RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: RC आवेशन, RL परिपथ, प्रारंभिक आवेश वाला संधारित्र।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 10 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
जब आप केवल प्रतिरोधकों वाले परिपथ में स्विच बंद करते हैं, तो हर धारा तुरंत अपने नए मान पर पहुँच जाती है।
संधारित्र या प्रेरक इसे बदल देते हैं। वे ऊर्जा संचित करते हैं, और संचित ऊर्जा शून्य समय में नहीं बदल सकती। इसलिए परिपथ पुरानी अवस्था से नई अवस्था में सुचारु रूप से जाता है।
इस सुचारु परिवर्तन को क्षणिक अवस्था कहते हैं। कुछ समय बाद परिपथ स्थिर हो जाता है, और कुछ भी नहीं बदलता।
संकरी नली से बाल्टी भरने के बारे में सोचिए। बाल्टी संधारित्र है, संकरी नली प्रतिरोधक है। स्तर पहले तेज़ी से बढ़ता है, फिर बाल्टी भरने के साथ धीमे और धीमे।
स्व-जाँच एक अनावेशित संधारित्र प्रतिरोधक के माध्यम से 12 V स्रोत से जुड़ा है। स्विच बंद होने के ठीक बाद संधारित्र वोल्टता क्या है?
0 V
12 V
4.4 V
6 V
उत्तर: 0 V. संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती। स्विच बंद होने से ठीक पहले वह 0 V थी, इसलिए ठीक बाद भी 0 V है। वह 12 V तक केवल लंबे समय बाद पहुँचती है।
2शुरुआत और अंत में संधारित्र और प्रेरक
हर अवयव के लिए आपको केवल दो नियम चाहिए: क्या छलाँग नहीं लगा सकता, और सब कुछ स्थिर होने पर वह कैसे व्यवहार करता है।
संधारित्र: उसकी वोल्टता vC छलाँग नहीं लगा सकती। स्विच करने के बहुत बाद, उसमें धारा नहीं बहती, इसलिए वह खुले परिपथ (एक अंतराल) की तरह कार्य करता है।
प्रेरक: उसकी धारा iL छलाँग नहीं लगा सकती। स्विच करने के बहुत बाद, उसके आर-पार वोल्टता नहीं रहती, इसलिए वह लघु परिपथ (एक तार) की तरह कार्य करता है।
स्विच करने के ठीक बाद का मान प्रारंभिक मान x(0) है। स्थिर होने के बाद का मान अंतिम मान x(∞) है।
स्रोत Vs से आवेशित होते संधारित्र के लिए: vC(0) = 0 और vC(∞) = Vs। प्रेरक के लिए: i(0) = 0 और i(∞) = Vs/R।
स्व-जाँच 12 V का स्रोत एक प्रेरक के साथ श्रेणी में 20 Ω का प्रतिरोधक चलाता है। स्विच बंद होने के बहुत बाद कौन-सी धारा बहती है?
0 A
0.6 A
1.67 A
240 A
उत्तर: 0.6 A. स्थिर होने पर प्रेरक सादा तार है, इसलिए केवल प्रतिरोधक धारा को सीमित करता है: 12/20 = 0.6 A। 0 A स्विच करने के ठीक बाद का मान है, अंत का नहीं।
3समय स्थिरांक
परिवर्तन कितनी तेज़ी से होता है, यह एक संख्या तय करती है, समय स्थिरांक τ (टाउ)।
τ = R·C τ = L/R
मात्रक: kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलता है। mH भाग Ω से भी मिलीसेकंड मिलता है।
हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक और अंतिम मान के बीच एक ही चरघातांकी वक्र का अनुसरण करती है:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
1τ के बाद परिवर्तन 63% पूरा हो जाता है। 2τ के बाद 86%, 3τ के बाद 95%।
लगभग 5τ के बाद परिपथ सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए स्थिर हो जाता है।
0 V से शुरू होकर आवेशित होते संधारित्र के लिए, सूत्र बन जाता है:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
स्व-जाँच 4.7 kΩ के प्रतिरोधक और 10 µF के संधारित्र का समय स्थिरांक क्या है?
0.47 ms
2.13 ms
47 ms
47 s
उत्तर: 47 ms. τ = R·C = 4.7 kΩ · 10 µF = 47 ms, क्योंकि kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलता है। गुणा के बजाय भाग देने पर 2.13 ms मिलता है।
4विधि चरण-दर-चरण
स्विच करने के ठीक बाद का प्रारंभिक मान x(0) ज्ञात कीजिए। नियम का उपयोग कीजिए: vC और iL छलाँग नहीं लगा सकते।
अंतिम मान x(∞) ज्ञात कीजिए। संधारित्र को अंतराल से और प्रेरक को तार से बदलिए, फिर DC परिपथ हल कीजिए।
समय स्थिरांक ज्ञात कीजिए: τ = R·C या τ = L/R, उस प्रतिरोध के साथ जो संधारित्र या प्रेरक देखता है।
तीनों मान x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ में रखिए।
समय t को τ के ही मात्रक में रखिए और गणना कीजिए।
यदि प्रश्न समय पूछे, तो उसी सूत्र को t के लिए हल कीजिए। आपको प्राकृतिक लघुगणक ln की ज़रूरत होगी।
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। समय स्थिरांक और t = 100 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
1
परिपथ को देखें
स्विच Vs = 10 V को R = 10 kΩ के माध्यम से संधारित्र से जोड़ता है। C = 10 µF।
2
प्रारंभिक और अंतिम मान
संधारित्र अनावेशित है और उसकी वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती, इसलिए vC(0) = 0 V।
बहुत बाद, कोई धारा नहीं बहती, इसलिए R के आर-पार वोल्टता नहीं रहती। सारे 10 V C के आर-पार होते हैं।
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
समय स्थिरांक
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
t = 100 ms पर वोल्टता
यहाँ t ठीक एक समय स्थिरांक है, इसलिए t/τ = 1।
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0.368) = 6.32 V
5
उत्तर जाँचें
एक समय स्थिरांक के बाद संधारित्र 63% आवेशित होना चाहिए। 10 V का 63% 6.3 V है, इसलिए उत्तर मेल खाता है।
वह 10 V के स्रोत से भी कम है, जैसा आवेशित होते संधारित्र के लिए होना चाहिए।
उत्तर
t = 100 ms पर τ = 100 ms और vC = 6.32 V।
6सामान्य गलतियाँ
जब संधारित्र में पहले से वोल्टता हो तब आवेशन सूत्र Vs·(1 − e−t/τ) का उपयोग करना। x(0) के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग कीजिए।
मात्रकों को मिलाना: kΩ गुणा µF मिलीसेकंड है, सेकंड नहीं। t और τ को एक ही मात्रक में रखिए।
Vs·e−t/τ से उत्तर देना। वह अभी तक बचा हुआ भाग (या प्रतिरोधक वोल्टता) है, संधारित्र वोल्टता नहीं।
τ में गलत प्रतिरोध का उपयोग करना। वह प्रतिरोध लीजिए जो संधारित्र या प्रेरक देखता है।
स्व-जाँच एक संधारित्र में 10 V स्रोत पर स्विच करते समय 4 V है। एक समय स्थिरांक के बाद vC क्या है? (e−1 ≈ 0.368)
10.32 V
2.21 V
6.32 V
7.79 V
उत्तर: 7.79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0.368 = 7.79 V। अकेला आवेशन सूत्र 6.32 V देता है, जो शुरुआती 4 V को अनदेखा करता है। 2.21 V अभी तक बचा हुआ भाग है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: 0 V से RC आवेशन, जैसे उदाहरण में। आप τ या दिए गए समय पर संधारित्र वोल्टता ज्ञात करते हैं।
मध्यम: RL परिपथ जिसमें प्रेरक धारा 0 से शुरू होती है। आप i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), प्रेरक वोल्टता vL = Vs·e−t/τ, या अंतिम धारा के किसी प्रतिशत तक पहुँचने का समय ज्ञात करते हैं।
कठिन: ऐसा संधारित्र जिसमें पहले से वोल्टता हो। आप दिए गए समय पर vC या दी गई वोल्टता तक पहुँचने का समय ज्ञात करते हैं।
समय ज्ञात करने के लिए, सामान्य सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कीजिए:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
τ = L/R के साथ, mH भाग Ω से ms मिलता है। इसलिए 10 Ω वाले 50 mH प्रेरक का τ = 5 ms है।
संधारित्र 5 V तक आवेशित किया गया है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और संधारित्र R से होकर निरावेशित होता है। t = 50 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
ज्ञात करें: vC(V)
संकेत दिखाएँ
प्रथम-कोटि RC परिपथ का समय स्थिरांक τ = RC है। R को kΩ और C को µF में लेने पर τ, ms में आता है।
बिना स्रोत के संधारित्र वोल्टता शून्य की ओर क्षय होती है: vC(t) = vC(0)·e−t/τ।
τ = 68 ms.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक
kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
निरावेशन वक्र
संधारित्र अपनी संचित वोल्टता से शुरू होकर 0 V की ओर क्षय होता है।
vC(t) = 5·e−50/68 = 2.397 V
उत्तर
vC = 2.397 V
उदाहरण 2मध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 75% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
ज्ञात करें: t(ms)
संकेत दिखाएँ
RL परिपथ के लिए τ = L/R। L को mH और R को Ω में लेने पर τ, ms में आता है।
स्विच बंद होते ही प्रेरक धारा अभी शून्य है; बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट की तरह काम करता है, इसलिए i(∞) = Vs/R।
τ = 3 ms, i(∞) = 0.12 A.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0.12 A
समय के लिए हल करें
0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −3·ln(0.25) = 4.159 ms
उत्तर
t = 4.159 ms
उदाहरण 3कठिन
t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 18 V है। vC को 8.4 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
ज्ञात करें: t(ms)
संकेत दिखाएँ
सामान्य प्रथम-कोटि हल x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
यहाँ x(0) संचित संधारित्र वोल्टता है और x(∞) स्रोत वोल्टता, क्योंकि स्थिर होने पर संधारित्र में धारा नहीं बहती।
τ = 100 ms.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक
संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।