व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर कैलकुलेटर (आंशिक भिन्न)
अपने मान दर्ज करें। टाइप करते ही उत्तर और पूरा हल अपडेट हो जाता है।
परिणाम
परिमेय फलन F(s) = N(s)/D(s) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर ज्ञात करें। अंश और हर के गुणांक दर्ज करें, s की सबसे ऊँची घात पहले। कैलकुलेटर उभयनिष्ठ गुणनखंड काटता है, अनुचित भिन्न को विभाजित करता है, ध्रुव ज्ञात करता है, प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक (भिन्न, दोहराए गए और सम्मिश्र ध्रुवों के लिए) निकालता है और f(t) को चरघातांकियों, t की घातों, ज्या और कोज्या के योग के रूप में लिखता है।
चरण-दर-चरण हल
F(s) को बहुपदों के अनुपात के रूप में लिखें
ध्रुव: हर के मूल
आंशिक भिन्न
प्रयुक्त रूपांतर युग्म
व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर
आंशिक भिन्नों से व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर कैसे ज्ञात करें
- सुनिश्चित करें कि F(s) उचित है: यदि अंश की घात हर की घात से कम नहीं है, तो पहले विभाजित करें। बहुपद भाग आवेग δ(t), δ′(t) आदि देता है।
- ध्रुव ज्ञात करने के लिए हर के गुणनखंड करें: वास्तविक ध्रुव a गुणनखंड (s − a) देता है, सम्मिश्र युग्म a ± bj गुणनखंड (s − a)² + b² देता है।
- F(s) को आंशिक भिन्नों के योग के रूप में लिखें और गुणांक ज्ञात करें। सरल ध्रुव के लिए A = [(s − a)·F(s)] का s = a पर मान (ढकने का नियम); दोहराए गए ध्रुवों के लिए अवकलज चाहिए।
- सारणी से प्रत्येक पद का रूपांतर करें: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! और (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt।
- t ≥ 0 के लिए f(t) पाने हेतु पदों को जोड़ें।
प्रश्न और उत्तर
F(s) कैसे दर्ज करूँ?
प्रत्येक बहुपद के गुणांक s की सबसे ऊँची घात से नीचे की ओर, रिक्त स्थान से अलग करके लिखें, अनुपस्थित घातों के लिए शून्य के साथ। (s + 3)/(s² + 3s + 2) का अंश 1 3 और हर 1 3 2 है; 1/(s³ + 4s) का अंश 1 और हर 1 0 4 0 है। 1/2 जैसे भिन्न और दशमलव मान्य हैं।
ढकने की विधि (कवर-अप) क्या है?
s = a पर सरल ध्रुव के लिए F(s) को (s − a) से गुणा करें, काटें, और s = a रखें। F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) के लिए यह s = −1 पर 2/1 = 2 और s = −2 पर 1/(−1) = −1 देता है, इसलिए f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t)।
सम्मिश्र ध्रुवों को कैसे संभाला जाता है?
ध्रुवों का युग्म a ± bj एक पद (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²) देता है, जिसका व्युत्क्रम e^(at)·(B cos bt + C sin bt) है। कैलकुलेटर a + bj पर सम्मिश्र गुणांक A से B और C निकालता है: B = 2·Re A और C = −2·Im A।
यदि अंश की घात बहुत अधिक हो तो क्या होगा?
तब F(s) अनुचित है। बहुपद विभाजन से F(s) = Q(s) + R(s)/D(s) मिलता है। बहुपद Q(s) आवेगों में रूपांतरित होता है: अचर c से c·δ(t), c·s से c·δ′(t) और इसी तरह। उचित भाग R(s)/D(s) को सामान्य रूप से आंशिक भिन्नों में फैलाया जाता है।
परिणाम कितने सटीक हैं?
उभयनिष्ठ और दोहराए गए गुणनखंड भिन्नों के साथ सटीक रूप से निकाले जाते हैं। फिर मूल और गुणांक लगभग 14 अंकों तक संख्यात्मक रूप से परिकलित किए जाते हैं और 4 सार्थक अंकों तक दिखाए जाते हैं, इसलिए अपरिमेय ध्रुव, जैसे s² + s + 1 के, दशमलव के रूप में दिखते हैं।
f(t) केवल t ≥ 0 के लिए ही मान्य क्यों है?
एकपक्षीय लाप्लास रूपांतर f के केवल t ≥ 0 के मानों का उपयोग करता है। कड़ाई से, परिणाम f(t)·u(t) है, जहाँ u इकाई सोपान फलन है, इसलिए t < 0 के लिए f(t) = 0।
स्वयं अभ्यास करें
लाप्लास रूपांतर का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।