संख्यात्मक विधियाँआसान
द्विभाजन विधि 4 लंबाई के अंतराल से शुरू होती है। हर चरण अंतराल को आधा करता है। अंतराल 0.0001 से छोटा होने से पहले कम से कम कितने चरण n चाहिए?
b − a = 4ε = 0.0001
ज्ञात करें: n
संकेत दिखाएँ
- n चरणों के बाद अंतराल की लंबाई (b − a)/2ⁿ होती है।
- 4/2ⁿ < 0.0001 हल करें, इसलिए 2ⁿ > 40000।
- n > log₂(40000) = 15.29
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
मूल-खोज और अंतर्वेशन: द्विभाजन विधि एक अंतराल [a, b] रखती है जिस पर f चिह्न बदलता है; हर चरण मध्य बिंदु c = (a + b)/2 लेता है और वह आधा भाग रखता है जहाँ चिह्न अब भी बदलता है, इसलिए n चरणों के बाद अंतराल की चौड़ाई (b − a)/2ⁿ होती है। न्यूटन–रैफ़्सन स्पर्श रेखा का अनुसरण करके अक्ष तक पहुँचता है: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); सरल मूल के निकट यह प्रति चरण सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी कर देता है। सारणी के दो बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)।
शर्त
4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000
लघुगणक
n > ln(40000)/ln 2 = 15.29
n = 16
जाँच
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
उत्तर
n = 16