राउथ–हर्विट्ज़ स्थिरता कसौटी कैलकुलेटर
अपने मान दर्ज करें। टाइप करते ही उत्तर और पूरा हल अपडेट हो जाता है।
परिणाम
| स्तंभ 1 | स्तंभ 2 | स्तंभ 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
अभिलक्षणिक बहुपद से रैखिक निकाय की स्थिरता जाँचें। कैलकुलेटर सटीक भिन्नों के साथ राउथ सारणी बनाता है, पहले स्तंभ में शून्य (ε विधि) और शून्यों की पंक्ति (सहायक बहुपद) को संभालता है, चिह्न परिवर्तन गिनता है और दायें अर्ध-तल में, काल्पनिक अक्ष पर और बायें अर्ध-तल में मूलों की संख्या देता है।
चरण-दर-चरण हल
अभिलाक्षणिक बहुपद
पहली दो पंक्तियाँ
अगली पंक्तियाँ
पहले स्तंभ में चिह्न परिवर्तन गिनें
मुख्य सूत्र
- स्थायित्व
- अभिलाक्षणिक बहुपद के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में
- राउथ सारणी, त्रिघात की s¹ प्रविष्टि
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- दाएँ अर्ध-तल के मूल
- पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या
- त्रिघात s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- स्थायी जब सभी a > 0 और a₂·a₁ > a₀
- अभिलाक्षणिक समीकरण
- 1 + K·G(s) = 0
राउथ–हर्विट्ज़ कसौटी का उपयोग कैसे करें
- अभिलक्षणिक बहुपद को s की सभी घातों के साथ सबसे ऊँची से नीचे की ओर लिखें। यदि कोई गुणांक अनुपस्थित है या चिह्न भिन्न हैं, तो निकाय स्थिर नहीं हो सकता।
- पहली पंक्ति को 1ले, 3रे, 5वें, … गुणांकों से और दूसरी पंक्ति को 2रे, 4थे, 6ठे, … गुणांकों से भरें।
- प्रत्येक अगला अवयव (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁ है, जो उसके ऊपर की दो पंक्तियों का उपयोग करता है।
- यदि कोई पहला अवयव शून्य है पर पंक्ति शून्य नहीं है, तो उसे छोटे ε > 0 से बदलें। यदि पूरी पंक्ति शून्य है, तो उसे ऊपर की पंक्ति से बने सहायक बहुपद के अवकलज से बदलें।
- पहले स्तंभ में चिह्न परिवर्तनों की संख्या दायें अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है।
प्रश्न और उत्तर
शून्यों की पंक्ति का क्या अर्थ है?
बहुपद के ऐसे मूल हैं जो मूल बिंदु के परितः सममित हैं: युग्म ±a, ±jω, या चतुष्टय। ऊपर की पंक्ति का सहायक बहुपद ठीक वही मूल रखता है, और काल्पनिक अक्ष पर उसके मूल निकाय को अधिकतम सीमांत स्थिर बनाते हैं।
क्या ε विधि सदैव विश्वसनीय है?
नहीं, जब मूल काल्पनिक अक्ष पर हों। इसलिए कैलकुलेटर P(s) और P(−s) का उभयनिष्ठ गुणनखंड भी अलग करता है, जिसमें सभी सममित मूल होते हैं, और उसके काल्पनिक अक्ष के मूलों को सटीक गिनता है। यदि इससे गिनती बदलती है, तो चरण यह बताते हैं।
स्थिरता के लिए K का परास कैसे ज्ञात करें?
लब्धि K को गुणांकों में रखें, सारणी को प्रतीकात्मक रूप से बनाएँ और पहले स्तंभ के प्रत्येक अवयव को धनात्मक रखने की शर्त लगाएँ। यह कैलकुलेटर संख्याओं के साथ काम करता है, इसलिए आप इससे अपनी पाई गई सीमा के दोनों ओर K के मान की जाँच कर सकते हैं।
क्या स्थिर राउथ सारणी का अर्थ अच्छा डिज़ाइन है?
यह केवल बताती है कि सभी ध्रुव बायें अर्ध-तल में हैं। अनुक्रिया कितनी तेज़ और कितनी अच्छी तरह अवमंदित है, यह ध्रुवों की स्थिति पर निर्भर करता है; उसके लिए मूल बिंदुपथ या बोड आलेख का उपयोग करें।
स्वयं अभ्यास करें
स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।