आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त लाप्लास रूपांतर अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: सारणी युग्म और मान प्रमेय, आंशिक भिन्नों से प्रतिलोम रूपांतर, अवकल समीकरण और अंतरण फलन।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
एक संकेत f(t) का लाप्लास रूपांतर F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)) है। अंतिम मान प्रमेय से वह मान f(∞) ज्ञात कीजिए जिस पर f(t) स्थिर होता है।
उत्तर: 5/s. अचर गुणक आगे रहता है, और ℒ{1} = 1/s। इसलिए ℒ{5} = 5/s। उत्तर 5 देना भूल जाना है कि अचर के रूपांतरण में हमेशा गुणक 1/s होता है।
2रूपांतरण युग्मों की सारणी
ये पाँच युग्म सीखें। दो नियमों के साथ ये लगभग हर परीक्षा प्रश्न को ढक लेते हैं।
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
रैखिकता: अचर आगे रहते हैं, और योग का रूपांतरण पद-दर-पद होता है। इसलिए 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t।
विस्थापन: s को s + a से बदलने पर समय फलन e−at से गुणा हो जाता है। इसलिए (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t।
ज्या युग्म पर ध्यान दें: अंश स्वयं ω होना चाहिए। 12/(s² + 9) के लिए ω = 3 है, इसलिए 12 = 4·3 लिखें। परिणाम 4·sin 3t है।
sin ωt और cos ωt में कोण ωt रेडियन में है। मान निकालने से पहले अपने कैलकुलेटर को रेडियन पर सेट करें।
हल किया गया उदाहरण
F(s) = 6/(s + 3) + 2/s के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.5) का मान निकालिए।
1
हर पद को एक युग्म से मिलाएँ
6/(s + 3) का रूप 1/(s + a) है, a = 3 के साथ, 6 से गुणा। पद 2/s अचर 2 है।
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
f(t) लिखें
दोनों भाग जोड़ें (रैखिकता):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
t = 0.5 पर मान निकालें
f(0.5) = 6·e−1.5 + 2 = 6·0.2231 + 2 = 3.34
उत्तर
f(t) = 6·e−3t + 2, इसलिए f(0.5) ≈ 3.34।
स्व-जाँच 8/(s² + 16) का प्रतिलोम रूपांतरण क्या है?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
उत्तर: 2·sin 4t. ω² = 16, इसलिए ω = 4। युग्म को अंश में 4 चाहिए: 8 = 2·4, जो 2·sin 4t देता है। 8·sin 4t में ω से भाग देना भूल गए हैं। कोज्या अंश में s के साथ आती है।
3उलटे बिना आरंभिक और अंतिम मान
कभी-कभी आपको केवल यह चाहिए कि f(t) कहाँ से शुरू होता है या कहाँ समाप्त होता है। दो प्रमेय ये सीधे F(s) से देते हैं।
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
आरंभिक मान (s → ∞): बहुत बड़े s के लिए अंश और हर में केवल s की सबसे ऊँची घात गिनी जाती है।
अंतिम मान (s → 0): गुणक s को काटें, फिर बाक़ी हर गुणक में s = 0 रखें, शून्यों समेत।
अंतिम मान प्रमेय तभी काम करता है जब f(t) सचमुच टिकता हो: s·F(s) के सभी ध्रुवों का वास्तविक भाग ऋणात्मक होना चाहिए।
अंतिम मान: F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) के लिए s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)) मिलता है। s = 0 पर यह 12/6 = 2 है, इसलिए f(∞) = 2।
आरंभिक मान: F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) के लिए s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6) मिलता है। बड़े s के लिए यह 3s²/s² जैसा व्यवहार करता है, इसलिए f(0⁺) = 3।
आरंभिक ढाल f′(0⁺) के लिए, अवकलज का रूपांतरण ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺) उपयोग करें। फिर उस पर आरंभिक मान प्रमेय लगाएँ:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
उसी F(s) के लिए: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6)। s से गुणा करें और s → ∞ लें। सबसे ऊँची घातें −5s²/s² देती हैं, इसलिए f′(0⁺) = −5।
स्व-जाँच F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)) है। f(t) किस मान पर टिकता है?
0.5
0
1
20
उत्तर: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), जो s = 0 पर 20/20 = 1 है। शून्य गुणक (s + 2) छोड़ देने पर 0.5 आता है। मान 0 सीमा s → ∞ है, जो आरंभिक मान है।
4आंशिक भिन्न, चरण-दर-चरण
अधिकांश F(s) जैसे हैं वैसे सारणी में नहीं होते। आप उन्हें सरल भिन्नों में तोड़ते हैं जो सारणी में हैं। इसे आंशिक भिन्न कहते हैं।
हर का प्रत्येक मूल एक ध्रुव है। s = −a पर सरल ध्रुव एक पद A/(s + a) देता है, जो समय में A·e−at बन जाता है।
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
कवर-अप नियम हर गुणांक ज्ञात करता है। A ज्ञात करने के लिए F(s) में गुणक (s + a) को ढकें और जो बचे उसमें s = −a रखें।
उदाहरण: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4))। तब A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 और B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1। इसलिए f(t) = 2e−t − e−4t।
ध्रुव की स्थिति आकार बताती है। −3 पर वास्तविक ध्रुव शुद्ध क्षय e−3t देता है। सम्मिश्र युग्म −1 ± j2 क्षयी दोलन देता है, e−t गुणा sin 2t या cos 2t।
दोहराया ध्रुव (s + a)²: A/(s + a) + B/(s + a)² लिखें। दूसरा पद B·t·e−at देता है। इसलिए (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t।
सम्मिश्र ध्रुव: वर्ग पूरा करें, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2²। तब 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t।
हर का गुणनखंडन करें और ध्रुवों की सूची बनाएँ। द्विघात के लिए उसके मूल ज्ञात करें या वर्ग पूरा करें।
हर ध्रुव के लिए एक भिन्न लिखें: A/s, B/(s + a) इत्यादि। दोहराए ध्रुव को एक वर्ग वाला पद भी मिलता है।
कवर-अप नियम से हर गुणांक ज्ञात करें। बाक़ी गुणकों के चिह्न बनाए रखें।
सारणी से हर पद को वापस समय में अनूदित करें।
समय t भरें (sin और cos के लिए रेडियन)। मान प्रमेयों से f(0⁺) और f(∞) जाँचें।
स्व-जाँच F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) है। A क्या है?
2
4
−1
−2
उत्तर: 2. (s + 1) को ढकें और बाकी में s = −1 रखें: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2। मान −1 B है। 4 में बचे हुए गुणनखंड से भाग देना भूल जाते हैं, और −2 में बचे हुए गुणनखंड का चिह्न उलट जाता है: 4/2 की जगह 4/(−2)।
5एक हल किया गया उदाहरण
यह एक सामान्य मध्यम प्रश्न है। हर चरण खोलने से पहले उसे स्वयं करके देखें।
हल किया गया उदाहरण
आंशिक भिन्नों से F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.5) का मान निकालिए।
1
भिन्न सेट करें
हर पहले से गुणनखंडित है। ध्रुव s = 0, s = −2 और s = −3 हैं, सब सरल।
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
A के लिए कवर-अप
गुणक s को ढकें और बाक़ी में s = 0 रखें:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
B और C के लिए कवर-अप
(s + 2) को ढकें और s = −2 रखें। फिर (s + 3) को ढकें और s = −3 रखें। हर चिह्न बनाए रखें।
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
वापस समय में
हर पद एक सारणी युग्म है: 2/s ↔ 2, और B/(s + a) ↔ B·e−at।
t = 0 पर: 2 − 6 + 4 = 0। आरंभिक मान प्रमेय सहमत है, क्योंकि बड़े s के लिए s·F(s) → 0।
t → ∞ के लिए केवल 2 बचता है। अंतिम मान प्रमेय भी 12/(2·3) = 2 देता है।
उत्तर
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, इसलिए f(0.5) ≈ 0.685।
6सामान्य गलतियाँ
प्रमेयों को उलझा देना: s → ∞ आरंभिक मान f(0⁺) देता है, और s → 0 अंतिम मान f(∞)।
s·F(s) में गुणक s भूल जाना, या s = 0 रखते समय (s + 2) जैसा शून्य गुणक छोड़ देना।
कवर-अप नियम में चिह्न की ग़लतियाँ: s = −3 पर गुणक (s + 2) −1 के बराबर है, 5 के नहीं।
ω से भाग दिए बिना ज्या युग्म का उपयोग करना: ω/(s² + ω²) को अंश में ω चाहिए।
कैलकुलेटर को अंशों पर रखकर sin ωt या cos ωt का मान निकालना। कोण ωt रेडियन में है।
जब f(t) कभी टिकता नहीं तब अंतिम मान प्रमेय का उपयोग करना, उदाहरण के लिए F(s) = 1/(s² + 4), जो शुद्ध ज्या है।
स्व-जाँच F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)) है। कवर-अप नियम से e−3t का गुणांक B क्या है?
3
6
−2
−3
उत्तर: −3. (s + 3) को ढकें और बाक़ी में s = −3 रखें: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3। धनात्मक 3 चिह्न की ग़लती है (वह e−t का गुणांक A है)। −2 बाक़ी गुणक की जगह ध्रुव के मान से भाग देता है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: सारणी युग्म और मान प्रमेय। आप किसी अचर, चरघातांकी, t·e−at, ज्या या कोज्या का प्रतिलोम करके उसका मान निकालते हैं, या f(0⁺), f(∞) या आरंभिक ढाल f′(0⁺) ज्ञात करते हैं।
मध्यम: आंशिक भिन्नों से प्रतिलोम रूपांतरण। आप एक गुणांक A ज्ञात करते हैं, तीन सरल ध्रुवों s(s + a)(s + b) का प्रतिलोम करते हैं, दोहराए ध्रुव का, या वर्ग पूरा करके सम्मिश्र ध्रुवों का।
कठिन: अवकल समीकरण और अंतरण फलन, उदाहरण के लिए दिए गए आरंभिक मानों के साथ y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t)। आप दिए गए समय पर y ज्ञात करते हैं।
कठिन स्तर के लिए हर अवकलज को उसकी आरंभिक शर्तों के साथ रूपांतरित करें:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
फिर Y(s) के लिए बीजगणितीय समीकरण हल करें, और हल किए गए उदाहरण की तरह आंशिक भिन्नों से उसका प्रतिलोम करें।
एक संकेत f(t) का लाप्लास रूपांतर F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)) है। अंतिम मान प्रमेय से वह मान f(∞) ज्ञात कीजिए जिस पर f(t) स्थिर होता है।
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
ज्ञात करें: f(∞)
संकेत दिखाएँ
अंतिम मान प्रमेय: s → 0 के लिए f(∞) = lim s·F(s)।
पहले जाँचें कि s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हैं, ताकि f(t) वास्तव में स्थिर हो।
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
जाँचें कि प्रमेय लागू होता है
प्रमेय केवल तभी लागू होता है जब f(t) स्थिर हो; काल्पनिक अक्ष पर या दाएँ अर्ध-तल में कोई ध्रुव गलत उत्तर देगा।
s·F(s) के ध्रुव: s² + 2s + 23 = 0, सभी बाएँ अर्ध-तल में।
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e−6t + B·e−8t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
ज्ञात करें: A
संकेत दिखाएँ
हर का गुणनखंड करें: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)।
कवर-अप नियम: A = [(s + 6)·F(s)], s = −6 पर।
s = −6 पर: अंश 16, दूसरा गुणनखंड 2।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
हर का गुणनखंड करें
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
कवर-अप नियम
(s + 6) से गुणा करें और s = −6 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
उत्तर
A = 8
(B = −7, इसलिए f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
उदाहरण 3कठिन
एक तंत्र y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t) का पालन करता है, जहाँ y(0) = 5 और y′(0) = 0। t = 0 पर एक सोपान इनपुट u(t) = 5 लगाया जाता है। लाप्लास रूपांतर से y(0.6) ज्ञात कीजिए।
पूरे को s से गुणा करें: Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))।
A = 15, B = −16.67, C = 6.667.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
समीकरण का रूपांतर करें
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
आंशिक भिन्न
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16.67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6.667
परिणाम
y(t) = 15 − 16.67·e−2t + 6.667·e−5t
y(0.6) = 10.31
उत्तर
y(0.6) = 10.31
जाँच: y(0) = A + B + C = 5।
प्रश्न और उत्तर
लाप्लास रूपांतर क्या है?
परिपथ, मोटरें और टंकियाँ अवकल समीकरणों से वर्णित होती हैं: निर्गत अपनी ही परिवर्तन दर पर निर्भर करता है। इन्हें सीधे हल करना धीमा है।
आप समस्या को s में साधारण बीजगणित से हल करते हैं, फिर परिणाम को वापस समय में अनूदित करते हैं। वह अंतिम चरण प्रतिलोम रूपांतरण है।
लाप्लास रूपांतर के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
लाप्लास रूपांतर में आम गलतियाँ क्या हैं?
s = 0 पर गुणनखंड s² + 2s + 23 अपने अचर पद 23 के बराबर है।
सीमा s → 0 लें, s = 1 नहीं।
यह B है, e−8t का गुणांक। A ध्रुव s = −6 का है।
लाप्लास रूपांतर के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: सारणी युग्म और मान प्रमेय
मध्यम: आंशिक भिन्नों से प्रतिलोम रूपांतर
कठिन: अवकल समीकरण और अंतरण फलन
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।