ΩBI1​I2​

मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω

ज्ञात करें: IR2 (A)

संकेत दिखाएँ
  1. 2 खिड़कियाँ हैं, इसलिए 2 दक्षिणावर्त मेश धाराएँ (I1, I2) परिभाषित करें और हर मेश के लिए एक KVL समीकरण लिखें।
  2. मेश 1 में हर प्रतिरोधक I1 वहन करता है, सिवाय साझा प्रतिरोधक के, जो I1 − I2 वहन करता है।
  3. हल करने पर I1 = 0.95 A मिलता है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।

R1​ = 8 ΩR2​ = 8 Ω+−V1​10 VR3​3 ΩAR4​8 ΩBI1​I2​

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10

मेश 2 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0

हल करें

Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0.95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0.15 A

उत्तर

IR2 = I2 = 0.15 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

उदाहरण 2मध्यम
R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

मेश विश्लेषण से मेश धारा I1 (दक्षिणावर्त) ज्ञात कीजिए।

V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω

ज्ञात करें: I1 (A)

संकेत दिखाएँ
  1. 2 खिड़कियाँ हैं, इसलिए 2 दक्षिणावर्त मेश धाराएँ (I1, I2) परिभाषित करें और हर मेश के लिए एक KVL समीकरण लिखें।
  2. मेश 1 में हर प्रतिरोधक I1 वहन करता है, सिवाय साझा प्रतिरोधक के, जो I1 − I2 वहन करता है।
  3. हल करने पर I1 = −0.3387 A मिलता है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।

R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15

मेश 2 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24

हल करें

Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0.3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1.871 A

उत्तर

I1 = −0.3387 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

उदाहरण 3कठिन
R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩIR4​AR5​8 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R4 से होकर धारा IR4 ज्ञात कीजिए।

V1 = 36 VV2 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 Ω

ज्ञात करें: IR4 (A)

संकेत दिखाएँ
  1. 3 खिड़कियाँ हैं, इसलिए 3 दक्षिणावर्त मेश धाराएँ (I1, I2, I3) परिभाषित करें और हर मेश के लिए एक KVL समीकरण लिखें।
  2. मेश 1 में हर प्रतिरोधक I1 वहन करता है, सिवाय साझा प्रतिरोधक के, जो I1 − I2 वहन करता है।
  3. हल करने पर I1 = 1.135 A मिलता है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।

R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩAR5​8 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2, I3। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36

मेश 2 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0

मेश 3 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15

हल करें

Δ = गुणांक आव्यूह का सारणिक = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1.135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0.5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0.6097 A

उत्तर

IR4 = I1 − I2 = 0.6323 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

प्रश्न और उत्तर

मेश विश्लेषण क्या है?

जाल विश्लेषण परिपथ में धाराएँ ज्ञात करने की एक मानक विधि है। यह नोडल विश्लेषण की जोड़ीदार है: नोडल विश्लेषण वोल्टता को अज्ञात लेता है, जाल विश्लेषण धाराओं को।

समतल परिपथ आरेख को देखिए। तारों और अवयवों से घिरी खाली “खिड़कियाँ” जाल कहलाती हैं।

मेश विश्लेषण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
  1. परिपथ के हर मेश (खिड़की) में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ।
  2. हर मेश के चारों ओर किरखॉफ़ का वोल्टता नियम लगाएँ: वोल्टता पातों का योग शून्य है।
  3. दो मेशों के साझा प्रतिरोधक में धारा दोनों मेश धाराओं का अंतर होती है।
  4. समीकरण हल करें; ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि धारा उलटी दिशा में बहती है।
मेश विश्लेषण में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • साझा प्रतिरोधक में पूरी मेश धारा का उपयोग करना।
  • लूप के चारों ओर चलते हुए किसी स्रोत का चिह्न गलत लेना।
  • भूल जाना कि बाहरी शाखा में धारा स्रोत उस मेश की धारा तय कर देता है।
मेश विश्लेषण के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: 2 मेश, 1 स्रोत
  • मध्यम: 2 मेश, 2 स्रोत
  • कठिन: 3 मेश

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

इस विषय वाले कोर्स

परिपथ विश्लेषण 1FE Electrical and Computer परीक्षा अभ्यास

इलेक्ट्रिकल में और विषय

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकअध्यारोपणथेवेनिन और नॉर्टननोडल विश्लेषणRC और RL क्षणिक अवस्थाएँAC प्रतिबाधा और फ़ेज़रAC शक्ति और शक्ति गुणकLC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थत्रि-फ़ेज़ शक्तिट्रांसफ़ॉर्मरDC मोटरेंऑप-एम्प परिपथडायोड और ट्रांज़िस्टरDC-DC कन्वर्टरडिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपव्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजडेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनलाप्लास रूपांतरब्लॉक आरेखसोपान अनुक्रियाबोडे आरेख और सीमाएँस्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथस्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणसंवलन और LTI तंत्र

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