आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त सोपान अनुक्रिया अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: प्रथम-कोटि तंत्र, द्वितीय-कोटि प्राचल, भौतिक तंत्र और डिज़ाइन।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
एक अनावेशित संधारित्र C = 47 µF को 5 V सोपान स्रोत से एक प्रतिरोधक R = 4.7 kΩ के माध्यम से आवेशित किया जाता है। t = 220.9 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
सोपान वह निवेश है जो t = 0 पर 0 से एक अचर मान पर कूदता है और फिर वहीं रहता है। हीटर चालू करने की, या एक्सीलरेटर दबाकर पकड़े रखने की कल्पना करें।
सोपान अनुक्रिया यह है कि निर्गत उसका कैसे अनुसरण करता है। वह एकदम कूद नहीं सकता: वह नए अंतिम मान y(∞) की ओर बढ़ता है और वहीं टिक जाता है।
वक्र a सुचारु रूप से बढ़ता है और कभी अतिरेक नहीं करता। यह प्रथम-कोटि तंत्र है, जैसे RC परिपथ या गर्म की जा रही टंकी।
वक्र b अतिरेक करता है, कुछ बार झूलता है और फिर टिक जाता है। यह अल्पअवमंदित द्वितीय-कोटि तंत्र है, जैसे कार का सस्पेंशन या स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान।
अंतिम मान DC लब्धि G(0) से आता है: आकार U का सोपान y(∞) = G(0)·U पर टिकता है। यह लाप्लास रूपांतरण का अंतिम मान प्रमेय है।
स्व-जाँच एक तंत्र G(s) = 3/(2s + 1) को आकार 4 का सोपान मिलता है। अंतिम मान y(∞) क्या है?
12
3
4
6
उत्तर: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, इसलिए y(∞) = 3·4 = 12। मान 4 लब्धि भूल जाता है, 3 सोपान का आकार भूल जाता है, और 6 2s के 2 से भाग देता है, जो s = 0 पर लुप्त हो जाता है।
2प्रथम-कोटि तंत्र
प्रथम-कोटि तंत्र का मानक रूप नीचे है। K स्थैतिक लब्धि है और τ सेकंड में समय स्थिरांक।
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
यदि G(s) को b/(s + a) के रूप में लिखा हो, तो अंश और हर को a से भाग दें। तब K = b/a और τ = 1/a।
1τ के बाद निर्गत अपने परिवर्तन का 63% पूरा कर लेता है, 3τ के बाद 95%, 5τ के बाद 99% से अधिक।
अंतिम मान के भिन्न x तक पहुँचने का समय: t = −τ·ln(1 − x)। 90% के लिए t = τ·ln 10 = 2.3τ।
10–90% उत्थान काल tr = τ·ln 9 ≈ 2.2τ है।
RC परिपथ के लिए τ = R·C। ध्यान दें कि kΩ गुणा µF मिलीसेकंड देता है।
यदि आप अनुक्रिया मापें, तो τ उलटे हिसाब से ज्ञात कर सकते हैं। यदि निर्गत समय t पर भिन्न x तक पहुँचा, तो τ = −t/ln(1 − x)।
हल किया गया उदाहरण
G(s) = 10/(s + 5) को t = 0 पर आकार 2 का सोपान मिलता है। अंतिम मान और उसके 90% तक पहुँचने का समय ज्ञात कीजिए।
1
मानक रूप
अंश और हर को 5 से भाग दें:
G(s) = 2/(0.2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0.2 s
2
अंतिम मान
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
90% तक का समय
1 − e−t/τ = 0.9 हल करें, इसलिए e−t/τ = 0.1:
t = −τ·ln(0.1) = 0.2·2.303 = 0.461 s
उत्तर
y(∞) = 4 और निर्गत 90% तक t ≈ 0.461 s के बाद पहुँचता है।
स्व-जाँच G(s) = 10/(s + 5) का समय स्थिरांक क्या है?
0.2 s
10 s
2 s
5 s
उत्तर: 0.2 s. 2/(0.2s + 1) के रूप में लिखने पर समय स्थिरांक τ = 1/5 = 0.2 s है। 5 s τ को a से उलझा देता है, और 2 लब्धि K है, समय नहीं।
3द्वितीय-कोटि तंत्र
द्वितीय-कोटि तंत्र के हर में द्विघात होता है। उसकी तुलना मानक रूप से करें:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
अचर पद ωn² है, इसलिए प्राकृतिक आवृत्ति ωn = √(अचर पद), rad/s में।
s का गुणांक 2ζωn है, इसलिए अवमंदन अनुपात ζ = (s का गुणांक)/(2ωn)।
0 < ζ < 1 के लिए अनुक्रिया अतिरेक करती है और दोलन करती है। छोटा ζ अर्थात अधिक अतिरेक।
इकाई सोपान के लिए अंतिम मान G(0) = K/ωn² है। पाँच संख्याएँ अनुक्रिया के आकार का वर्णन करती हैं:
वृद्धि को रैखिक मान लेना। चरघातांकी 90% तक 2.3τ बाद पहुँचता है, 0.9τ बाद नहीं: t = −τ·ln(1 − x) का उपयोग करें।
ln(1 − x) की जगह ln(x) का उपयोग करना। लघुगणक वह भाग लेता है जो अभी बाक़ी है।
b/(s + a) से τ = a पढ़ना। समय स्थिरांक 1/a है।
ωn² को ωn की तरह उपयोग करना। अचर पद का वर्गमूल लें।
2ζωn में 2 भूल जाना, या tp = π/ωd में ωd की जगह ωn का उपयोग करना।
प्रतिशत (16.3%) पूछे जाने पर अतिरेक को भिन्न (0.163) के रूप में देना।
स्व-जाँच G(s) = 2/(s + 4) को सोपान मिलता है। निर्गत को अपने अंतिम मान के 90% तक पहुँचने में कितना समय लगता है?
0.026 s
0.225 s
0.576 s
9.21 s
उत्तर: 0.576 s. τ = 1/4 = 0.25 s और t = −0.25·ln(0.1) = 0.576 s। 0.225 s वृद्धि को रैखिक (0.9τ) मानता है। 0.026 s ln(0.1) की जगह ln(0.9) लेता है। 9.21 s τ की जगह a = 4 लेता है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: प्रथम-कोटि तंत्र। आप y(∞), दिए गए समय पर निर्गत, किसी प्रतिशत तक पहुँचने का समय, मापे गए बिंदु से τ, या RC परिपथ का आवेशन समय ज्ञात करते हैं।
मध्यम: द्वितीय-कोटि प्राचल। G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) से आप ζ, ωn, %OS, tp, ts या ध्रुवों का वास्तविक भाग σ ज्ञात करते हैं।
कठिन: भौतिक तंत्र और अभिकल्प। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक या RLC परिपथ, या मापे गए अतिरेक और शिखर काल से उलटे हिसाब से निकाले गए ζ और ωn।
द्रव्यमान m, अवमंदक c और स्प्रिंग k के लिए समीकरण m·x″ + c·x′ + k·x = F देता है:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
अतिरेक से उलटे हिसाब के लिए %OS सूत्र को ζ के लिए हल करें:
एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = 2/(2s + 1) विराम से शुरू होकर t = 0 पर आकार 2 का सोपान इनपुट प्राप्त करता है। आउटपुट का अंतिम मान y(∞) ज्ञात कीजिए।
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
ज्ञात करें: y(∞)
संकेत दिखाएँ
अंतिम मान प्रमेय: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U।
G(0) DC लब्धि है।
G(0) = 2.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
DC लब्धि
G(0) = 2
अंतिम मान
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
उत्तर
y(∞) = 4
उदाहरण 2मध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 213/(s² + 8s + 71) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
ज्ञात करें: %OS(%)
संकेत दिखाएँ
हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें।
ωₙ = √71 = 8.426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0.4747.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8.426) = 0.4747
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.694 = 18.37 %
उत्तर
%OS = 18.37 %
उदाहरण 3कठिन
एक द्रव्यमान m = 2.5 kg एक स्प्रिंग k = 800 N/m पर एक श्यान अवमंदक c = 9 N·s/m के साथ लटका है (m·x″ + c·x′ + k·x = F)। संतुलन में विराम की अवस्था में अचानक एक स्थिर बल F = 10 N लगाया जाता है। वह समय tp ज्ञात कीजिए जिस पर विस्थापन सबसे बड़ा है।
m = 2.5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
ज्ञात करें: tp(s)
संकेत दिखाएँ
m से भाग दें: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, इसलिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km))।
ωₙ = 17.89 rad/s, ζ = 0.1006.
अंतिम विस्थापन F/k = 12.5 mm है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात
ωₙ = √(k/m) = √(800/2.5) = 17.89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2.5)) = 0.1006
परिणाम
ωd = 17.8 rad/s
tp = π/ωd = 0.1765 s
उत्तर
tp = 0.1765 s
प्रश्न और उत्तर
सोपान अनुक्रिया क्या है?
वक्र a सुचारु रूप से बढ़ता है और कभी अतिरेक नहीं करता। यह प्रथम-कोटि तंत्र है, जैसे RC परिपथ या गर्म की जा रही टंकी।
वक्र b अतिरेक करता है, कुछ बार झूलता है और फिर टिक जाता है। यह अल्पअवमंदित द्वितीय-कोटि तंत्र है, जैसे कार का सस्पेंशन या स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान।
सोपान अनुक्रिया के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
सोपान अनुक्रिया में आम गलतियाँ क्या हैं?
आउटपुट K·U पर स्थिर होता है, U पर नहीं: DC लब्धि G(0) = 2 है।
अतिलंघन को प्रतिशत में व्यक्त करें: 100 से गुणा करें।
घातांक −ζπ/√(1 − ζ²) है।
सोपान अनुक्रिया के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: प्रथम-कोटि तंत्र
मध्यम: द्वितीय-कोटि प्राचल
कठिन: भौतिक तंत्र और डिज़ाइन
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।