आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त ब्लॉक आरेख अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: श्रेणी, समांतर और पुनर्निवेश, संवृत-लूप अंतरण फलन और त्रुटियाँ, विक्षोभ, स्थायित्व और ध्रुव।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
संकेत R दो समांतर ब्लॉकों G₂ = 11 और G₃ = 8 में बँटता है। उनके आउटपुट दिखाए गए चिह्नों (+ and +) के साथ एक योग संधि पर मिलते हैं, और योग G₁ = 9 से होकर जाता है। कुल लब्धि T = C/R ज्ञात कीजिए।
नियंत्रण तंत्र भागों की एक कड़ी है: एक नियंत्रक, एक मोटर, एक सेंसर। ब्लॉक आरेख हर भाग को एक डिब्बे और हर संकेत को एक तीर से दिखाता है।
ब्लॉक अपने निवेश संकेत को अपने लब्धि या अंतरण फलन G से गुणा करता है। यदि ब्लॉक G = 5 में 3 जाता है, तो 15 निकलता है।
योग संधि (एक वृत्त) संकेतों को जोड़ती या घटाती है। हर आने वाले तीर के पास का चिह्न बताता है कि कौन-सा। एक बिंदु पिकऑफ़ बिंदु है: संकेत की प्रति बनती है, बँटता नहीं।
यह नियंत्रण का सबसे महत्वपूर्ण चित्र है। निर्गत C को H से होकर मापा जाता है और संदर्भ R से घटाया जाता है। अंतर E = R − H·C त्रुटि है, जो G को चलाती है।
यह ऋणात्मक पुनर्निवेश है: जब निर्गत बहुत ऊँचा हो, तो त्रुटि घटती है और उसे वापस नीचे खींचती है।
स्व-जाँच एक योग संधि पर R चिह्न + के साथ आता है और पुनर्निवेश संकेत B चिह्न − के साथ। R = 10 और B = 4 है। संधि से क्या निकलता है?
14
40
6
−6
उत्तर: 6. संधि के चिह्न कहते हैं E = R − B = 10 − 4 = 6। 14 ऋण चिह्न की अनदेखी करता है, और −6 उलटा घटाता है।
2किसी भी आरेख को सरल बनाने के तीन नियम
आप आरेख को चरण-दर-चरण तब तक घटाते हैं जब तक एक ब्लॉक न बचे। उसकी लब्धि T = C/R संवृत-पाश अंतरण फलन है।
श्रेणी: एक के बाद एक ब्लॉक गुणा होते हैं, G₁·G₂।
समानांतर: जो ब्लॉक एक ही योग संधि को भरते हैं वे संधि के चिह्नों के साथ जुड़ते हैं: G₁ + G₂ या G₁ − G₂।
पुनर्निवेश पाश: ऋणात्मक पुनर्निवेश H वाला अग्र ब्लॉक G, G/(1 + G·H) बन जाता है।
पुनर्निवेश नियम दो समीकरणों से निकलता है। संधि पर E = R − H·C, और ब्लॉक C = G·E देता है। इसलिए C = G·R − G·H·C, और अतः:
T = C/R = G/(1 + G·H)
धनात्मक पुनर्निवेश में संकेत संधि पर जोड़ा जाता है, और हर का चिह्न पलट जाता है: T = G/(1 − G·H)।
गुणनफल G·H पाश लब्धि है। जब वह बड़ी हो, तो T, 1/H के पास आ जाता है: लब्धि संयंत्र नहीं, सेंसर तय करता है।
स्व-जाँच G₁ = 2 और G₂ = 5 श्रेणी में हैं, ऋणात्मक पुनर्निवेश H = 0.3 के साथ। T = C/R क्या है?
0.75
10
2.5
−5
उत्तर: 2.5. G = 2·5 = 10 और G·H = 3, इसलिए T = 10/(1 + 3) = 2.5। मान 10 पाश की अनदेखी करता है, −5 में 1 − G·H लिया गया है, और 0.75 में H अंश में रखा गया है।
3अंतरण फलनों वाले पाश
वास्तविक ब्लॉक s पर निर्भर करते हैं, उदाहरण के लिए मोटर G(s) = b/(s + a)। वही नियम लागू होते हैं। बाद में आप भिन्नों के भीतर भिन्नें साफ़ करते हैं।
इकाई पुनर्निवेश (H = 1) के साथ G/(1 + G) के अंश और हर को (s + a) से गुणा करें:
T(s) = b/(s + a + b)
संवृत-पाश ध्रुव हर का मूल है: p = −(a + b)। यह विवृत-पाश ध्रुव −a से और बाईं ओर है, इसलिए पाश तेज़ है।
समय स्थिरांक τ = 1/(a + b) है।
DC लब्धि T(0) = b/(a + b) है। आकार A का सोपान css = A·T(0) पर टिकता है।
सेंसर लब्धि H के साथ हर s + a + b·H बन जाता है।
स्थायी-अवस्था त्रुटि ess वह है जो टिकने के बाद R − C में बचती है। इकाई पुनर्निवेश के साथ त्रुटि स्थिरांकों का उपयोग करें:
आकार A के सोपान के लिए: ess = A/(1 + Kp), जहाँ स्थिति स्थिरांक Kp = G(0)।
ढलान r(t) = A·t के लिए: ess = A/Kv, जहाँ वेग स्थिरांक Kv = lims→0 s·G(s)।
G(s) = 8/(s(s + 4)) के लिए गुणक s कट जाता है: Kv = 8/4 = 2। तब ढलान r(t) = 1·t से ess = 1/2 = 0.5 बचता है।
G(s) = K/(s(s + 6)) जैसे द्वितीय-कोटि पाश के लिए संवृत पाश का समीकरण s² + 6s + K = 0 है। दो बराबर वास्तविक ध्रुवों (क्रांतिक अवमंदन) के लिए 6² = 4K चाहिए, इसलिए K = 9।
हल किया गया उदाहरण
G(s) = 6/(s + 2) को इकाई ऋणात्मक पुनर्निवेश पाश में रखा गया है। संवृत-पाश ध्रुव, समय स्थिरांक और आकार 4 के सोपान के लिए स्थायी-अवस्था निर्गत ज्ञात कीजिए।
1
पाश बंद करें
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
ध्रुव और समय स्थिरांक
ध्रुव s + 8 = 0 का मूल है।
p = −8, τ = 1/8 = 0.125 s
3
स्थायी-अवस्था निर्गत
DC लब्धि के लिए s = 0 रखें, फिर सोपान के आकार से गुणा करें।
स्व-जाँच G(s) = 6/(s + 2) इकाई ऋणात्मक पुनर्निवेश पाश में है। संवृत-पाश ध्रुव कौन-सी संख्या है?
8
−0.125
−2
−8
उत्तर: −8. T(s) = 6/(s + 8), इसलिए ध्रुव −8 है। −2 पुनर्निवेश से पहले का विवृत-पाश ध्रुव है। ध्रुव s का एक मान है, इसलिए यहाँ वह ऋणात्मक है, और −0.125 उसे τ = 1/8 से उलझा देता है।
4विधि चरण-दर-चरण
सबसे भीतरी पाश खोजें। उसे पहले G/(1 + G·H) से घटाएँ, या धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) से।
श्रेणी के ब्लॉक मिलाएँ (गुणा) और समानांतर के ब्लॉक (संधि के चिह्नों के साथ जोड़)।
तब तक दोहराएँ जब तक एक ब्लॉक न बचे। वह ब्लॉक T(s) = C/R है।
भिन्नें साफ़ करें: अंश और हर को G(s) के हरों से गुणा करें।
पढ़ें कि क्या पूछा गया है: हर से ध्रुव, स्थायी अवस्था के लिए T(0), प्रथम-कोटि पाश के लिए τ = 1/(ध्रुव का परिमाण)।
त्वरित जाँच: s = 0 पर आप आरेख को सादी संख्याओं से घटा सकते हैं। इससे T(0) सीधे मिलता है और अधिकांश बीजगणितीय चूकें पकड़ी जाती हैं।
5एक हल किया गया उदाहरण
यह लघु पाश वाला एक सामान्य मध्यम प्रश्न है। हर चरण खोलने से पहले उसे स्वयं करके देखें।
हल किया गया उदाहरण
संयंत्र G(s) = 3/(s + 1) में H₁ = 1 वाला एक भीतरी ऋणात्मक पुनर्निवेश पाश है। एक नियंत्रक K = 4 और एक बाहरी इकाई ऋणात्मक पुनर्निवेश पाश तंत्र को बंद करते हैं। संवृत-पाश ध्रुव p और DC लब्धि T(0) ज्ञात कीजिए।
1
आरेख देखें
दो पाश हैं। भीतरी पाश केवल संयंत्र के चारों ओर जाता है। बाहरी पाश सब कुछ घेरता है, C से वापस R तक।
2
भीतरी पाश घटाएँ
G/(1 + G·H₁) का उपयोग करें और अंश तथा हर को (s + 1) से गुणा करें:
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
नियंत्रक के साथ श्रेणी में
K और Gᵢ अब श्रेणी में हैं, इसलिए गुणा करें:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
बाहरी पाश बंद करें
12/(s + 4) के चारों ओर इकाई पुनर्निवेश:
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
ध्रुव p = −16 है, और T(0) = 12/16 = 0.75।
5
उत्तर जाँचें
इसे s = 0 पर केवल संख्याओं से दोबारा करें। G(0) = 3, भीतरी पाश 3/(1 + 3) = 0.75 देता है, और K उसे 3 बना देता है।
बाहरी पाश 3/(1 + 3) = 0.75 देता है। यह T(0) से मेल खाता है।
उत्तर
T(s) = 12/(s + 16), इसलिए p = −16 और T(0) = 0.75।
6सामान्य गलतियाँ
ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए 1 − G·H का उपयोग करना। ऋणात्मक पुनर्निवेश 1 + G·H देता है, धनात्मक पुनर्निवेश 1 − G·H।
H को अंश में रखना। T = G/(1 + G·H): H केवल पाश लब्धि में आता है।
भीतरी पाश से पहले बाहरी पाश बंद करना। हमेशा भीतर से बाहर की ओर काम करें।
ध्रुव में सेंसर लब्धि H भूल जाना: हर s + a + b·H है, s + a + b नहीं।
विवृत-पाश ध्रुव −a या विवृत-पाश लब्धि G(0) देना। पुनर्निवेश दोनों को बदल देता है।
सोपान त्रुटि के लिए A/Kp का उपयोग करना। सही सूत्र A/(1 + Kp) है।
स्व-जाँच एक एम्पलीफ़ायर G = 10 में धनात्मक पुनर्निवेश H = 0.05 है: पुनर्निवेश संकेत संधि पर जोड़ा जाता है। T = C/R क्या है?
0.5
10
20
6.67
उत्तर: 20. धनात्मक पुनर्निवेश T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0.5) = 20 देता है। मान 6.67 ऋणात्मक-पुनर्निवेश सूत्र 10/1.5 लेता है। 10 पाश की अनदेखी करता है, और 0.5 केवल पाश लब्धि G·H है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: श्रेणी, समानांतर और पुनर्निवेश। आप किसी पाश में लब्धियाँ घटाते हैं, चिह्नों के साथ समानांतर ब्लॉक, या धनात्मक पुनर्निवेश। या आप b/(s + a) के चारों ओर इकाई पाश बंद करके ध्रुव, τ, T(0) या css देते हैं।
मध्यम: संवृत-पाश अंतरण फलन और त्रुटियाँ। उदाहरण जैसा लघु पाश, सेंसर लब्धि H, क्रांतिक अवमंदन के लिए लब्धि K, या सोपान या ढलान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि।
कठिन: विक्षोभ, स्थायित्व और ध्रुव। संयंत्र निवेश पर जुड़ा विक्षोभ D, या राउथ–हर्विट्ज़ परीक्षण से स्थायित्व के लिए सबसे बड़ी लब्धि Kmax।
विक्षोभ के लिए अध्यारोपण का उपयोग करें: D = 0 के साथ R से C ज्ञात करें, फिर R = 0 के साथ D से C, और दोनों जोड़ें।
संकेत R दो समांतर ब्लॉकों G₂ = 7 और G₃ = 12 में बँटता है। उनके आउटपुट दिखाए गए चिह्नों (+ and −) के साथ एक योग संधि पर मिलते हैं, और योग G₁ = 10 से होकर जाता है। कुल लब्धि T = C/R ज्ञात कीजिए।
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12चिह्न: + G₂, − G₃
ज्ञात करें: T
संकेत दिखाएँ
योग संधि को पोषित करने वाले समांतर ब्लॉक संधि के चिह्नों के साथ जुड़ते हैं।
संयोजन G₁ के साथ श्रेणी में है, इसलिए गुणा करें।
G₂ − G₃ = -5.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
समांतर ब्लॉक
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
G₁ के साथ श्रेणी
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
उत्तर
T = −50
उदाहरण 2मध्यम
एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)) है। संदर्भ पर आकार 2 का सोपान लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
ज्ञात करें: ess
संकेत दिखाएँ
स्थिति त्रुटि स्थिरांक Kₚ = G(0)।
आकार A के सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि: A/(1 + Kₚ)।
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0.375.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
स्थिति त्रुटि स्थिरांक
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0.375
स्थायी-अवस्था त्रुटि
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0.375) = 1.455
उत्तर
ess = 1.455
उदाहरण 3कठिन
G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), G₂ के चारों ओर एक भीतरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₁ = 4 और एक बाहरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₂ = 1 वाले ब्लॉक आरेख को सरल करें। C(s)/R(s) की DC लब्धि T(0) ज्ञात कीजिए।
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
ज्ञात करें: T(0)
संकेत दिखाएँ
भीतरी लूप: G₂/(1 + G₂·H₁)। फिर T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂)।
कुल मिलाकर T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂)। DC लब्धि के लिए हर ब्लॉक में s = 0 रखें।
G₁(0) = 2.5, G₂(0) = 2.5.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
नियंत्रण तंत्र भागों की एक कड़ी है: एक नियंत्रक, एक मोटर, एक सेंसर। ब्लॉक आरेख हर भाग को एक डिब्बे और हर संकेत को एक तीर से दिखाता है।
यह नियंत्रण का सबसे महत्वपूर्ण चित्र है। निर्गत C को H से होकर मापा जाता है और संदर्भ R से घटाया जाता है। अंतर E = R − H·C त्रुटि है, जो G को चलाती है।
ब्लॉक आरेख के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
ब्लॉक आरेख में आम गलतियाँ क्या हैं?
योग संधि पर चिह्न जाँचें: G₃ पथ − के साथ आता है।
केवल समांतर ब्लॉक जुड़ते हैं; G₁ उनके साथ श्रेणी में है और गुणा होता है।
समांतर ब्लॉक (अपने चिह्नों सहित) जुड़ते हैं; वे गुणा नहीं होते।
ब्लॉक आरेख के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: श्रेणी, समांतर और पुनर्निवेश
मध्यम: संवृत-लूप अंतरण फलन और त्रुटियाँ
कठिन: विक्षोभ, स्थायित्व और ध्रुव
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।