आइगेन मान और आइगेन सदिश कैलकुलेटर
अपने मान दर्ज करें। टाइप करते ही उत्तर और पूरा हल अपडेट हो जाता है।
परिणाम
| आइगेन मान | बहुलता | आइगेन सदिश | मात्रक आइगेन सदिश |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0.8944, 0, 0.4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0.5774, 0.5774, −0.5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0.7071, 0, −0.7071) |
2×2 या 3×3 आव्यूह के आइगेन मान और आइगेन सदिश ज्ञात करें। कैलकुलेटर det(A − λI) को अभिलक्षणिक बहुपद में फैलाता है, उसे बहुलता सहित वास्तविक या सम्मिश्र आइगेन मानों के लिए हल करता है, और (A − λI)v = 0 हल करके प्रत्येक वास्तविक आइगेन मान के आइगेन सदिश ज्ञात करता है। हर आइगेन सदिश की जाँच A·v निकालकर की जाती है, और दोहराए गए आइगेन मानों के लिए यह दिखाता है कि आव्यूह विकर्णनीय है या नहीं।
चरण-दर-चरण हल
अभिलक्षणिक समीकरण det(A − λI) = 0
आइगेन मान
आइगेन सदिश (λ = 5)
आइगेन सदिश (λ = 3)
आइगेन सदिश (λ = 2)
मुख्य सूत्र
- आइगेन मान
- det(A − λI) = 0
आइगेन मान और आइगेन सदिश कैसे ज्ञात करें
- A के प्रत्येक विकर्ण अवयव में से λ घटाएँ ताकि A − λI मिले।
- सारणिक को शून्य के बराबर रखें: det(A − λI) = 0। 2×2 आव्यूह के लिए यह λ² − (tr A)λ + det A = 0 है; 3×3 आव्यूह के लिए यह त्रिघात समीकरण है।
- अभिलक्षणिक समीकरण हल करें। जाँच: आइगेन मानों का योग अनुरेख के बराबर और गुणनफल सारणिक के बराबर होता है।
- प्रत्येक आइगेन मान के लिए (A − λI)v = 0 को पंक्ति-समानयन से हल करें। हल एक रेखा (या समतल) बनाते हैं; उसमें कोई भी अशून्य सदिश आइगेन सदिश है।
- हर आइगेन सदिश की जाँच करें: A·v = λ·v होना चाहिए।
प्रश्न और उत्तर
आव्यूह कैसे दर्ज करूँ?
पंक्तियों को अर्धविराम से और प्रत्येक पंक्ति की संख्याओं को रिक्त स्थान से अलग करके लिखें, उदाहरण के लिए 3×3 आव्यूह के लिए 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3। दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ मान्य हैं।
किसी आव्यूह के सम्मिश्र आइगेन मान क्यों हो सकते हैं?
अभिलक्षणिक बहुपद के मूल सम्मिश्र हो सकते हैं, और वास्तविक आव्यूह के लिए वे सदैव संयुग्मी युग्मों में आते हैं। घूर्णन आव्यूह 0 -1; 1 0 के आइगेन मान ±i हैं, क्योंकि घूर्णन में कोई वास्तविक सदिश अपनी दिशा नहीं रखता।
दोहराए गए आइगेन मान का क्या अर्थ है?
अभिलक्षणिक बहुपद का ऐसा मूल जिसकी बहुलता 2 या 3 हो। आव्यूह के पास फिर भी उतने स्वतंत्र आइगेन सदिश हो सकते हैं, जैसे तत्समक आव्यूह, या उससे कम। कम होने पर वह दोषपूर्ण है और विकर्णनीय नहीं हो सकता।
क्या आइगेन सदिश अद्वितीय है?
नहीं। आइगेन सदिश का कोई भी अशून्य गुणज भी आइगेन सदिश है। कैलकुलेटर एक सरल रूप दिखाता है, जहाँ संभव हो पूर्ण संख्याओं में, और लंबाई 1 वाला मात्रक सदिश।
आइगेन मानों का उपयोग किसलिए होता है?
वे कंपन करने वाले निकायों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ, प्रतिबल टेन्सर के मुख्य प्रतिबल, अवकल समीकरण निकायों की स्थिरता और मुख्य घटक विश्लेषण में मुख्य दिशाएँ देते हैं।
स्वयं अभ्यास करें
आव्यूह और सारणिक का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।