द्विपद बंटन कैलकुलेटर
अपने मान दर्ज करें। टाइप करते ही उत्तर और पूरा हल अपडेट हो जाता है।
परिणाम
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.02825 | 0.02825 |
| 1 | 0.1211 | 0.1493 |
| 2 | 0.2335 | 0.3828 |
| 3 | 0.2668 | 0.6496 |
| 4 | 0.2001 | 0.8497 |
| 5 | 0.1029 | 0.9527 |
| 6 | 0.03676 | 0.9894 |
| 7 | 0.009002 | 0.9984 |
| 8 | 0.001447 | 0.9999 |
| 9 | 0.0001378 | 1 |
| 10 | 5.905 × 10⁻⁶ | 1 |
n स्वतंत्र परीक्षणों की द्विपद प्रायिकताएँ ज्ञात करें, जिनमें प्रत्येक p प्रायिकता से सफल होता है: ठीक x सफलताएँ, अधिकतम x, कम से कम x, x से कम या x से अधिक। कैलकुलेटर द्विपद सूत्र, जोड़ा गया हर पद (या छोटा पूरक), माध्य np और मानक विचलन √(np(1 − p)) दिखाता है। n ≤ 30 के लिए यह पूरा बंटन तालिका में भी सूचीबद्ध करता है।
चरण-दर-चरण हल
द्विपद प्रायिकता सूत्र
प्रायिकताएँ जोड़ें
माध्य और मानक विचलन
मुख्य सूत्र
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
द्विपद प्रायिकताओं की गणना कैसे करें
- जाँचें कि स्थिति द्विपद है: परीक्षणों की निश्चित संख्या n, प्रति परीक्षण दो परिणाम, हर बार सफलता की समान प्रायिकता p और स्वतंत्र परीक्षण।
- ठीक x सफलताओं के लिए P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ का उपयोग करें, जहाँ C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) उन क्रमों की संख्या गिनता है जिनमें सफलताएँ आ सकती हैं।
- “अधिकतम x” के लिए P(X = 0) से P(X = x) तक जोड़ें। “कम से कम x” के लिए P(X = x) से P(X = n) तक जोड़ें।
- यदि योग में बहुत पद हों, तो पूरक का उपयोग करें: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)।
- शब्दों का अनुवाद सावधानी से करें: “4 से कम” का अर्थ X ≤ 3 है और “4 से अधिक” का अर्थ X ≥ 5।
प्रश्न और उत्तर
द्विपद बंटन का माध्य और मानक विचलन क्या हैं?
माध्य μ = np है और प्रसरण σ² = np(1 − p) है, इसलिए मानक विचलन σ = √(np(1 − p)) है। n = 10 और p = 0.3 के लिए μ = 3 और σ = 1.449 मिलता है।
“कम से कम” और “से अधिक” में क्या अंतर है?
“कम से कम 3” में 3 शामिल है: P(X ≥ 3)। “3 से अधिक” में नहीं: P(X > 3) = P(X ≥ 4)। असतत बंटन के लिए ये अलग संख्याएँ हैं, इसलिए प्रश्न के शब्दों से मेल खाने वाला विकल्प चुनें।
कैलकुलेटर कभी-कभी पूरक का उपयोग क्यों करता है?
क्योंकि सभी प्रायिकताओं का योग 1 होता है, इसलिए P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)। जब पूरक में कम पद हों तो हाथ से गणना करना तेज़ होता है, और चरण वही तरीका दिखाते हैं। परिणाम समान रहता है।
n कितना बड़ा हो सकता है?
10 000 परीक्षणों तक। पदों की गणना लघुगणकों से की जाती है, इसलिए बड़े क्रमगुणित अतिप्रवाह नहीं करते और प्रायिकताएँ सटीक रहती हैं।
द्विपद बंटन कब सही मॉडल नहीं है?
जब परीक्षण स्वतंत्र न हों या p बदलता हो, उदाहरण के लिए जब आप किसी छोटे समूह से प्रतिस्थापन के बिना चुनते हैं: वह अतिज्यामितीय बंटन का अनुसरण करता है। जब n बड़ा और p छोटा हो, तो λ = np वाला प्वासों बंटन अच्छा सन्निकटन है।
स्वयं अभ्यास करें
प्रायिकता का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।