अवकल समीकरण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: अवकल समीकरण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

Q: अवकल समीकरण में आम गलतियाँ क्या हैं?

यह दूसरा मूल है, जो शून्य से अधिक दूर है; उसका पद तेज़ी से क्षीण होता है। धनात्मक b और c के साथ r² + br + c = 0 के मूल ऋणात्मक होते हैं। −b/2 मूलों का मध्य बिंदु है, मूल नहीं।

Q: अवकल समीकरण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: चरघातांकी वृद्धि और क्षय मध्यम: न्यूटन का शीतलन नियम कठिन: प्रथम कोटि रैखिक हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त अवकल समीकरण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: चरघातांकी वृद्धि और क्षय, न्यूटन का शीतलन नियम, प्रथम कोटि रैखिक।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक द्रव्यमान–कमानी–अवमंदक का वर्णन y″ + 4.8y′ + 4y = 0 से होता है। इसकी तुलना y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 से करें और अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

y″ + 4.8y′ + 4y = 0

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानचरघातांकी वृद्धि और क्षय
मध्यमन्यूटन का शीतलन नियम
कठिनप्रथम कोटि रैखिक

मुख्य सूत्र

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

अवकल समीकरण शुरू से सीखें

इससे पहले: अवकलज, समाकल

1अवकल समीकरण क्या है

अवकल समीकरण किसी राशि को उसके अपने परिवर्तन की दर से जोड़ता है। वह बताता है कि कोई चीज़ कैसे बदलती है, यह नहीं कि वह क्या है।

जीवाणु विभाजित होते हैं, इसलिए बड़ी कॉलोनी तेज़ी से बढ़ती है। वृद्धि दर कोशिकाओं की संख्या N के समानुपाती होती है:

dN/dt = k · N

यहाँ dN/dt, समय t के सापेक्ष N का अवकलज है, और k दर अचर है। k = 0.4 h⁻¹ और N = 1000 कोशिकाओं के साथ, उस क्षण कॉलोनी प्रति घंटे 400 कोशिकाएँ बढ़ती है।

समीकरण हल करने का अर्थ है स्वयं फलन N(t) ज्ञात करना। आपको एक प्रारंभिक मान भी चाहिए, जैसे N(0) = 200। इसे प्रारंभिक शर्त कहते हैं।

स्व-जाँच एक जनसंख्या dN/dt = 0.2 · N का पालन करती है। इस क्षण N = 500 है। वह कितनी तेज़ी से बढ़ रही है?

प्रति घंटे 0.2
प्रति घंटे 100
प्रति घंटे 2500
प्रति घंटे 500

उत्तर: प्रति घंटे 100. संख्याएँ समीकरण में रखिए: dN/dt = 0.2 · 500 = 100। 500 को 0.2 से भाग देने पर 2500 मिलता है, जिसमें k उलटा प्रयोग हुआ है।

2चरघातांकी वृद्धि और क्षय

समीकरण dy/dt = k·y का हल हमेशा एक ही होता है, एक चरघातांकी फलन:

y(t) = y₀ · e^kt

यहाँ y₀ t = 0 पर मान है। धनात्मक k का अर्थ वृद्धि है। क्षय के लिए समीकरण dy/dt = −k·y है और हल y = y₀e^−kt है।

रेडियोधर्मी क्षय अक्सर उसकी अर्ध-आयु t_½ से दिया जाता है: वह समय जिसके बाद पदार्थ का आधा बचता है। दर अचर उससे निकलता है:

k = ln 2 / t_½

समय ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लीजिए:

t = ln(y / y₀) / k

उदाहरण के लिए, k = 0.4 h⁻¹ से बढ़ती 200 कोशिकाएँ t = ln(5)/0.4 ≈ 4.02 h बाद 1000 कोशिकाओं तक पहुँचती हैं।

स्व-जाँच किसी पदार्थ की अर्ध-आयु 10 दिन है। आप 80 mg से शुरू करते हैं। 20 दिन बाद कितना बचा है?

0 mg
20 mg
40 mg
60 mg

उत्तर: 20 mg. 20 दिन दो अर्ध-आयु हैं: 80 → 40 → 20 mg। 0 mg इस सोच से आता है कि दो आधे मिलकर पूरा होते हैं; मात्रा हर बार आधी होती है।

3शीतलन और रैखिक समीकरण

न्यूटन का शीतलन नियम: गर्म वस्तु तब तेज़ी से ठंडी होती है जब वह कमरे से बहुत अधिक गर्म हो। कमरे का तापमान T_a लेने पर:

dT/dt = −k · (T − T_a) ⇒ T(t) = T_a + (T₀ − T_a) · e^−kt

अंतर T − T_a चरघातांकी रूप से घटता है, इसलिए तापमान कमरे के तापमान की ओर जाता है और उससे नीचे कभी नहीं जाता।

एक मापन से k ज्ञात करने के लिए, ज्ञात मान रखिए और ln लीजिए: k = −ln[(T₁ − T_a)/(T₀ − T_a)] / t₁।

प्रथम कोटि रैखिक समीकरण का रूप y′ + p(x)·y = q(x) होता है। इसे समाकलन गुणक μ से गुणा कीजिए:

μ = e^{∫p dx}, (μ·y)′ = μ·q

फिर दोनों पक्षों का समाकलन कीजिए और μ से भाग दीजिए। p = 2/x के लिए, μ = e^{2 ln x} = x²।

स्व-जाँच 90 °C की चाय को 20 °C के कमरे में छोड़ दिया जाता है। बहुत लंबे समय बाद वह किस तापमान की ओर जाती है?

0 °C
20 °C
55 °C
90 °C

उत्तर: 20 °C. पद (T₀ − T_a)e^−kt 0 की ओर जाता है, इसलिए T, T_a = 20 °C की ओर जाता है। यदि आप कमरे का तापमान भूल जाएँ तो उत्तर 0 °C होता।

4विधि चरण-दर-चरण

प्रकार पहचानिए: dy/dt = ky (वृद्धि या क्षय), न्यूटन का शीतलन, या y′ + p(x)y = q(x)।
उस प्रकार का मानक हल लिखिए।
अचर ज्ञात करने के लिए दिए गए आँकड़ों का उपयोग कीजिए: शुरुआत से y₀, अर्ध-आयु या दूसरे मापन से k।
प्रश्न का उत्तर दीजिए: मान पाने के लिए समय रखिए, या समय पाने के लिए ln का उपयोग कीजिए।
k के मात्रकों (h⁻¹, min⁻¹) को t के मात्रकों से मिलाकर जाँचिए।

रैखिक समीकरण के लिए: μ ज्ञात कीजिए, (μy)′ = μq का समाकलन कीजिए, अचर C जोड़िए, फिर C ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग कीजिए।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक रेडियोधर्मी ट्रेसर की अर्ध-आयु 8 दिन है। एक नमूने में शुरू में 60 mg है। क्षय dm/dt = −k·m का पालन करता है। 12 दिन बाद कितना m बचता है?

प्रकार पहचानिए

यह चरघातांकी क्षय है, इसलिए हल है:

m(t) = m₀ · e^−kt, m₀ = 60 mg

अर्ध-आयु से k ज्ञात कीजिए

k = ln 2 / 8 = 0.6931 / 8 = 0.08664 day⁻¹

समय रखिए

k · t = 0.08664 · 12 = 1.0397

m = 60 · e^−1.0397 = 60 · 0.3536 = 21.21 mg

उत्तर जाँचें

12 दिन 1.5 अर्ध-आयु हैं। 8 दिन बाद 30 mg बचता है और 16 दिन बाद 15 mg, इसलिए 21.2 mg उनके बीच में है, जैसा अपेक्षित है।

60 · 0.5^1.5 = 21.21 mg

उत्तर

12 दिन बाद m ≈ 21.2 mg बचता है।

6सामान्य गलतियाँ

न्यूटन के शीतलन नियम में कमरे के तापमान T_a को घटाना और वापस जोड़ना भूल जाना।
क्षय के लिए धनात्मक घातांक का उपयोग करना, जिससे मात्रा घटने के बजाय बढ़ती है।
प्राकृतिक लघुगणक ln के बजाय log₁₀ का उपयोग करना।
समय के मात्रकों को मिला देना, जैसे k min⁻¹ में और t घंटों में।
समाकलन गुणक के साथ केवल बाएँ पक्ष को μ से गुणा करना।

स्व-जाँच 80 °C का एक पुर्ज़ा 20 °C के कमरे में ठंडा होता है। किसी समय t पर e^−kt = 0.5 है। तब उसका तापमान क्या है?

30 °C
40 °C
50 °C
60 °C

उत्तर: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0.5 = 20 + 30 = 50 °C। 80 को सीधे आधा करने पर 40 °C मिलता है, जो कमरे का तापमान भूल जाता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: चरघातांकी वृद्धि और क्षय। एक समय के बाद मात्रा, या किसी मात्रा तक पहुँचने का समय ज्ञात कीजिए, अक्सर अर्ध-आयु से।
मध्यम: न्यूटन का शीतलन नियम। k ज्ञात करने के लिए एक मापन का उपयोग कीजिए, फिर तापमान या समय ज्ञात कीजिए।
कठिन: y(1) = 1 के साथ y′ + 2y/x = 3 जैसा प्रथम कोटि रैखिक समीकरण। समाकलन गुणक का उपयोग कीजिए और किसी अन्य x पर y ज्ञात कीजिए।

एक त्वरित जाँच: क्षय और शीतलन के उत्तर प्रारंभिक मान और अंतिम मान (0, या कमरे का तापमान) के बीच होने चाहिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

समीकरण y″ + 4y′ + 3y = 0 के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का वह मूल r ज्ञात कीजिए जो शून्य के सबसे निकट है। यही तय करता है कि हल कितनी धीमी गति से क्षीण होता है।

y″ + 4y′ + 3y = 0

ज्ञात करें: r

संकेत दिखाएँ

y = e^rt प्रतिस्थापित करें।
r² + 4r + 3 = 0.
गुणनखंड करें या द्विघात सूत्र उपयोग करें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलाक्षणिक समीकरण

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

मूल

r = −1, r = −3

शून्य के सबसे निकट: r = −1

उत्तर

r = −1

व्यापक हल y = A·e^−1t + B·e^−3t है।

उदाहरण 2मध्यम

81 °C पर कॉफ़ी का एक कप 21 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 5 min के बाद इसका तापमान 73 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 50 °C तक पहुँचता है?

T₀ = 81 °CT_a = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

ज्ञात करें: t (min)

संकेत दिखाएँ

पहले t = 5 min पर माप से k ज्ञात करें।
k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹.
t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन स्थिरांक

k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹

लक्ष्य तक पहुँचने का समय

t = ln(60/29)/0.02862 = 25.4 min

उत्तर

t = 25.4 min

उदाहरण 3कठिन

y(0) = 4 के साथ y′ + y = 4e^−2t हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y′ + y = 4e^−2ty(0) = 4

ज्ञात करें: y(1)

संकेत दिखाएँ

समाकलन गुणक μ = e^t है।
(e^ty)′ = 4e^−t → e^ty = 4/(−1)·e^−t + C.
y = −4·e^−2t + C·e^−t. C ज्ञात करने के लिए y(0) का उपयोग करें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

समाकलन गुणक

μ = e^t

(e^ty)′ = 4e^−t

व्यापक हल

y = 4/(−1)·e^−2t + C·e^−t = −4·e^−2t + C·e^−t

प्रारंभिक प्रतिबंध

4 = −4 + C → C = 8

मान निकालें

y(1) = −4·0.1353 + 8·0.3679 = 2.402

उत्तर

y(1) = 2.402

प्रश्न और उत्तर

अवकल समीकरण क्या है?

अवकल समीकरण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

अवकल समीकरण में आम गलतियाँ क्या हैं?

यह दूसरा मूल है, जो शून्य से अधिक दूर है; उसका पद तेज़ी से क्षीण होता है।
धनात्मक b और c के साथ r² + br + c = 0 के मूल ऋणात्मक होते हैं।
−b/2 मूलों का मध्य बिंदु है, मूल नहीं।

अवकल समीकरण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: चरघातांकी वृद्धि और क्षय
मध्यम: न्यूटन का शीतलन नियम
कठिन: प्रथम कोटि रैखिक

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

अवकलज समाकल

इसके बाद

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कैलकुलेटर

अर्ध-आयु और चरघातांकी क्षय कैलकुलेटर

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