क्रमचय और संचय कैलकुलेटर (nPr और nCr)
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परिणाम
n में से r वस्तुएँ चुनने के तरीके गिनें। क्रमचय, nPr, क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ गिनते हैं; संचय, nCr, ऐसे चयन गिनते हैं जिनमें क्रम मायने नहीं रखता। कैलकुलेटर वस्तुओं की पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर भी गिनती देता है, और n तथा r के 1000 तक के मानों के लिए सटीक पूर्ण संख्याओं के साथ काम करता है: चरण हर अंक दिखाते हैं, बहुत बड़े परिणामों के भी।
चरण-दर-चरण हल
क्रमचय: क्रम मायने रखता है
संचय: क्रम मायने नहीं रखता
पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ
मुख्य सूत्र
- क्रमचय
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- संचय
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- पुनरावृत्ति सहित
- क्रम मायने रखे तो nr, न रखे तो C(n + r − 1, r)
क्रमचय और संचय की गणना कैसे करें
- तय करें कि क्रम मायने रखता है या नहीं। लोगों को पंक्ति में लगाना, प्रथम और द्वितीय पुरस्कार देना या कोड बनाना: क्रम मायने रखता है, इसलिए क्रमचय का उपयोग करें। टीम चुनना या ताश के पत्तों का हाथ: क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए संचय का उपयोग करें।
- क्रमचय: nPr = n!/(n − r)!, r गुणनखंडों n·(n − 1)···(n − r + 1) का गुणनफल।
- संचय: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!। r! से भाग देने पर प्रत्येक चयन के r! क्रम हट जाते हैं।
- पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर, क्रमबद्ध चयन nʳ देते हैं और अक्रमबद्ध चयन C(n + r − 1, r) देते हैं।
- छोटे उदाहरण से जाँचें: C(4, 2) = 6 और P(4, 2) = 12, क्योंकि प्रत्येक जोड़ी 2 क्रमों में लिखी जा सकती है।
प्रश्न और उत्तर
क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?
क्रमचय क्रमबद्ध व्यवस्था है और संचय अक्रमबद्ध चयन। अक्षरों A, B और C से आप 6 क्रमबद्ध जोड़ियाँ (AB, BA, AC, CA, BC, CB) बना सकते हैं, लेकिन केवल 3 अक्रमबद्ध जोड़ियाँ ({A, B}, {A, C}, {B, C})।
C(n, r) = C(n, n − r) क्यों होता है?
जिन r वस्तुओं को आप लेते हैं उन्हें चुनना वही है जो छोड़ी गई n − r वस्तुओं को चुनना है। उदाहरण के लिए C(10, 3) = C(10, 7) = 120।
0! क्या है?
0! = 1। इससे सूत्र सिरों पर भी काम करते हैं: C(n, 0) = C(n, n) = 1, क्योंकि कुछ भी न चुनने या सब कुछ चुनने का ठीक एक ही तरीका है।
पुनरावृत्ति सहित संचय क्या हैं?
ऐसे अक्रमबद्ध चयन जिनमें एक ही वस्तु एक से अधिक बार चुनी जा सकती है, जैसे आइसक्रीम के 10 स्वादों में से 3 स्कूप। गिनती C(n + r − 1, r) है, जो उस उदाहरण में C(12, 3) = 220 है।
प्रायिकता में संचय का उपयोग कहाँ होता है?
द्विपद सूत्र में C(n, x) उन क्रमों की संख्या गिनता है जिनमें n परीक्षणों में x सफलताएँ आ सकती हैं। लॉटरी और ताश के खेलों में किसी हाथ की प्रायिकता अनुकूल संचयों की संख्या को कुल संचयों की संख्या से भाग देने पर मिलती है।
स्वयं अभ्यास करें
प्रायिकता का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।