डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: गेट, सत्यमान सारणियाँ और विलंब, बूलीय बीजगणित, K-मानचित्र और मल्टीप्लेक्सर, डोंट-केयर, फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
NAND और NOR सार्वत्रिक गेट हैं: कोई भी लॉजिक फलन केवल उनमें से एक से बनाया जा सकता है। दिखाए गए NOT फलन को बनाने के लिए 2-निवेश NAND गेटों की न्यूनतम संख्या N कितनी चाहिए?
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप के प्रश्न कैसे हल करें
परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।
सामान्य गलतियाँ
K-मानचित्र को ग्रे कोड 00, 01, 11, 10 की जगह 00, 01, 10, 11 में क्रमबद्ध करना।
यह भूल जाना कि समूह किनारों से लिपट सकते हैं, या 3 या 6 खानों के समूह बनाना।
ऐसे डोंट-केयर को ढकना जो समूह को बड़ा नहीं करते।
काउंटर के लौटने को भूल जाना, या Q₃Q₂Q₁Q₀ को गलत क्रम में पढ़ना।
मुख्य सूत्र
मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप शुरू से सीखें
डिजिटल परिपथ दो मानों से काम करते हैं: 0 (निम्न वोल्टता, असत्य) और 1 (उच्च वोल्टता, सत्य)। एक लॉजिक गेट एक या अधिक निवेश लेता है और एक निर्गत देता है।
AND केवल तब 1 देता है जब सभी निवेश 1 हों। A·B या AB लिखा जाता है।
OR तब 1 देता है जब कम से कम एक निवेश 1 हो। A + B लिखा जाता है।
NOT उलट देता है: 0 से 1 और 1 से 0 बन जाता है। A′ लिखा जाता है (या A के ऊपर पट्टी के साथ)।
NAND और NOR क्रमशः AND और OR के बाद NOT हैं; चिह्न पर छोटा वृत्त “उलटा हुआ” दर्शाता है।
XOR (A ⊕ B) तब 1 देता है जब निवेश भिन्न हों।
सत्यमान सारणी निवेशों के हर संयोजन के लिए निर्गत सूचीबद्ध करती है: n निवेशों के लिए 2ⁿ पंक्तियाँ। पंक्ति ABC = 101 पंक्ति संख्या 5 है, जिसे मिनटर्म m₅ कहते हैं।
स्व-जाँच A = 1 और B = 0। NAND गेट का निर्गत क्या होगा?
0
1
कुछ नहीं: NAND के लिए दोनों निवेश 1 होने चाहिए
यह पिछले निर्गत पर निर्भर करता है
उत्तर: 1. 1 और 0 का AND 0 होता है, और NAND उसे उलटकर 1 कर देता है। NAND केवल तब 0 होता है जब उसके सभी निवेश 1 हों।
2बूलीय बीजगणित
लॉजिक व्यंजक सामान्य बीजगणित जैसे नियमों का पालन करते हैं, साथ में कुछ अपने नियम भी हैं। सबसे उपयोगी नियम:
संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X सरलीकरण का मूल है: एक चर में भिन्न दो पद मिल जाते हैं, और वह चर गायब हो जाता है।
गुणनफलों का योग (SOP) AND पदों का OR है, जैसे F = AB′ + C। योगों का गुणनफल (POS) OR पदों का AND है, जैसे F = (A + B)(B′ + C)। हर गुणन पद लिटरलों से बनता है: चर, प्राइम सहित या रहित।
3कार्नो मानचित्र
कार्नो मानचित्र एक सत्यमान सारणी है जो ग्रिड के रूप में खींची जाती है, जिसमें पड़ोसी खाने ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। इसीलिए पंक्तियाँ और स्तंभ द्विआधारी क्रम में नहीं, बल्कि 00, 01, 11, 10 (ग्रे कोड) में चलते हैं।
हर मिनटर्म के खाने में 1 लिखें; हर खाने की छोटी संख्या उसकी मिनटर्म संख्या है।
1 के चारों ओर 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयत बनाएँ। समूह किनारों से लिपट सकते हैं: बायाँ और दायाँ स्तंभ पड़ोसी हैं, और ऊपर व नीचे की पंक्तियाँ भी।
हर समूह को जितना हो सके उतना बड़ा बनाएँ, और हर 1 के ढकने तक जितने कम हो सकें उतने समूह बनाएँ।
हर समूह को गुणन पद के रूप में पढ़ें: केवल वे चर रखें जो उसके भीतर नहीं बदलते। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है।
ऊपर के मानचित्र में चारों 1 एक समूह बनाते हैं। इसके भीतर A बदलता है और C बदलता है, केवल B = 1 स्थिर रहता है, इसलिए F = B।
X से चिह्नित खाने डोंट-केयर हैं: निवेश संयोजन जो कभी नहीं आते। यदि X से समूह बड़ा होता हो तो उसे 1 की तरह उपयोग करें, अन्यथा उसे अनदेखा करें। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
स्व-जाँच 4-चर मानचित्र में 4 खानों का समूह कितने लिटरल देता है?
1
2
3
4
उत्तर: 2. चार खाने 2² हैं, इसलिए समूह के भीतर दो चर बदलते हैं और हट जाते हैं। चारों चरों में से दो बचते हैं।
4एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 5, 6) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें और उसके लिटरल गिनें।
1
मानचित्र भरें
पंक्तियाँ A = 0, 1; स्तंभ BC = 00, 01, 11, 10। 1 को m0, m2 (पंक्ति 0, स्तंभ 00 और 10) और m4, m5, m6 (पंक्ति 1, स्तंभ 00, 01 और 10) में रखें।
2
सबसे बड़ा समूह
स्तंभ BC = 00 और BC = 10 किनारे के आर-पार पड़ोसी हैं। साथ मिलकर उनमें m0, m2, m4 और m6 हैं: चार का समूह। केवल C = 0 स्थिर है, इसलिए यह समूह C′ है।
3
अंतिम 1 को ढकें
m5 (A = 1, BC = 01) अभी ढका नहीं है। इसे अपने पड़ोसी m4 के साथ जोड़ें: इस जोड़े में A = 1 और B = 0 स्थिर रहते हैं, इसलिए पद AB′ है।
4
उत्तर पढ़ें
F = C′ + AB′
दो पदों में तीन लिटरल। m5 को अकेले समूहित करने पर AB′C मिलता, जो लंबा पद है: समूह हमेशा जितने बड़े हो सकें बनाएँ, भले ही वे अतिव्याप्त हों।
उत्तर
F = C′ + AB′, 3 लिटरल के साथ।
5फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर
गेट अपने निवेशों पर तुरंत प्रतिक्रिया करते हैं। फ़्लिप-फ़्लॉप एक बिट संग्रहीत करता है और केवल क्लॉक की सक्रिय कोर पर बदलता है (आमतौर पर आरोही कोर)।
D फ़्लिप-फ़्लॉप: हर क्लॉक कोर पर Q, D के बराबर हो जाता है (Q⁺ = D)।
T फ़्लिप-फ़्लॉप: T = 1 पर टॉगल करता है, T = 0 पर स्थिर रहता है।
JK फ़्लिप-फ़्लॉप: JK = 00 स्थिर रखता है, 01 रीसेट कर 0 करता है, 10 सेट कर 1 करता है, 11 टॉगल करता है।
टॉगल करने वाला फ़्लिप-फ़्लॉप हर आरोही कोर पर बदलता है, इसलिए उसके निर्गत की आवृत्ति क्लॉक की आधी होती है। n को श्रृंखला में जोड़ने से 2ⁿ अवस्थाओं वाला n-बिट द्विआधारी काउंटर बनता है। mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है; इसके लिए सबसे छोटा n चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो, और इसका अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है।
रिपल काउंटर में हर चरण को उसका पिछला चरण क्लॉक करता है, इसलिए विलंब जुड़ते जाते हैं: क्लॉक आवर्तकाल कम से कम n·tpd होना चाहिए। शिफ़्ट-रजिस्टर काउंटर कम अवस्थाएँ उपयोग करते हैं: n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले रिंग काउंटर की n अवस्थाएँ होती हैं, जॉनसन काउंटर की 2n।
स्व-जाँच 4-बिट द्विआधारी अप काउंटर 13 दिखा रहा है। 5 और क्लॉक पल्स के बाद वह कौन-सी गिनती दिखाएगा?
18
2
3
8
उत्तर: 2. 4-बिट काउंटर की 16 अवस्थाएँ होती हैं और वह 15 से 0 पर लौटता है: 13 + 5 = 18, और 18 mod 16 = 2। 18 लिखना लौटने की प्रक्रिया को भूल जाना है।
6सामान्य गलतियाँ
K-मानचित्र के स्तंभों को 00, 01, 10, 11 लिखना। क्रम ग्रे कोड है: 00, 01, 11, 10।
यह भूल जाना कि समूह मानचित्र के किनारों से लिपट सकते हैं।
3 या 6 खानों के समूह बनाना। समूहों में 1, 2, 4, 8 या 16 खाने होते हैं।
ऐसे डोंट-केयर को ढकना जो मदद नहीं करता: X को कभी ढकना ज़रूरी नहीं है।
समूह को उन चरों को रखकर पढ़ना जो बदलते हैं। केवल उन्हें रखें जो स्थिर रहते हैं।
यह भूल जाना कि काउंटर लौटता है: n-बिट काउंटर 2ⁿ के मापांक में गिनता है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: दिए गए निवेशों के लिए गेट परिपथ का मूल्यांकन करना, उसकी सत्यमान सारणी के 1 गिनना, कार्नो मानचित्र में मिनटर्म रखना, किसी फलन के लिए NAND गेटों की संख्या, या सबसे खराब स्थिति का संचरण विलंब।
मध्यम: व्यंजक का सरलीकरण, कार्नो मानचित्र से न्यूनतम SOP या POS रूप ज्ञात करना, मल्टीप्लेक्सर से बना फलन, या मानचित्र का अकेला 1।
कठिन: डोंट-केयर वाले मानचित्र, अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्य (प्राइम इम्प्लिकेंट), फ़्लिप-फ़्लॉप समय आरेख, कई पल्स के बाद काउंटर, फ़्लिप-फ़्लॉप की संख्या या निर्गत आवृत्ति, और शिफ़्ट रजिस्टर।
सरल किए गए व्यंजक को सत्यमान सारणी की एक या दो पंक्तियाँ जाँचकर परखें: मूल और सरल रूप को एक ही निर्गत देना चाहिए।
NAND और NOR सार्वत्रिक गेट हैं: कोई भी लॉजिक फलन केवल उनमें से एक से बनाया जा सकता है। दिखाए गए AND फलन को बनाने के लिए 2-निवेश NAND गेटों की न्यूनतम संख्या N कितनी चाहिए?
F = A·B
ज्ञात करें: N
संकेत दिखाएँ
दोनों निवेश जुड़े होने पर NAND गेट इन्वर्टर होता है।
AND = NAND के बाद इन्वर्टर; OR = उलटे निवेशों का NAND (डी मॉर्गन)।
हर गेट गिनें, उनमें से भी जो इन्वर्टर के रूप में उपयोग हुए हों।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
लॉजिक गेट: हर निवेश और निर्गत 0 या 1 होता है। AND केवल तब 1 देता है जब सभी निवेश 1 हों; OR तब 1 देता है जब कम से कम एक निवेश 1 हो; NOT उलट देता है। NAND और NOR क्रमशः AND और OR के बाद NOT हैं, और XOR तब 1 देता है जब निवेश भिन्न हों। परिपथ को निवेशों से निर्गत तक, एक-एक गेट करके हल करें। सत्यमान सारणी सभी 2ⁿ निवेश संयोजनों के लिए निर्गत सूचीबद्ध करती है; पंक्ति संख्या निवेशों का द्विआधारी मान है, इसलिए पंक्ति ABC = 101 मिनटर्म m₅ है।
इसे NAND गेटों से बनाएँ
डी मॉर्गन: A + B = (A′·B′)′, इसलिए OR उलटे निवेशों का NAND है।
F = A·B = NOT(NAND(A, B))
गेट गिनें
N = 2
उत्तर
N = 2
उदाहरण 2मध्यम
इस कार्नो मानचित्र में ठीक एक 1 का कोई पड़ोसी 1 नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम SOP रूप में एक खाने का समूह (चार लिटरल का पूर्ण मिनटर्म) बना रहता है। मानचित्र के किनारों के आर-पार के पड़ोसी भी गिने जाते हैं। उस खाने पर क्लिक करें।
F = Σm(0, 3, 4, 10, 13, 14, 15)
1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10
संकेत दिखाएँ
पड़ोसी खाने ठीक एक चर में भिन्न होते हैं।
सबसे बायाँ और सबसे दायाँ स्तंभ पड़ोसी हैं, और ऊपर व नीचे की पंक्तियाँ भी।
हर 1 के चारों पड़ोसियों (ऊपर, नीचे, बाएँ, दाएँ, लिपटते हुए) की जाँच करें।
उत्तर और व्याख्या दिखाएँ
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
हर 1 के पड़ोसी
पड़ोसी 1 वाला 1 दो या अधिक के समूह में शामिल हो सकता है।
m3: m2, m1, m7, m11 → 0
अकेला 1
m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11
उत्तर
AB = 00, CD = 11
उदाहरण 3कठिन
एक तुल्यकालिक mod-12 काउंटर 0, 1, …, 11 गिनता है और फिर 0 पर लौटता है। यह 8 से शुरू होता है। 36 क्लॉक पल्स के बाद वह कौन-सी गिनती Q (दशमलव में) दिखाएगा?
Q0 = 836N = 12
ज्ञात करें: Q
संकेत दिखाएँ
काउंटर की 12 अवस्थाएँ हैं और वह 12 पल्स के बाद दोहराता है।
k पल्स के बाद गिनती (8 + k) mod 12 होती है।
36 mod 12 = 0.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।
पूरे चक्र
हर 12 पल्स काउंटर को उसी अवस्था में वापस ले आते हैं।
36 = 3·12 + 0
शेष पल्स के बाद गिनती
Q = (8 + 0) mod 12 = 8
Q = 1000₂
उत्तर
Q = 8
प्रश्न और उत्तर
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप क्या है?
डिजिटल परिपथ दो मानों से काम करते हैं: 0 (निम्न वोल्टता, असत्य) और 1 (उच्च वोल्टता, सत्य)। एक लॉजिक गेट एक या अधिक निवेश लेता है और एक निर्गत देता है।
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप में आम गलतियाँ क्या हैं?
K-मानचित्र को ग्रे कोड 00, 01, 11, 10 की जगह 00, 01, 10, 11 में क्रमबद्ध करना।
यह भूल जाना कि समूह किनारों से लिपट सकते हैं, या 3 या 6 खानों के समूह बनाना।
ऐसे डोंट-केयर को ढकना जो समूह को बड़ा नहीं करते।
काउंटर के लौटने को भूल जाना, या Q₃Q₂Q₁Q₀ को गलत क्रम में पढ़ना।
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: गेट, सत्यमान सारणियाँ और विलंब
मध्यम: बूलीय बीजगणित, K-मानचित्र और मल्टीप्लेक्सर
कठिन: डोंट-केयर, फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।