नोडल विश्लेषण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त नोडल विश्लेषण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: 1 अज्ञात नोड, 2 अज्ञात नोड, 2 नोड, 3 स्रोत।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​8 VR3​4 ΩA+−V2​6 V

नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R1 से होकर धारा IR1 ज्ञात कीजिए।

V1 = 8 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
A
अगला प्रश्न →
नोडल विश्लेषण का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी नोडल विश्लेषण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसान1 अज्ञात नोड
  2. मध्यम2 अज्ञात नोड
  3. कठिन2 नोड, 3 स्रोत

नोडल विश्लेषण के प्रश्न कैसे हल करें

  1. एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
  2. हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
  3. हर शाखा धारा को (Va − Vb)/R के रूप में व्यक्त करें।
  4. समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

सामान्य गलतियाँ

  • दो नोड समीकरणों के बीच शाखा धारा के चिह्न में गड़बड़ी करना।
  • संदर्भ नोड के लिए समीकरण लिखना।
  • किसी नोड में प्रवेश करने या उससे निकलने वाले धारा स्रोत को भूल जाना।

मुख्य सूत्र

किरचॉफ का धारा नियम
ΣIin = ΣIout
शाखा धारा
I = (Va − Vb)/R
संदर्भ नोड
Vground = 0

नोडल विश्लेषण शुरू से सीखें

इससे पहले: श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

1नोडल विश्लेषण क्या है

नोडल विश्लेषण परिपथ की हर वोल्टता ज्ञात करने की एक मानक विधि है। यह तब भी काम करती है जब श्रेणी और समांतर नियम पर्याप्त नहीं होते।

नोड वह बिंदु है जहाँ परिपथ के दो या अधिक भाग मिलते हैं। साधारण तार का पूरा खंड एक नोड गिना जाता है, क्योंकि तार के अनुदिश कोई वोल्टता पतन नहीं होता।

आप एक नोड को संदर्भ चुनते हैं, जिसे भू-संपर्क (ग्राउंड) भी कहते हैं, और उसे 0 V देते हैं। हर अन्य नोड वोल्टता उसी नोड से मापी जाती है।

मानचित्र पर समुद्र तल से मापी गई ऊँचाइयों के बारे में सोचिए। पानी ऊँचाई से नीचे की ओर बहता है, और पाइप में प्रवाह उसके सिरों की ऊँचाई के अंतर पर निर्भर करता है।

एक बार नोड वोल्टताएँ ज्ञात हो जाएँ, तो ओम का नियम हर धारा दे देता है। इसलिए नोड वोल्टताएँ ही एकमात्र अज्ञात हैं जिनकी आपको ज़रूरत है।

स्व-जाँच परिभाषा के अनुसार किस नोड की वोल्टता 0 V होती है?
  1. संदर्भ नोड (ग्राउंड) जिसे आपने चुना
  2. सबसे अधिक प्रतिरोधकों वाला नोड
  3. सबसे बड़े स्रोत के पास वाला नोड
  4. स्रोत रहित हर नोड

उत्तर: संदर्भ नोड (ग्राउंड) जिसे आपने चुना. संदर्भ नोड आप स्वयं चुनते हैं और उसे 0 V कहते हैं। अन्य सभी नोड वोल्टताएँ उसी से मापी जाती हैं।

2किरचॉफ का धारा नियम

आवेश किसी नोड में जमा नहीं हो सकता। इसलिए नोड में जितनी धारा प्रवेश करती है, उतनी ही उसे फिर छोड़नी होती है। यही किरखॉफ़ का धारा नियम (KCL) है।

ΣIin = ΣIout

उदाहरण के लिए, यदि 3 A और 2 A किसी नोड में प्रवेश करती हैं, तो कुल 5 A को अन्य शाखाओं से बाहर जाना होगा।

आप प्रत्येक प्रतिरोधक में धारा ओम के नियम से लिखते हैं, उसके दोनों सिरों की वोल्टताओं का उपयोग करके:

Va​Vb​RI
I = (Va − Vb) / R

यह a से b की ओर धारा है। यदि परिणाम ऋणात्मक आए, तो धारा वास्तव में b से a की ओर बहती है। यह ठीक है: चिह्न को बनाए रखिए।

स्व-जाँच नोड a 9 V पर है और नोड b 4 V पर। 5 Ω का प्रतिरोधक उन्हें जोड़ता है। a से b की ओर कौन-सी धारा बहती है?
  1. 1 A
  2. 1.8 A
  3. 2.6 A
  4. −1 A

उत्तर: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A। वोल्टताओं को जोड़ने पर 2.6 A मिलता है, उन्हें आपस में बदलने पर −1 A, और 1.8 A b की वोल्टता को अनदेखा करता है।

3विधि चरण-दर-चरण

  1. संदर्भ नोड चुनिए। नीचे का तार सामान्य चुनाव है। उसे भू-संपर्क (ग्राउंड) के प्रतीक से चिह्नित कीजिए।
  2. वे नोड ढूँढिए जिनकी वोल्टता आप पहले से जानते हैं। जो नोड वोल्टता स्रोत द्वारा भू-संपर्क से जुड़ा हो, वह उसी स्रोत की वोल्टता पर होता है।
  3. हर अन्य नोड का नाम रखिए (A, B, …)। उनकी वोल्टताएँ VA, VB, … अज्ञात हैं।
  4. हर अज्ञात नोड पर KCL लिखिए: प्रतिरोधकों से बाहर जाने वाली धाराओं का योग धारा स्रोतों द्वारा भीतर धकेली गई धारा के बराबर होता है।
  5. हर प्रतिरोधक की धारा को (Vनोड − Vदूसरा सिरा)/R के रूप में लिखिए, फिर समीकरण हल कीजिए।
  6. प्रश्न जो भी शाखा धारा पूछे, उसे ज्ञात करने के लिए ओम के नियम का उपयोग कीजिए।

हर प्रतिरोधक धारा को नोड से बाहर जाती हुई लिखने से चिह्न अपने-आप तय हो जाते हैं। आपको पहले वास्तविक दिशाओं का अनुमान नहीं लगाना पड़ता।

आपको हर अज्ञात नोड के लिए एक समीकरण चाहिए। संदर्भ नोड के लिए कभी समीकरण न लिखिए: उसकी वोल्टता पहले से ज्ञात है।

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

नोड वोल्टता VA और R1 से होकर स्रोत से A की ओर बहने वाली धारा IR1 ज्ञात कीजिए।

1

परिपथ को देखें

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 VVA​ ?

नीचे का तार भू-संपर्क है। V1 का ऊपरी सिरा भू-संपर्क से 15 V ऊपर है, इसलिए वह नोड ज्ञात है: 15 V।

केवल नोड A अज्ञात है, इसलिए आपको एक समीकरण चाहिए।

2

A पर KCL लिखिए

दो प्रतिरोधक A से बाहर जाते हैं: R1 15 V वाले नोड को जाता है और R2 भू-संपर्क को। धारा स्रोत A में 1 A धकेलता है।

(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3

VA के लिए हल कीजिए

भिन्न हटाने के लिए दोनों पक्षों को 6 से गुणा कीजिए।

2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4

R₁ में धारा ज्ञात कीजिए

IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A

परिणाम धनात्मक है, इसलिए 1 A वास्तव में स्रोत से A की ओर बहती है।

5

उत्तर जाँचें

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 V1 A2 A

R2 भू-संपर्क की ओर नीचे 12/6 = 2 A वहन करता है। A में R1 से 1 A और धारा स्रोत से 1 A आती है।

यह 2 A भीतर और 2 A बाहर है, इसलिए A पर KCL सही बैठता है।

उत्तर

VA = 12 V और IR1 = 1 A।

5दो अज्ञात नोड

दो अज्ञात नोडों के साथ आप हर नोड पर एक KCL समीकरण लिखते हैं और दोनों समीकरणों को साथ-साथ हल करते हैं।

+−V1​6 VR1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR2​3 ΩR4​3 ΩIs​2 AAB

नोड A पर तीन प्रतिरोधक बाहर जाते हैं: R1, R2 और R3। नोड B पर दो प्रतिरोधक बाहर जाते हैं और धारा स्रोत 2 A भीतर धकेलता है।

A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 3 से गुणा कीजिए:

7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6

दोनों समीकरण जोड़िए। VB के पद कट जाते हैं, इसलिए 6·VA = 24।

VA = 4 V, VB = 5 V

ध्यान दीजिए कि R3 दोनों समीकरणों में आता है, A पर (VA − VB) के रूप में और B पर (VB − VA) के रूप में। यह जाँचने का एक त्वरित तरीका है कि आपके समीकरण सही हैं।

6सामान्य गलतियाँ

  • साझा प्रतिरोधक का चिह्न गड़बड़ा देना: वह A पर (VA − VB) है, पर B पर (VB − VA)।
  • नोड में आने या जाने वाले धारा स्रोत को भूल जाना।
  • संदर्भ नोड के लिए KCL समीकरण लिखना, या ज्ञात नोड को अज्ञात मान लेना।
  • ऋणात्मक धारा का ऋण चिह्न छोड़ देना। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि धारा तीर के विपरीत बहती है।
स्व-जाँच नोड A पर एक 4 Ω प्रतिरोधक भू-संपर्क को जाता है और दूसरा 4 Ω प्रतिरोधक 12 V वाले नोड को। एक 2 A स्रोत A में धारा धकेलता है। VA क्या है?
  1. 10 V
  2. 12 V
  3. 2 V
  4. 6 V

उत्तर: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 से 2·VA − 12 = 8 मिलता है, इसलिए VA = 10 V। स्रोत को भूल जाने पर 6 V मिलता है; उसे A से बाहर जाता मानने पर 2 V।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: एक अज्ञात नोड A, एक वोल्टता स्रोत और या तो एक धारा स्रोत या दूसरा वोल्टता स्रोत। एक KCL समीकरण पर्याप्त है।
  • मध्यम: दो अज्ञात नोड A और B, B पर धारा स्रोत के साथ। दो समीकरण लिखिए और उन्हें साथ-साथ हल कीजिए।
  • कठिन: दो अज्ञात नोड और तीन स्रोत: दो वोल्टता स्रोत और एक धारा स्रोत। विधि वही है, बस पद अधिक हैं।

प्रश्न नोड वोल्टता पूछता है, या तीर की दिशा में किसी एक प्रतिरोधक से बहने वाली धारा।

शाखा धारा के लिए, पहले नोड वोल्टताएँ ज्ञात कीजिए। फिर तीर के अनुदिश I = (Vआरंभ − Vअंत)/R का उपयोग कीजिए।

ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखेंऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
R1​8 Ω+−V1​20 VR2​3 Ω+−V2​18 VR3​2 Ω+−V3​8 VA

नोड A और ग्राउंड के बीच तीन शाखाएँ जुड़ी हैं, जैसा दिखाया गया है। नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता VA ज्ञात कीजिए।

V1 = 20 VR1 = 8 ΩV2 = 18 VR2 = 3 ΩV3 = 8 VR3 = 2 Ω

ज्ञात करें: VA (V)

संकेत दिखाएँ
  1. केवल नोड A अज्ञात है। एक KCL समीकरण लिखें: A से निकलने वाली शाखा धाराओं का योग शून्य है।
  2. हर शाखा धारा (VA − Vk)/Rk है। VA वाले पदों को एक ओर इकट्ठा करें।
  3. Σ1/R = 0.9583 S.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

नोड A पर KCL

नीचे वाले तार को ग्राउंड लें। हर शाखा A से दूर (VA − Vk)/Rk वहन करती है, जहाँ Vk उसके स्रोत की वोल्टता है (साधारण प्रतिरोधक के लिए शून्य)। A से निकलने वाली धाराओं का योग शून्य है।

(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0

VA के लिए हल करें

VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12.5/0.9583 = 13.04 V

उत्तर

VA = 13.04 V
उदाहरण 2मध्यम
−+Vs​ = 3 VIx​Is​1.5 AAR1​6 ΩR2​3 ΩB

A और B के बीच वोल्टता स्रोत Vₛ का + टर्मिनल B पर है, इसलिए यह VB − VA = Vₛ बनाता है। सुपरनोड के साथ नोडल विश्लेषण से वोल्टता स्रोत से होकर, तीर के अनुसार A से B की ओर धारा Ix ज्ञात कीजिए।

Is = 1.5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω

ज्ञात करें: Ix (A)

संकेत दिखाएँ
  1. दो गैर-ग्राउंड नोडों के बीच का वोल्टता स्रोत उनका अंतर निश्चित करता है: VB − VA = Vs।
  2. A, B और स्रोत के चारों ओर सुपरनोड के लिए एक KCL समीकरण लिखें: VA/R₁ + VB/R₂ = Is।
  3. VA = 1 V.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

सुपरनोड बनाएँ

A और B के बीच का वोल्टता स्रोत एक अज्ञात धारा वहन करता है, इसलिए KCL को A या B पर अलग-अलग नहीं लिखा जा सकता। A, B और स्रोत को एक सुपरनोड में घेरें: उसमें प्रवेश करने वाली धारा उससे निकलने वाली धारा के बराबर है।

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

हल करें

VA/6 + (VA + 3)/3 = 1.5
VA = (1.5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V

वोल्टता स्रोत से होकर धारा

स्रोत से होकर A से B तक जो कुछ जाता है वह R₂ से होकर नोड B से निकलता है।

Ix = VB/R2 = 4/3 = 1.333 A

उत्तर

Ix = 1.333 A

ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तविक धारा तीर के विपरीत बहती है।

उदाहरण 3कठिन
R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0.5 A+−V2​9 V

नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R4 से होकर धारा IR4 ज्ञात कीजिए।

V1 = 6 VIs = 0.5 AV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω

ज्ञात करें: IR4 (A)

संकेत दिखाएँ
  1. नीचे वाले तार को ग्राउंड (0 V) मानें। वोल्टता स्रोत से सीधे जुड़े नोड पहले से ज्ञात हैं, इसलिए अज्ञात VA और VB हैं।
  2. A पर KCL लिखें: हर प्रतिरोधक के लिए (VA − Vदूसरा सिरा)/R, और उनके योग को A में आने वाली किसी भी स्रोत धारा के बराबर रखें।
  3. हल करने पर VA = 2.455 V मिलता है। फिर IR4 = (तीर की पूँछ पर वोल्टता − शीर्ष पर वोल्टता)/R4।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0.5 A+−V2​9 V

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V1 = 6 V, V2 = 9 V)। अज्ञात: VA, VB।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0.1333·VA − 0.05·VB = 0.3

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0.5)
−0.05·VA + 0.1333·VB = −0.05

हल करें

Δ = (0.1333)(0.1333) − (−0.05)(−0.05) = 0.01528
VA = Δ1/Δ = 0.0375/0.01528 = 2.455 V
VB = Δ2/Δ = 0.008333/0.01528 = 0.5455 V

उत्तर

IR4 = (VB − V2)/R4 = (0.5455 − 9)/20 = −0.4227 A

प्रश्न और उत्तर

नोडल विश्लेषण क्या है?

नोडल विश्लेषण परिपथ की हर वोल्टता ज्ञात करने की एक मानक विधि है। यह तब भी काम करती है जब श्रेणी और समांतर नियम पर्याप्त नहीं होते।

आप एक नोड को संदर्भ चुनते हैं, जिसे भू-संपर्क (ग्राउंड) भी कहते हैं, और उसे 0 V देते हैं। हर अन्य नोड वोल्टता उसी नोड से मापी जाती है।

नोडल विश्लेषण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
  1. एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
  2. हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
  3. हर शाखा धारा को (Va − Vb)/R के रूप में व्यक्त करें।
  4. समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।
नोडल विश्लेषण में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • दो नोड समीकरणों के बीच शाखा धारा के चिह्न में गड़बड़ी करना।
  • संदर्भ नोड के लिए समीकरण लिखना।
  • किसी नोड में प्रवेश करने या उससे निकलने वाले धारा स्रोत को भूल जाना।
नोडल विश्लेषण के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: 1 अज्ञात नोड
  • मध्यम: 2 अज्ञात नोड
  • कठिन: 2 नोड, 3 स्रोत

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

इसके बाद

ऑप-एम्प परिपथ

इस विषय वाले कोर्स

परिपथ विश्लेषण 1आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंगFE Electrical and Computer परीक्षा अभ्यास

इलेक्ट्रिकल में और विषय

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकअध्यारोपणथेवेनिन और नॉर्टनमेश विश्लेषणRC और RL क्षणिक अवस्थाएँAC प्रतिबाधा और फ़ेज़रAC शक्ति और शक्ति गुणकLC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थत्रि-फ़ेज़ शक्तिट्रांसफ़ॉर्मरDC मोटरेंऑप-एम्प परिपथडायोड और ट्रांज़िस्टरDC-DC कन्वर्टरडिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपव्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजडेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनलाप्लास रूपांतरब्लॉक आरेखसोपान अनुक्रियाबोडे आरेख और सीमाएँस्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथस्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणसंवलन और LTI तंत्र

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित नोडल विश्लेषण वर्कशीट
नोडल विश्लेषण का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी नोडल विश्लेषण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।