स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ क्या है?

कोई तंत्र स्थायी होता है जब हर परिबद्ध निवेश परिबद्ध निर्गत देता है। विक्षोभ के बाद स्थायी तंत्र शांत हो जाता है; अस्थायी तंत्र बेकाबू हो जाता है या बढ़ते आयाम से दोलन करता है। यह व्यवहार संवृत-लूप के ध्रुवों, यानी उसके अभिलाक्षणिक बहुपद के मूलों, से तय होता है। s = p पर स्थित ध्रुव अनुक्रिया में एक पद ept जोड़ता है।

Q: स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: राउथ सारणी और ध्रुवों की गिनती मध्यम: स्थायित्व के लिए K का परास कठिन: मूल बिंदुपथ हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: राउथ सारणी और ध्रुवों की गिनती, स्थायित्व के लिए K का परास, मूल बिंदुपथ।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

किसी पुनर्निवेश तंत्र का अभिलाक्षणिक बहुपद Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2 है। राउथ सारणी बनाइए और ज्ञात कीजिए कि Q(s) के कितने मूल N दाएँ अर्ध-तल में हैं।

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

सटीक उत्तर: एक पूर्ण संख्या, बिना पूर्णांकन के।

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स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ का मुफ़्त अभ्यास करें अभी स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानराउथ सारणी और ध्रुवों की गिनती
मध्यमस्थायित्व के लिए K का परास
कठिनमूल बिंदुपथ

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ के प्रश्न कैसे हल करें

संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए: 1 + K·G(s) = 0 का हर, गुणा करके फैलाया हुआ।
गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में रखिए और बाकी पंक्तियाँ बनाइए।
पहले स्तंभ के चिह्न-परिवर्तन गिनिए: हर एक दाएँ अर्ध-तल का एक ध्रुव है। सारणी में K होने पर माँग कीजिए कि पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहे।
मूल बिंदुपथ के लिए ध्रुव और शून्य, वास्तविक अक्ष के खंड, केंद्रक से निकलती अनंतस्पर्शियाँ और dK/ds = 0 वाले विचलन/संगम बिंदु अंकित कीजिए। किसी बिंदु पर लब्धि के लिए K = 1/|G(s)| का उपयोग कीजिए।

सामान्य गलतियाँ

सभी गुणांक धनात्मक होने से निष्कर्ष निकाल लेना कि तंत्र स्थायी है; त्रिघात या उससे ऊँची कोटि के लिए यह पर्याप्त नहीं है।
K जोड़ने पर संयंत्र का अचर पद भूल जाना: मूल-बिंदु से दूर तीन ध्रुवों के साथ s⁰ प्रविष्टि abc + K होती है।
जब तीसरा ध्रुव या कोई शून्य पास में हो, तब दो ध्रुवों के मध्य-बिंदु को विचलन बिंदु मान लेना।
केंद्रक सूत्र में ध्रुवों की स्थितियाँ उनके चिह्नों के बिना लेना।

मुख्य सूत्र

स्थायित्व: अभिलाक्षणिक बहुपद के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में
राउथ सारणी, त्रिघात की s¹ प्रविष्टि: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
दाएँ अर्ध-तल के मूल: पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या
त्रिघात s³ + a₂s² + a₁s + a₀: स्थायी जब सभी a > 0 और a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
अभिलाक्षणिक समीकरण: 1 + K·G(s) = 0
अनंतस्पर्शियाँ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
विचलन और संगम बिंदु: dK/ds = 0
परिमाण शर्त: K = 1/|G(s)|
प्रस्थान कोण: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ शुरू से सीखें

इससे पहले: लाप्लास रूपांतर, ब्लॉक आरेख

1स्थायित्व का अर्थ

कोई तंत्र स्थायी होता है जब हर परिबद्ध निवेश परिबद्ध निर्गत देता है। विक्षोभ के बाद स्थायी तंत्र शांत हो जाता है; अस्थायी तंत्र बेकाबू हो जाता है या बढ़ते आयाम से दोलन करता है।

यह व्यवहार संवृत-लूप के ध्रुवों, यानी उसके अभिलाक्षणिक बहुपद के मूलों, से तय होता है। s = p पर स्थित ध्रुव अनुक्रिया में एक पद e^pt जोड़ता है।

ऋणात्मक वास्तविक भाग वाला ध्रुव (बायाँ अर्ध-तल) ऐसा पद देता है जो समाप्त हो जाता है।
धनात्मक वास्तविक भाग वाला ध्रुव (दायाँ अर्ध-तल) ऐसा पद देता है जो बिना सीमा के बढ़ता है।
इसलिए तंत्र केवल तब स्थायी है जब सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों।

स्व-जाँच एक संवृत-लूप के ध्रुव −3, −1 + j2, −1 − j2 और +0.5 पर हैं। क्या वह स्थायी है?

नहीं, +0.5 पर का ध्रुव इसे अस्थायी बनाता है
नहीं, क्योंकि सम्मिश्र ध्रुव हमेशा तंत्र को अस्थायी बनाते हैं
हाँ, क्योंकि चार में से तीन ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हैं
हाँ, क्योंकि सम्मिश्र ध्रुवों के वास्तविक भाग ऋणात्मक हैं

उत्तर: नहीं, +0.5 पर का ध्रुव इसे अस्थायी बनाता है. दाएँ अर्ध-तल में एक ध्रुव ही काफ़ी है: उसका पद e^0.5t बढ़ता है। बाएँ अर्ध-तल के सम्मिश्र ध्रुव ठीक हैं; वे क्षीण होता दोलन देते हैं।

2राउथ सारणी

त्रिघात या उससे ऊँची कोटि के लिए मूल हाथ से निकालना कठिन होता है। राउथ–हरविट्ज़ कसौटी मूल हल किए बिना बताती है कि कितने मूल दाएँ अर्ध-तल में हैं।

गुणांकों को बारी-बारी से पहली दो पंक्तियों में लिखिए। s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए:

s³: 1, a₁ s²: a₂, a₀

हर नई पंक्ति ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है। त्रिघात के लिए s¹ प्रविष्टि यह है:

b₁ = (a₂·a₁ − 1·a₀)/a₂, s⁰: a₀

पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण: s³ + 2s² + 3s + 10। पहला स्तंभ 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10 है। चिह्न +, +, −, + हैं: दो परिवर्तन, इसलिए दो ध्रुव दाएँ अर्ध-तल में हैं।

स्व-जाँच s³ + 4s² + 5s + 2 के लिए s¹ पंक्ति की पहली प्रविष्टि क्या है?

18
4.5
5
−4.5

उत्तर: 4.5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4.5। 4 से भाग देना भूलने पर 18 आता है; गुणनफल अदल-बदल देने पर −4.5।

3विधि चरण-दर-चरण

संवृत-लूप अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + K·G(s) = 0 लिखिए और उसे गुणा करके बहुपद बनाइए।
राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियाँ गुणांकों से भरिए।
बाकी पंक्तियाँ बनाइए; यदि K आए तो उसे चिह्न के रूप में रखिए।
पहले स्तंभ के चिह्न-परिवर्तन गिनिए, या K का अनुमत परास पाने के लिए माँग कीजिए कि पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक हो।
सीमा लब्धि पर s¹ पंक्ति शून्य होती है। तब s² पंक्ति सहायक समीकरण a·s² + b = 0 देती है, जिसके मूल ±jω दोलन की आवृत्ति दिखाते हैं।

त्रिघात s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए त्वरित परीक्षण: यह ठीक तभी स्थायी है जब सभी गुणांक धनात्मक हों और a₂·a₁ > a₀।

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

नीचे वाले लूप में L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) है। K के किन मानों के लिए संवृत-लूप स्थायी है, और सीमा पर वह किस आवृत्ति पर दोलन करता है?

लूप को देखिए

अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + L(s) = 0 है, इसलिए s(s + 2)(s + 4) + K = 0।

गुणा करके फैलाइए

s³ + 6s² + 8s + K = 0

राउथ सारणी बनाइए

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

s¹ प्रविष्टि (6·8 − 1·K)/6 है।

पहले स्तंभ को धनात्मक रखिए

s⁰ पंक्ति से: K > 0। s¹ पंक्ति से: 48 − K > 0, इसलिए K < 48।

सीमा पर आवृत्ति

K = 48 पर s¹ पंक्ति शून्य है। s² पंक्ति 6s² + 48 = 0 देती है, इसलिए s² = −8।

ω = √8 = 2.83 rad/s

उत्तर जाँचें

K = 48 पर बहुपद s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8) है। इसके मूल −6 और ±j2.83 हैं, जैसा अपेक्षित था।

उत्तर

लूप 0 < K < 48 के लिए स्थायी है; K = 48 पर यह ω = 2.83 rad/s पर दोलन करता है।

5मूल बिंदुपथ

मूल बिंदुपथ दिखाता है कि K के 0 से ∞ तक जाने पर संवृत-लूप ध्रुव कैसे चलते हैं। यह विवृत-लूप ध्रुवों (×) से शुरू होता है और विवृत-लूप शून्यों (○) पर या अनंत पर समाप्त होता है।

वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु बिंदुपथ पर तब होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की संख्या विषम हो।
अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं।
अनंतस्पर्शियाँ केंद्रक σ_a = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं।
शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो, जहाँ अक्ष पर K = −1/G(s) है।
बिंदुपथ के किसी भी बिंदु s पर लब्धि K = 1/|G(s)| है, यानी ध्रुवों तक की दूरियों का गुणनफल भाग शून्यों तक की दूरियों का गुणनफल।

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) के लिए केंद्रक (0 − 2 − 4)/3 = −2 है, और अनंतस्पर्शियाँ 60°, 180° और 300° पर निकलती हैं।

0 और −2 के बीच का विचलन बिंदु dK/ds = 0 से मिलता है: 3s² + 12s + 8 = 0, इसलिए s = −0.845।

स्व-जाँच L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) के लिए दोनों शाखाएँ वास्तविक अक्ष कहाँ छोड़ती हैं?

s = −1
s = −2.5
s = −3
s = −6

उत्तर: s = −3. दो वास्तविक ध्रुवों और बिना शून्य के, K = −(s + 1)(s + 5) उनके ठीक बीच में सबसे बड़ा होता है: dK/ds = −(2s + 6) = 0 से s = −3।

6सामान्य गलतियाँ

किसी तंत्र को केवल इसलिए स्थायी कह देना कि उसके सभी गुणांक धनात्मक हैं। त्रिघात या उससे ऊँची कोटि के लिए राउथ परीक्षण भी चाहिए।
संयंत्र का अचर पद भूल जाना: K/((s + a)(s + b)(s + c)) के लिए s⁰ गुणांक abc + K है, K नहीं।
जब तीसरा ध्रुव या कोई शून्य बिंदुपथ को खींचे, तब दो ध्रुवों के मध्य-बिंदु को विचलन बिंदु मान लेना।
केंद्रक में चिह्न छोड़ देना: गुणनखंड (s + 4) का अर्थ s = −4 पर ध्रुव है।

स्व-जाँच क्या s³ + s² + 2s + 8 = 0 एक स्थायी अभिलाक्षणिक समीकरण है?

नहीं: a₂·a₁ = 2, a₀ = 8 से कम है
नहीं: त्रिघात कभी स्थायी नहीं होता
हाँ: गुणांकों का चिह्न नहीं बदलता
हाँ: सभी गुणांक धनात्मक हैं

उत्तर: नहीं: a₂·a₁ = 2, a₀ = 8 से कम है. s¹ प्रविष्टि (1·2 − 8)/1 = −6 है, इसलिए पहला स्तंभ 1, 1, −6, 8 दो बार चिह्न बदलता है: दो ध्रुव दाएँ अर्ध-तल में हैं। धनात्मक गुणांक काफ़ी नहीं हैं।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: राउथ सारणी और ध्रुवों की गिनती। आप त्रिघात या चतुर्घात के दाएँ अर्ध-तल के ध्रुव गिनते हैं, सारणी की एक प्रविष्टि ज्ञात करते हैं, प्रथम-कोटि संयंत्र के लिए संवृत-लूप ध्रुव ज्ञात करते हैं, या वह लब्धि जो उसे किसी दिए बिंदु पर रखे।
मध्यम: K का परास। आप सबसे बड़ी स्थायी लब्धि, उस लब्धि पर दोलन की आवृत्ति, अस्थायी संयंत्र को स्थायी बनाने वाली सबसे छोटी लब्धि, या लब्धि कितनी बढ़ सकती है, ज्ञात करते हैं।
कठिन: मूल बिंदुपथ। आप अनंतस्पर्शियों का केंद्रक, काल्पनिक अक्ष का कटान, विचलन और संगम बिंदु, सम्मिश्र ध्रुव से प्रस्थान कोण, या किसी दिए बिंदु या अवमंदन अनुपात पर लब्धि ज्ञात करते हैं।

किसी अवमंदन अनुपात पर लब्धि के लिए अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक आनुपातिक लब्धि K एकांक पुनर्निवेश लूप में संयंत्र G(s) = 1/(s + 10) को नियंत्रित करती है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप ध्रुव को s = −10.5 पर रखे।

G(s) = 1/(s + 10)p = −10.5

ज्ञात करें: K

संकेत दिखाएँ

संवृत-लूप ध्रुव s + 10 + 1K = 0 का मूल है।
उस समीकरण में s = −10.5 रखिए।
1K = 10.5 − 10.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

राउथ–हरविट्ज़ कसौटी: कोई रैखिक तंत्र तब स्थायी होता है जब उसके अभिलाक्षणिक बहुपद का हर मूल s-तल के बाएँ अर्ध-तल में हो। गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में लिखें। नई पंक्ति की हर प्रविष्टि ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है; त्रिघात a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए s¹ प्रविष्टि b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ है। पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। गुणांकों में लब्धि K होने पर पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहनी चाहिए: जिस लब्धि पर s¹ प्रविष्टि शून्य हो जाती है वही स्थायित्व की सीमा है, और तब s² पंक्ति सतत दोलन की आवृत्ति देती है।

अभिलाक्षणिक समीकरण

s + 10 + 1K = 0

आवश्यक लब्धि

−10.5 + 10 + 1K = 0 → K = (10.5 − 10)/1 = 0.5

उत्तर

K = 0.5

उदाहरण 2मध्यम

संयंत्र G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) का एक अस्थायी ध्रुव s = 4 पर है। एक आनुपातिक लब्धि K इसके चारों ओर एकांक पुनर्निवेश लूप बनाती है। वह सबसे छोटी लब्धि K_min ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को स्थायी बनाती है।

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

ज्ञात करें: K_min

संकेत दिखाएँ

अभिलाक्षणिक बहुपद (s − 4)(s + 1) + K(s + 2) है।
s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
द्वितीय घात का बहुपद तब स्थायी होता है जब उसके दोनों गुणांक धनात्मक हों।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अभिलाक्षणिक बहुपद

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

शर्तें

s² + c₁s + c₀ के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में ठीक तभी होते हैं जब c₁ > 0 और c₀ > 0 हो।

-3 + K > 0 → K > 3

2K − 4 > 0 → K > 2

K_min = 3

उत्तर

K_min = 3

उदाहरण 3कठिन

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) का मूल बिंदुपथ s = 0 और s = −4 के बीच वास्तविक अक्ष को छोड़ता है। विचलन बिंदु s_b ज्ञात कीजिए।

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

ज्ञात करें: s_b

संकेत दिखाएँ

वास्तविक अक्ष पर K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s) है।
dK/ds = 0 रखिए: 3s² + 28s + 40 = 0।
वह मूल लीजिए जो 0 और −4 के बीच है।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मूल बिंदुपथ: जैसे-जैसे लब्धि K 0 से ∞ तक बढ़ती है, संवृत-लूप ध्रुव, यानी 1 + K·G(s) = 0 के मूल, विवृत-लूप ध्रुवों से विवृत-लूप शून्यों की ओर या अनंत की ओर चलते हैं। वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु तब बिंदुपथ का भाग होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम हो। अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं, जो केंद्रक σₐ = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं। शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो। कोण शर्त ∠G(s) = 180° आकार तय करती है, और परिमाण शर्त K = 1/|G(s)| बिंदुपथ के किसी भी बिंदु पर लब्धि देती है।

वास्तविक अक्ष के अनुदिश लब्धि

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

स्थिर बिंदु

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0

s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1.761, −7.573

बिंदुपथ पर बिंदु चुनिए

बिंदुपथ वास्तविक अक्ष पर 0 और −4 के बीच है; दूसरा मूल बिंदुपथ पर नहीं है।

s_b = −1.761

उत्तर

s_b = −1.761

प्रश्न और उत्तर

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ क्या है?

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए: 1 + K·G(s) = 0 का हर, गुणा करके फैलाया हुआ।
गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में रखिए और बाकी पंक्तियाँ बनाइए।
पहले स्तंभ के चिह्न-परिवर्तन गिनिए: हर एक दाएँ अर्ध-तल का एक ध्रुव है। सारणी में K होने पर माँग कीजिए कि पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहे।
मूल बिंदुपथ के लिए ध्रुव और शून्य, वास्तविक अक्ष के खंड, केंद्रक से निकलती अनंतस्पर्शियाँ और dK/ds = 0 वाले विचलन/संगम बिंदु अंकित कीजिए। किसी बिंदु पर लब्धि के लिए K = 1/|G(s)| का उपयोग कीजिए।

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ में आम गलतियाँ क्या हैं?

सभी गुणांक धनात्मक होने से निष्कर्ष निकाल लेना कि तंत्र स्थायी है; त्रिघात या उससे ऊँची कोटि के लिए यह पर्याप्त नहीं है।
K जोड़ने पर संयंत्र का अचर पद भूल जाना: मूल-बिंदु से दूर तीन ध्रुवों के साथ s⁰ प्रविष्टि abc + K होती है।
जब तीसरा ध्रुव या कोई शून्य पास में हो, तब दो ध्रुवों के मध्य-बिंदु को विचलन बिंदु मान लेना।
केंद्रक सूत्र में ध्रुवों की स्थितियाँ उनके चिह्नों के बिना लेना।

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: राउथ सारणी और ध्रुवों की गिनती
मध्यम: स्थायित्व के लिए K का परास
कठिन: मूल बिंदुपथ

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

लाप्लास रूपांतर ब्लॉक आरेख

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राउथ–हर्विट्ज़ स्थिरता कसौटी कैलकुलेटर

इस विषय वाले कोर्स

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