LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: प्राकृतिक आवृत्ति, Q और ऊर्जा मध्यम: श्रेणी और समानांतर RLC कठिन: अभिकल्पन, हानियाँ और क्षय हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: प्राकृतिक आवृत्ति, Q और ऊर्जा, श्रेणी और समानांतर RLC, अभिकल्पन, हानियाँ और क्षय।

महत्वपूर्ण: केवल सीखने के लिए

केवल सीखने के लिए। इन परिणामों का उपयोग असली विद्युत उपकरणों के डिज़ाइन, स्थापना, मरम्मत या परीक्षण के लिए न करें। मुख्य आपूर्ति (मेन्स) और उच्च वोल्टता जानलेवा हो सकती हैं: विद्युत कार्य स्थानीय नियमों का पालन करते हुए योग्य इलेक्ट्रीशियन द्वारा ही किया जाना चाहिए। उपयोग की शर्तें

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

L = 4.7 mH वाले LC परिपथ को 50 kHz पर अनुनाद करना है। धारिता C nF में ज्ञात कीजिए।

L = 4.7 mHf₀ = 50 kHz

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LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ का मुफ़्त अभ्यास करें अभी LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानप्राकृतिक आवृत्ति, Q और ऊर्जा
मध्यमश्रेणी और समानांतर RLC
कठिनअभिकल्पन, हानियाँ और क्षय

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ के प्रश्न कैसे हल करें

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

सामान्य गलतियाँ

ω₀ (rad/s) और f₀ (Hz) को मिला देना: इनमें 2π का अंतर है।
समानांतर परिपथ में Q के लिए श्रेणी वाला सूत्र उपयोग करना, जहाँ बड़ा R अधिक Q देता है।
f₀ को f₁ और f₂ के ठीक बीच में रखना: यह उनका गुणोत्तर माध्य √(f₁f₂) है।
µH, nF और pF को H और F में बदलना भूल जाना।

मुख्य सूत्र

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ शुरू से सीखें

इससे पहले: AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

1LC परिपथ में क्या होता है

एक संधारित्र को आवेशित करें और उसे प्रेरक से जोड़ दें। संधारित्र कुंडली से धारा चलाता है। धारा चुंबकीय क्षेत्र बनाती है, और जब संधारित्र खाली हो जाता है तो क्षेत्र धारा को चलाता रखता है, इसलिए संधारित्र उलटी दिशा में आवेशित होता है। फिर सब कुछ उलटा चलता है।

ऊर्जा C के विद्युत क्षेत्र (½Cv²) और L के चुंबकीय क्षेत्र (½Li²) के बीच दोलन करती है, जैसे लोलक ऊँचाई और गति के बीच दोलन करता है। प्रतिरोध न हो तो कुल ऊर्जा ½CV₀² वही रहती है।

स्व-जाँच जिस क्षण संधारित्र की वोल्टता शून्य होती है, आदर्श LC परिपथ की ऊर्जा कहाँ होती है?

आधी C में और आधी L में
पूरी प्रेरक में, और धारा अपने शिखर पर है
पूरी संधारित्र में
वह ऊष्मा के रूप में खो गई है

उत्तर: पूरी प्रेरक में, और धारा अपने शिखर पर है. v = 0 होने पर संधारित्र में ½Cv² = 0 है, इसलिए सारी ऊर्जा प्रेरक में ½Li² के रूप में है: धारा अधिकतम है। आदर्श परिपथ में प्रतिरोध नहीं होता, इसलिए कुछ नहीं खोता।

2प्राकृतिक आवृत्ति

परिपथ उस आवृत्ति पर दोलन करता है जहाँ L और C के प्रतिघात बराबर होते हैं, ωL = 1/(ωC):

ω₀ = 1/√(LC) f₀ = ω₀/(2π) = 1/(2π√(LC))

L = 10 mH और C = 1 µF के साथ: LC = 10⁻⁸ s², ω₀ = 10 000 rad/s और f₀ = 1592 Hz। ऊर्जा आवर्त T = 1/f₀ के चौथाई समय में C से L तक जाती है।

ऊर्जा से शिखर धारा भी मिलती है: ½CV₀² = ½LI_max², इसलिए I_max = V₀√(C/L)।

स्व-जाँच C को दुगुना करने पर f₀ का क्या होता है?

वह आधा हो जाता है
वह घटकर f₀/√2 हो जाती है, लगभग 0.71·f₀
वह दुगुना हो जाता है
वह √2 गुना बढ़ जाती है

उत्तर: वह घटकर f₀/√2 हो जाती है, लगभग 0.71·f₀. f₀, 1/√C के समानुपाती है, इसलिए C को दुगुना करने पर वह √2 से भाग हो जाती है। वह आधी तभी होती है जब C चार गुना हो।

3Q गुणक और बैंडविड्थ

वास्तविक परिपथ प्रतिरोध में ऊर्जा खोते हैं। गुणता गुणक Q संचित ऊर्जा की तुलना हानि से करता है: Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। ऊँचा Q तीखा अनुनाद शिखर देता है।

बैंडविड्थ अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच शिखर की चौड़ाई है, जहाँ धारा अपने शिखर का 0.707 होती है:

BW = f₂ − f₁ = f₀/Q f₀ = √(f₁·f₂)

श्रेणी RLC: Q = (1/R)·√(L/C) और BW = R/(2πL)। छोटा श्रेणी प्रतिरोध ऊँचा Q देता है।
समानांतर RLC: Q = R·√(C/L) और BW = 1/(2πRC)। बड़ा समानांतर प्रतिरोध ऊँचा Q देता है।

4विधि चरण-दर-चरण

L और C को H और F में बदलें, फिर ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π) ज्ञात करें।
तय करें कि R श्रेणी में है या समानांतर में, और Q के लिए सही सूत्र उपयोग करें।
बैंडविड्थ BW = f₀/Q ज्ञात करें।
अर्ध-शक्ति आवृत्तियों के लिए f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) उपयोग करें; ऊँचे Q के लिए f₀ ∓ BW/2 लगभग सही है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 10 Ω, L = 10 mH और C = 1 µF है। इसकी अनुनाद आवृत्ति, गुणता गुणक, बैंडविड्थ और अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिए।

परिपथ को देखें

तीनों भागों में एक ही धारा है, इसलिए यह श्रेणी परिपथ है।

अनुनाद आवृत्ति

f₀ = 1/(2π√(0.01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz

गुणता गुणक

Q = (1/10)·√(0.01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10

बैंडविड्थ

BW = f₀/Q = 1592/10 = 159.2 Hz

जाँच: R/(2πL) = 10/(2π·0.01) = 159.2 Hz।

अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ

f_1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0.05) = 1514 Hz और 1673 Hz

जाँच: 1673 − 1514 = 159 Hz, और √(1514·1673) = 1592 Hz।

उत्तर

f₀ = 1.59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f₁ = 1.51 kHz और f₂ = 1.67 kHz।

6सामान्य गलतियाँ

ω₀ (rad/s) और f₀ (Hz) को मिला देना: इनमें 2π का अंतर है।
समानांतर परिपथ में Q के लिए श्रेणी वाला सूत्र उपयोग करना।
f₀ को f₁ और f₂ के ठीक बीच में रखना: यह उनका गुणोत्तर माध्य है।
mH, µH, nF और pF को H और F में बदलना भूल जाना।

स्व-जाँच एक समानांतर RLC परिपथ में R = 10 kΩ, L = 10 mH और C = 1 µF है। इसका Q क्या है?

0.01
10 000
100
1

उत्तर: 100. समानांतर में Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100। श्रेणी वाला सूत्र (1/R)·√(L/C) 0.01 देता है, और वर्गमूल छोड़ देने पर 1 मिलता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: प्राकृतिक आवृत्ति, Q और ऊर्जा। आप f₀ या दी गई f₀ के लिए C, Q से बैंडविड्थ या बैंडविड्थ से Q, संचित ऊर्जा या शिखर धारा ज्ञात करते हैं।
मध्यम: श्रेणी और समानांतर RLC। आप श्रेणी या समानांतर परिपथ का Q या बैंडविड्थ, सटीक अर्ध-शक्ति आवृत्ति, ऊर्जा के C से L तक जाने का समय, या किसी संधारित्र वोल्टता पर L में ऊर्जा ज्ञात करते हैं।
कठिन: अभिकल्पन, हानियाँ और क्षय। आप किसी बैंडविड्थ के लिए R या किसी फ़िल्टर के लिए C का मान चुनते हैं, प्रति चक्र खोई ऊर्जा, टैंक का गतिक प्रतिरोध, आयाम के आधा होने तक चक्रों की संख्या, या दो अर्ध-शक्ति आवृत्तियों से Q ज्ञात करते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

L = 47 µH वाले LC परिपथ को 500 kHz पर अनुनाद करना है। धारिता C nF में ज्ञात कीजिए।

L = 47 µHf₀ = 500 kHz

ज्ञात करें: C (nF)

संकेत दिखाएँ

f₀ = 1/(2π√(LC)).
C = 1/(ω₀²·L).
ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

LC अनुनाद: आवेशित संधारित्र को प्रेरक से जोड़ने पर वह धारा चलती है जो उसे उलटी दिशा में आवेशित करती है: ऊर्जा C के विद्युत क्षेत्र (½Cv²) और L के चुंबकीय क्षेत्र (½Li²) के बीच प्राकृतिक आवृत्ति f₀ = 1/(2π√(LC)) पर दोलन करती है। प्रतिरोध के बिना कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है, इसलिए शिखर धारा I_max = V₀√(C/L) है। एक आवर्त T = 1/f₀ है; ऊर्जा उसके चौथाई समय में C से L तक जाती है।

कोणीय आवृत्ति

ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s

धारिता

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9.87 × 10¹²·4.7 × 10⁻⁵) = 2.156 × 10⁻⁹ F = 2.156 nF

उत्तर

C = 2.156 nF

उदाहरण 2मध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 2 Ω, L = 2.2 mH और C = 220 nF है। इसकी बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 2 ΩL = 2.2 mHC = 220 nF

ज्ञात करें: BW (Hz)

संकेत दिखाएँ

बैंडविड्थ f₀/Q है।
श्रेणी RLC के लिए यह सरल होकर BW = R/(2πL) हो जाता है: C हट जाता है।
R/L = 909.1 rad/s.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

rad/s में बैंडविड्थ

R/L = 2/0.0022 = 909.1 rad/s

Hz में बैंडविड्थ

BW = 909.1/(2π) = 144.7 Hz = 144.7 Hz

उत्तर

BW = 144.7 Hz

f₀ = 7.234 kHz के साथ इससे Q = 50 मिलता है।

उदाहरण 3कठिन

एक समानांतर टैंक परिपथ 10 nF संधारित्र और 47 µH कुंडली से बना है, जिसका वाइंडिंग प्रतिरोध 0.5 Ω है। अनुनाद पर वह प्रतिरोधक की तरह व्यवहार करता है, उसका गतिक प्रतिरोध R_D = L/(C·r) है। R_D kΩ में ज्ञात कीजिए।

L = 47 µHC = 10 nFr = 0.5 Ω

ज्ञात करें: R_D (kΩ)

संकेत दिखाएँ

अनुनाद पर टैंक केवल छोटी धारा खींचता है, इसलिए उसकी प्रतिबाधा बड़ी है।
R_D = L/(C·r) = Q²·r.
L/C = 4700 Ω².

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

गतिक प्रतिरोध

R_D = 4.7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0.5) = 9400 Ω = 9.4 kΩ

Q से जाँच

Q = (1/r)·√(L/C) = 137.1, Q²·r = 9400 Ω

उत्तर

R_D = 9.4 kΩ

प्रश्न और उत्तर

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ क्या है?

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ में आम गलतियाँ क्या हैं?

ω₀ (rad/s) और f₀ (Hz) को मिला देना: इनमें 2π का अंतर है।
समानांतर परिपथ में Q के लिए श्रेणी वाला सूत्र उपयोग करना, जहाँ बड़ा R अधिक Q देता है।
f₀ को f₁ और f₂ के ठीक बीच में रखना: यह उनका गुणोत्तर माध्य √(f₁f₂) है।
µH, nF और pF को H और F में बदलना भूल जाना।

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: प्राकृतिक आवृत्ति, Q और ऊर्जा
मध्यम: श्रेणी और समानांतर RLC
कठिन: अभिकल्पन, हानियाँ और क्षय

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

कैलकुलेटर

अनुनाद आवृत्ति कैलकुलेटर (LC और RLC)

इस विषय वाले कोर्स

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ

इलेक्ट्रिकल में और विषय

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक अध्यारोपण थेवेनिन और नॉर्टन नोडल विश्लेषण मेश विश्लेषण RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र AC शक्ति और शक्ति गुणक त्रि-फ़ेज़ शक्ति ट्रांसफ़ॉर्मर DC मोटरें ऑप-एम्प परिपथ डायोड और ट्रांज़िस्टर DC-DC कन्वर्टर डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन लाप्लास रूपांतर ब्लॉक आरेख सोपान अनुक्रिया बोडे आरेख और सीमाएँ स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण संवलन और LTI तंत्र

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