संख्यात्मक विधियाँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त संख्यात्मक विधियाँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: मूल और अंतर्वेशन, समलंब और सिम्पसन नियम, यूलर, ह्यून और रुंगे–कुट्टा।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
प्रारंभिक मान x₀ = 0 के साथ f(x) = e−x − x पर न्यूटन–रैफ़्सन लगाएँ। x2 ज्ञात करें।
मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
सामान्य गलतियाँ
द्विभाजन अंतराल का गलत आधा भाग रखना, या चरण गिनने में चूक।
न्यूटन–रैफ़्सन में x − f/f′ की जगह x − f′/f लिखना।
समलंब नियम में आंतरिक नोड को भार 1 देना, या पट्टियों की विषम संख्या के साथ सिम्पसन का उपयोग करना।
पुनरावृत्तियों को बहुत जल्दी पूर्णांकित करना।
अंतिम समय तक पहुँचने के लिए एक यूलर चरण कम या अधिक करना।
मुख्य सूत्र
द्विभाजन
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
कई समीकरणों और समाकलों के उत्तर का कोई सूत्र नहीं होता: x = cos x, ∫e−x²dx, या अधिकांश अवकल समीकरण। संख्यात्मक विधियाँ उत्तर को चरण-दर-चरण आपकी आवश्यक किसी भी सटीकता तक निकालती हैं।
द्विभाजन विधि अंतराल [a, b] पर f(x) = 0 का मूल खोजती है जहाँ f चिह्न बदलता है। मध्य बिंदु c = (a + b)/2 लें और वह आधा भाग रखें जहाँ चिह्न अब भी बदलता है।
उदाहरण: [1, 2] पर f(x) = x² − 2। c₁ = 1.5 से f = 0.25 > 0, इसलिए [1, 1.5] रखें। c₂ = 1.25 से f = −0.4375 < 0, इसलिए [1.25, 1.5] रखें। फिर c₃ = 1.375।
हर चरण अंतराल को आधा करता है, इसलिए n चरणों के बाद उसकी चौड़ाई (b − a)/2ⁿ होती है। द्विभाजन धीमा है पर चिह्न-परिवर्तन मिलने पर हमेशा काम करता है।
स्व-जाँच द्विभाजन लंबाई 1 के अंतराल से शुरू होता है। 10 चरणों के बाद अंतराल कितना चौड़ा है?
1/100
1/1024
1/10
1/20
उत्तर: 1/1024. हर चरण इसे आधा करता है: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0.001। 10 या 20 से भाग देना आधा करने को ऐसे मानना है मानो वह योगात्मक हो।
2न्यूटन–रैफ़्सन
न्यूटन–रैफ़्सन स्पर्श रेखा का अनुसरण करके x-अक्ष तक आता है और उस कटान को अगला अनुमान बनाता है:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
f(x) = x² − 2 के लिए, f′(x) = 2x और x₀ = 2 के साथ: x₁ = 2 − 2/4 = 1.5, x₂ = 1.5 − 0.25/3 = 1.416667, x₃ = 1.414216। मूल √2 = 1.414214 है।
मूल के निकट न्यूटन हर चरण में सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी कर देता है। यह तब विफल हो सकता है जब f′(xₙ) 0 के निकट हो, या जब प्रारंभ मूल से दूर हो।
हर पुनरावृत्ति में कम से कम छह अंक रखें; जल्दी पूर्णांकन करने से विधि सुधरना बंद कर देती है।
स्व-जाँच x₀ = 2 से f(x) = x² − 5 के लिए न्यूटन का एक चरण देता है…
1.75
2.25
2.2
2.5
उत्तर: 2.25. f(2) = −1 और f′(2) = 4, इसलिए x₁ = 2 − (−1)/4 = 2.25। −1/4 को घटाने की जगह जोड़ने पर 1.75 मिलता है।
3रैखिक अंतर्वेशन
सारणियाँ केवल कुछ बिंदुओं पर मान देती हैं। रैखिक अंतर्वेशन दो पड़ोसी सारणी बिंदुओं के बीच सीधी रेखा खींचता है:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
उदाहरण: सारणी f(1) = 2.0 और f(2) = 2.6 देती है। x = 1.4 पर भिन्न 0.4 है, इसलिए f(1.4) ≈ 2.0 + 0.6·0.4 = 2.24।
प्रतिलोम अंतर्वेशन उसी तरह उलटी दिशा में काम करता है: जहाँ y = 2.3 हो वह बिंदु खोजने के लिए भिन्न (2.3 − 2.0)/0.6 = 0.5 है, इसलिए x ≈ 1.5।
4समलंब नियम और सिम्पसन नियम
a से b तक f का समाकलन करने के लिए अंतराल को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀, x₁, …, xₙ हैं।
समलंब नियम हर पट्टी में वक्र को सीधी रेखा से बदलता है। हर आंतरिक नोड दो पट्टियों का है, इसलिए वह दो बार गिना जाता है:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
सिम्पसन नियम एक बार में तीन नोड से परवलय फिट करता है। इसे सम n चाहिए:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
n = 2 (h = 0.5) के साथ ∫01 x² dx = 1/3 के लिए: T = 0.25·(0 + 0.5 + 1) = 0.375, जबकि S = (0.5/3)·(0 + 1 + 1) = 0.3333, यथार्थ।
समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है और सिम्पसन की h⁴ की तरह: h को आधा करने पर सिम्पसन लगभग 16 गुना अधिक सटीक हो जाता है।
स्व-जाँच समलंब नियम नोड x₀, x₁, x₂, x₃ को कौन-से भार देता है?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
उत्तर: 1, 2, 2, 1. दोनों अंत बिंदु एक पट्टी के हैं और आंतरिक बिंदु दो के, इसलिए गुणक h/2 के साथ 1, 2, 2, 1। 4 सिम्पसन नियम के हैं।
5अवकल समीकरणों के लिए यूलर और ह्यून
y(t₀) = y₀ के साथ y′ = f(t, y) के लिए समय में चरण h से आगे बढ़ें। यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल का उपयोग करती है:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) यूलर से पूर्वानुमान लगाती है, फिर दोनों सिरों की ढालों का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)।
यूलर की त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों का उपयोग करती है और h⁴ तक सटीक है।
हल किया गया उदाहरण
y′ = y, y(0) = 1 को यूलर विधि और h = 0.1 के साथ t = 0.3 तक हल करें, और यथार्थ हल eᵗ से तुलना करें।
1
चरण 1
y₁ = 1 + 0.1·1 = 1.1
2
चरण 2
y₂ = 1.1 + 0.1·1.1 = 1.21
3
चरण 3
y₃ = 1.21 + 0.1·1.21 = 1.331
4
तुलना करें
यथार्थ मान e0.3 = 1.349859 है, इसलिए वैश्विक त्रुटि 0.0189 है। y₀ से ह्यून का एक चरण 1 + 0.05·(1 + 1.1) = 1.105 देता, जबकि e0.1 = 1.105171।
उत्तर
यूलर से y(0.3) ≈ 1.331; त्रुटि 0.019 लगभग h के अनुपात में घटती है।
6सामान्य गलतियाँ और परीक्षा प्रश्न
पहले द्विभाजन मध्य बिंदु को चरण 0 गिनना, या अंतराल का गलत आधा भाग रखना।
न्यूटन विधि में x − f/f′ की जगह x − f′/f लिखना।
समलंब नियम में आंतरिक नोड पर गुणक 2 भूल जाना, या h/2 की जगह h उपयोग करना।
पट्टियों की विषम संख्या के साथ सिम्पसन नियम का उपयोग करना।
यूलर विधि में चरण के अंत की ढाल का उपयोग करना, या एक चरण कम करना।
आसान: द्विभाजन, न्यूटन पुनरावृत्तियाँ और सारणी में अंतर्वेशन। मध्यम: समलंब और सिम्पसन नियम, उनकी त्रुटि और आवश्यक पट्टियों की संख्या। कठिन: अवकल समीकरणों के लिए यूलर, ह्यून और रुंगे–कुट्टा चरण।
स्व-जाँच y′ = 2y, y(0) = 1। h = 0.2 के साथ एक यूलर चरण क्या देता है?
1.2
1.49
1.4
2.4
उत्तर: 1.4. y₁ = 1 + 0.2·(2·1) = 1.4। ढाल में गुणक 2 भूलने पर 1.2 मिलता है; 1.49 यथार्थ मान e0.4 है।
द्विभाजन विधि 4 लंबाई के अंतराल से शुरू होती है। हर चरण अंतराल को आधा करता है। अंतराल 0.0001 से छोटा होने से पहले कम से कम कितने चरण n चाहिए?
b − a = 4ε = 0.0001
ज्ञात करें: n
संकेत दिखाएँ
n चरणों के बाद अंतराल की लंबाई (b − a)/2ⁿ होती है।
4/2ⁿ < 0.0001 हल करें, इसलिए 2ⁿ > 40000।
n > log₂(40000) = 15.29
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
मूल-खोज और अंतर्वेशन: द्विभाजन विधि एक अंतराल [a, b] रखती है जिस पर f चिह्न बदलता है; हर चरण मध्य बिंदु c = (a + b)/2 लेता है और वह आधा भाग रखता है जहाँ चिह्न अब भी बदलता है, इसलिए n चरणों के बाद अंतराल की चौड़ाई (b − a)/2ⁿ होती है। न्यूटन–रैफ़्सन स्पर्श रेखा का अनुसरण करके अक्ष तक पहुँचता है: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); सरल मूल के निकट यह प्रति चरण सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी कर देता है। सारणी के दो बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)।
शर्त
4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000
लघुगणक
n > ln(40000)/ln 2 = 15.29
n = 16
जाँच
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
उत्तर
n = 16
उदाहरण 2मध्यम
n = 3 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫01.5 √(1 + x³) dx का सन्निकटन करें। T दें।
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 3
ज्ञात करें: T
संकेत दिखाएँ
h = (1.5 − 0)/3 = 0.5; नोड 0, 0.5, 1, 1.5 हैं।
भार: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ।
भारित योग Σ wᵢfᵢ = 8.041398 है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
कई समीकरणों और समाकलों के उत्तर का कोई सूत्र नहीं होता: x = cos x, ∫e−x²dx, या अधिकांश अवकल समीकरण। संख्यात्मक विधियाँ उत्तर को चरण-दर-चरण आपकी आवश्यक किसी भी सटीकता तक निकालती हैं।
उदाहरण: [1, 2] पर f(x) = x² − 2। c₁ = 1.5 से f = 0.25 > 0, इसलिए [1, 1.5] रखें। c₂ = 1.25 से f = −0.4375 < 0, इसलिए [1.25, 1.5] रखें। फिर c₃ = 1.375।
संख्यात्मक विधियाँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
संख्यात्मक विधियाँ में आम गलतियाँ क्या हैं?
द्विभाजन अंतराल का गलत आधा भाग रखना, या चरण गिनने में चूक।
न्यूटन–रैफ़्सन में x − f/f′ की जगह x − f′/f लिखना।
समलंब नियम में आंतरिक नोड को भार 1 देना, या पट्टियों की विषम संख्या के साथ सिम्पसन का उपयोग करना।
पुनरावृत्तियों को बहुत जल्दी पूर्णांकित करना।
अंतिम समय तक पहुँचने के लिए एक यूलर चरण कम या अधिक करना।
संख्यात्मक विधियाँ के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: मूल और अंतर्वेशन
मध्यम: समलंब और सिम्पसन नियम
कठिन: यूलर, ह्यून और रुंगे–कुट्टा
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।