बोडे आरेख और सीमाएँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त बोडे आरेख और सीमाएँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: फ़िल्टर और अनंतस्पर्शी, परिमाण और कला, स्थिरता सीमाएँ।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति fc ज्ञात कीजिए, R = 10 kΩ, C = 4.7 nF के साथ। इसे Hz में दीजिए।
किसी फ़िल्टर या एम्पलीफ़ायर में ज्या तरंग दें, तो उसी आवृत्ति की ज्या तरंग निकलती है। केवल दो चीज़ें बदलती हैं: उसका आकार और उसका समय।
लब्धि |H| निर्गत आयाम और निवेश आयाम का अनुपात है। कला φ वह है जितना निर्गत अंशों में खिसका है। ऋणात्मक कला का अर्थ है कि निर्गत पीछे रहता है।
दोनों आवृत्ति पर निर्भर करते हैं। बोड आलेख उन्हें आवृत्ति के विरुद्ध खींचता है: ऊपर डेसिबल में लब्धि, नीचे कला। आवृत्ति अक्ष लघुगणकीय है, इसलिए हर दशक (×10) को समान चौड़ाई मिलती है।
डेसिबल अनुपात को ऐसी संख्या में बदलते हैं जिसे जोड़ा जा सकता है:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
1 की लब्धि 0 dB है, 10 की 20 dB, 100 की 40 dB, और 0.1 की −20 dB।
1/√2 ≈ 0.707 की लब्धि −3 dB है। यह फ़िल्टर के पास-बैंड का किनारा है।
स्व-जाँच एक एम्पलीफ़ायर की लब्धि 100 है। डेसिबल में उसकी लब्धि क्या है?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
उत्तर: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB। 20 dB 10·log₁₀ लेता है, जो शक्ति अनुपातों के लिए है, वोल्टताओं के लिए नहीं। 2 केवल log₁₀(100) है।
2प्रथम-कोटि फ़िल्टर
एक प्रतिरोधक के साथ एक संधारित्र या प्रेरक सबसे सरल फ़िल्टर बनाता है। निम्न-पास फ़िल्टर निम्न आवृत्तियों को पार होने देता है और उच्च को कमज़ोर करता है। उच्च-पास फ़िल्टर इसका उलटा करता है।
RC निम्न-पास फ़िल्टर (बाएँ) में निर्गत संधारित्र के आर-पार होता है। RC उच्च-पास फ़िल्टर (दाएँ) में वह प्रतिरोधक के आर-पार होता है। प्रेरक के साथ, निम्न-पास फ़िल्टर का निर्गत R के आर-पार होता है, और उच्च-पास का L के आर-पार।
परिवर्तन कोने की आवृत्ति के आसपास होता है, जहाँ लब्धि −3 dB होती है। यह निम्न-पास और उच्च-पास दोनों संस्करणों के लिए समान है:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc rad/s में है और fc Hz में। पहले R, C और L को आधार इकाइयों में रखें: Ω, F और H।
आलेख एक निम्न-पास फ़िल्टर दिखाता है। ωc के नीचे लब्धि लगभग 0 dB है। उसके ऊपर लब्धि प्रति दशक 20 dB गिरती है। कला 0° से −90° जाती है और कोने पर −45° होती है।
किसी भी आवृत्ति पर, अनुपात x = f/fc = ω/ωc के साथ:
निम्न-पास: |H| = 1/√(1 + x²) और φ = −atan x।
उच्च-पास: |H| = x/√(1 + x²) और φ = 90° − atan x।
हल किया गया उदाहरण
R = 470 Ω और L = 47 mH वाले RL उच्च-पास फ़िल्टर की कोने की आवृत्ति fc ज्ञात कीजिए।
1
आधार इकाइयाँ
L = 47 mH = 0.047 H
2
rad/s में कोना
ωc = R/L = 470/0.047 = 10 000 rad/s
3
Hz में कोना
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
उत्तर
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s)।
स्व-जाँच R = 1 kΩ और C = 1 µF वाले RC निम्न-पास फ़िल्टर की कोने की आवृत्ति fc क्या है?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
उत्तर: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0.000001) = 1000 rad/s, इसलिए fc = 1000/(2π) = 159 Hz। 1000 rad/s में ωc है, Hz में नहीं। 6283 में 2π से गुणा किया गया है, और 159 kHz में kΩ का k भूल गए हैं।
3सीधी-रेखा बोड आलेख
अंतरण फलन G(s) के लिए आप परिमाण को सीधी रेखाओं से रेखांकित कर सकते हैं। हर गुणक अपनी कोने की आवृत्ति पर ढाल बदलता है।
हर में ध्रुव गुणक (s + p) ω = p से आगे रेखा को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है।
अंश में शून्य गुणक (s + z) ω = z से आगे उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है।
हर में गुणक s (एक समाकलक) हर आवृत्ति पर −20 dB/दशक और −90° कला देता है।
समाकलक के बिना आलेख DC लब्धि G(0) पर, dB में बदलकर, समतल शुरू होता है।
चित्र G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)) दिखाता है। G(0) = 10 000/1000 = 10, इसलिए आलेख 20 dB से शुरू होता है। वह 10 rad/s पर −20 dB/दशक की ओर और 100 rad/s पर −40 dB/दशक की ओर मुड़ता है।
किसी बैंड में ढाल ज्ञात करने के लिए: हर समाकलक के लिए −20 dB/दशक से शुरू करें, फिर उस बैंड से नीचे के हर ध्रुव कोने के लिए −20 और हर शून्य कोने के लिए +20 जोड़ें।
स्व-जाँच G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)) है। 5 और 50 rad/s के बीच सीधी-रेखा आलेख की ढाल क्या है?
0 dB/दशक
−20 dB/दशक
−40 dB/दशक
−60 dB/दशक
उत्तर: −40 dB/दशक. समाकलक शुरू से −20 देता है। 5 पर ध्रुव −20 जोड़ता है, इसलिए 5 और 50 के बीच ढाल −40 है। 50 पर शून्य उसे 50 से ऊपर −20 पर वापस ले आता है। −60 शून्य को ध्रुव मान लेता है।
4एक आवृत्ति पर यथार्थ मान
सीधी रेखाएँ एक रेखाचित्र हैं। यथार्थ मान के लिए s = jω रखें। हर गुणक (jω + a) एक सम्मिश्र संख्या है, जिसका:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
G का परिमाण अंशों के परिमाणों के गुणनफल को हरों के परिमाणों के गुणनफल से भाग देने पर मिलता है। कला अंशों के कोणों का योग घटा हरों के कोणों का योग है।
उदाहरण: ω = 4 rad/s पर G(s) = 150/((s + 3)(s + 4))। |j4 + 3| = 5 और |j4 + 4| = 5.657, इसलिए |G| = 150/28.28 = 5.30, जो 14.5 dB है।
कला −atan(4/3) − atan(4/4) = −53.1° − 45° = −98.1° है।
R के आर-पार निर्गत वाला श्रेणी RLC परिपथ बैंड-पास फ़िल्टर है। वह अनुनादी आवृत्ति ω₀ = 1/√(LC) के पास की आवृत्तियों को पार होने देता है। बैंडविड्थ BW = R/L है, rad/s में, और गुणवत्ता गुणक Q = ω₀/BW।
G(s) या H(jω) लिखें। RC या RL फ़िल्टर के लिए पहले ωc और अनुपात x = ω/ωc ज्ञात करें।
हर गुणक के लिए उसका परिमाण √(ω² + a²) और उसका कोण atan(ω/a) ज्ञात करें।
परिमाणों को गुणा और भाग करें। शून्य के कोण जोड़ें और ध्रुव के कोण घटाएँ; समाकलक −90° जोड़ता है।
परिमाण को 20·log₁₀ से dB में बदलें।
सीधी-रेखा रेखाचित्र से मिलान करें: यथार्थ मान उसके निकट होना चाहिए, और एक अकेले कोने पर उससे 3 dB नीचे।
5एक हल किया गया उदाहरण
यह एक सामान्य मध्यम प्रश्न है। हर चरण खोलने से पहले उसे स्वयं करके देखें।
हल किया गया उदाहरण
एक RC निम्न-पास फ़िल्टर में R = 10 kΩ और C = 100 nF है। 480 Hz की ज्या तरंग लगाई जाती है। लब्धि |H| dB में और कला विस्थापन φ ज्ञात कीजिए।
1
कोना आवृत्ति
आधार इकाइयाँ लें: R = 10 000 Ω और C = 0.0000001 F।
ωc = 1/(10 000·0.0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159.2 Hz
2
आवृत्ति अनुपात
x = f/fc = 480/159.2 = 3.016
निवेश कोने से ऊपर है, इसलिए लब्धि में स्पष्ट कमी की अपेक्षा करें।
3
लब्धि
|H| = 1/√(1 + 3.016²) = 1/3.177 = 0.315
20·log₁₀(0.315) = −10.0 dB
4
कला
निम्न-पास फ़िल्टर निर्गत को पीछे रखता है, इसलिए कला ऋणात्मक है।
φ = −atan(3.016) = −71.7°
5
उत्तर जाँचें
सीधी रेखा −20·log₁₀(3.016) = −9.6 dB देती है, यथार्थ −10.0 dB के निकट।
उत्तर
|H| ≈ −10.0 dB और φ ≈ −71.7°।
6सामान्य गलतियाँ
वोल्टता लब्धि के लिए 10·log₁₀ का उपयोग करना। संकेतों की लब्धियों में 20·log₁₀ लगता है।
ω और f को उलझा देना। ωc = 1/(RC) rad/s में है; Hz के लिए 2π से भाग दें।
RL की कोने की आवृत्ति के लिए L/R का उपयोग करना। L/R समय स्थिरांक है; कोना ωc = R/L है।
परिमाणों को ω + a की तरह जोड़ना। jω + a का परिमाण √(ω² + a²) है।
समाकलक भूल जाना: 1/s हर आवृत्ति पर −20 dB/दशक और −90° देता है।
यथार्थ परिमाण पूछे जाने पर सीधी-रेखा वाला मान देना।
स्व-जाँच G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) की DC लब्धि dB में क्या है?
16.0 dB
32.0 dB
40 dB
52.0 dB
उत्तर: 32.0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, और 20·log₁₀(40) = 32.0 dB। 16.0 dB 10·log₁₀ लेता है। 40 अनुपात है, dB नहीं। 52.0 dB में हर में s = 0 रखना भूल गए हैं।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: फ़िल्टर और अनंतस्पर्शी। RC या RL फ़िल्टर की कोने की आवृत्ति Hz या rad/s में, किसी बैंड में सीधी-रेखा आलेख की ढाल, या dB में DC लब्धि।
मध्यम: परिमाण और कला। दी गई आवृत्ति पर किसी फ़िल्टर की लब्धि dB में या कला, किसी अंतरण फलन का यथार्थ |G(jω)| या ∠G(jω), या RLC बैंड-पास फ़िल्टर का f₀, BW या Q।
कठिन: पाश L(s) के स्थायित्व अंतर, जैसे 85/(s(s + 5)) या K/(s(s + a)(s + b))।
कठिन स्तर के लिए आपको दो आवृत्तियाँ चाहिए। लब्धि क्रॉसओवर ωc पर |L(jω)| = 1 (0 dB)। कला क्रॉसओवर ω180 पर ∠L(jω) = −180°।
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) के लिए कला क्रॉसओवर ω180 = √(a·b) पर है। पाश तब स्थायी होता है जब दोनों अंतर धनात्मक हों।
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) का निम्न-आवृत्ति (DC) लब्धि डेसिबल में ज्ञात कीजिए, |G(0)| dB में।
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
ज्ञात करें: |G(0)|(dB)
संकेत दिखाएँ
बहुत कम आवृत्ति पर s → 0।
G(0) = 0.3.
20·log₁₀(0.3).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
DC लब्धि
G(0) = 0.3
डेसिबल में
20·log₁₀(0.3) = −10.46 dB
उत्तर
|G(0)| = −10.46 dB
उदाहरण 2मध्यम
दर्शाए गए RC निम्न-पारक फ़िल्टर में R = 1 kΩ, C = 1 nF है। 1600 kHz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। vin के सापेक्ष vout का कला अंतर φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
ज्ञात करें: φ(°)
संकेत दिखाएँ
पहले कोना आवृत्ति ज्ञात कीजिए: fc = 159155 Hz।
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10.05।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
कोना आवृत्ति
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1.6 × 10⁶/159155 = 10.05
कला
φ = − atan(10.05) = −84.32°
उत्तर
φ = −84.32°
उदाहरण 3कठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 185/(s(s + 5)) है। कला सीमा PM डिग्री में ज्ञात कीजिए।
L(s) = 185/(s(s + 5))
ज्ञात करें: PM(°)
संकेत दिखाएँ
|L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 से ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0 मिलता है।
x = ω² में द्विघात हल कीजिए: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2।
ωc = 13.15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
लब्धि क्रॉसओवर
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172.9
ωc = 13.15 rad/s
कला सीमा
∠L(jωc) = −90° − atan(13.15/5) = −159.2°
PM = 180° + ∠L = 20.82°
उत्तर
PM = 20.82°
प्रश्न और उत्तर
बोडे आरेख और सीमाएँ क्या है?
किसी फ़िल्टर या एम्पलीफ़ायर में ज्या तरंग दें, तो उसी आवृत्ति की ज्या तरंग निकलती है। केवल दो चीज़ें बदलती हैं: उसका आकार और उसका समय।
दोनों आवृत्ति पर निर्भर करते हैं। बोड आलेख उन्हें आवृत्ति के विरुद्ध खींचता है: ऊपर डेसिबल में लब्धि, नीचे कला। आवृत्ति अक्ष लघुगणकीय है, इसलिए हर दशक (×10) को समान चौड़ाई मिलती है।
बोडे आरेख और सीमाएँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
बोडे आरेख और सीमाएँ में आम गलतियाँ क्या हैं?
यह अनुपात के रूप में लब्धि है। बदलिए: 20·log₁₀(0.3)।
वोल्टता या संकेत अनुपात के लिए 20·log₁₀ का उपयोग कीजिए, 10·log₁₀ का नहीं (वह शक्ति के लिए है)।
हर गुणनखंड में s = 0 रखिए: G(0) = 0.3, 12 नहीं।
बोडे आरेख और सीमाएँ के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: फ़िल्टर और अनंतस्पर्शी
मध्यम: परिमाण और कला
कठिन: स्थिरता सीमाएँ
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।