प्रायिकता: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त प्रायिकता अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: समसंभाव्य परिणाम, गणना और पूरक, द्विपद वितरण।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
योग ≥ 4पासा 1पासा 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। योग के कम से कम 4 होने की प्रायिकता P क्या है?

2 पासे≥ 4

प्रायिकता 0 और 1 के बीच दशमलव के रूप में दें।

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प्रायिकता का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी प्रायिकता का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानसमसंभाव्य परिणाम
  2. मध्यमगणना और पूरक
  3. कठिनद्विपद वितरण

मुख्य सूत्र

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रायिकता शुरू से सीखें

1प्रायिकता क्या है

प्रायिकता 0 और 1 के बीच की वह संख्या है जो बताती है कि कोई बात कितनी संभावित है। 0 का अर्थ है कि वह कभी नहीं होती, 1 का अर्थ है कि वह हमेशा होती है।

जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, तो उन्हें गिनें:

P(A) = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या

एक थैले में 3 लाल, 5 नीली और 2 हरी गेंदें हैं, कुल 10। यदि आप यादृच्छिक रूप से एक निकालें, तो P(नीली) = 5/10 = 0.5।

एक निष्पक्ष पासे के 6 फलक होते हैं, इसलिए P(छह) = 1/6 ≈ 0.167 और P(सम) = 3/6 = 0.5।

प्रायिकता को प्रतिशत के रूप में भी लिखा जा सकता है: 0.5 यानी 50%। परीक्षा के उत्तर आमतौर पर 0 और 1 के बीच के दशमलव होते हैं।

स्व-जाँच एक थैले में 2 लाल, 8 नीली और 4 हरी गेंदें हैं। आप यादृच्छिक रूप से एक निकालते हैं। P(लाल) क्या है?
  1. 2/12 ≈ 0.167
  2. 2/14 ≈ 0.143
  3. 2/8 = 0.25
  4. 2

उत्तर: 2/14 ≈ 0.143. कुल 2 + 8 + 4 = 14 गेंदें हैं, और 2 लाल हैं: 2/14 ≈ 0.143। 12 से भाग देना केवल दूसरी गेंदें गिनता है, पर कुल में लाल भी शामिल होनी चाहिए।

2घटनाओं को मिलाने के नियम

  • पूरक: P(A नहीं) = 1 − P(A)। “कम से कम एक” वाले प्रश्नों में इसका उपयोग करें: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)।
  • और, स्वतंत्र घटनाएँ: गुणा करें। दो निष्पक्ष सिक्कों से P(दो चित) = 0.5 · 0.5 = 0.25।
  • या: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)। उभयनिष्ठ भाग घटाएँ, ताकि वह दो बार न गिना जाए।

प्रतिस्थापन के बिना निकालने से थैला बदल जाता है। एक लाल गेंद निकालने के बाद लाल गेंद एक कम होती है और कुल गेंदें भी एक कम।

5 लाल और 4 नीली गेंदों के साथ P(दो लाल) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278।

उन समूहों को गिनने के लिए जहाँ क्रम मायने नहीं रखता, संचय (कॉम्बिनेशन) का उपयोग करें। n में से k वस्तुएँ चुनने के तरीक़ों की संख्या है:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

यहाँ n! = n · (n − 1) · … · 1। इसलिए C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15, यानी 6 लोगों में से 4 की 15 समितियाँ।

स्व-जाँच एक थैले में 5 लाल और 4 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो निकालते हैं। P(दोनों लाल) क्या है?
  1. 0.139
  2. 0.278
  3. 0.309
  4. 0.556

उत्तर: 0.278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278। 5/9 · 5/9 ≈ 0.309 लेने पर यह भूल जाते हैं कि पहली लाल गेंद अब थैले में नहीं है।

3द्विपद बंटन

कुछ प्रश्नों में वही परीक्षण n बार दोहराया जाता है: 5 पुर्ज़ों की जाँच, 8 उत्तरों का अनुमान, सिक्के को 3 बार उछालना। हर परीक्षण प्रायिकता p से सफल होता है, बाक़ी से स्वतंत्र रूप से।

तब सफलताओं की संख्या X एक द्विपद बंटन का अनुसरण करती है:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k सफलताएँ।
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k विफलताएँ।
  • C(n, k): उन अलग-अलग क्रमों की संख्या जिनमें सफलताएँ आ सकती हैं।

“अधिकतम एक” के लिए P(X = 0) और P(X = 1) जोड़ें। “कम से कम एक” के लिए 1 − P(X = 0) का उपयोग करें।

स्व-जाँच आप एक निष्पक्ष सिक्के को 3 बार उछालते हैं। ठीक 2 चित आने की प्रायिकता क्या है?
  1. 0.125
  2. 0.25
  3. 0.375
  4. 0.667

उत्तर: 0.375. C(3, 2) · 0.5² · 0.5 = 3 · 0.125 = 0.375। C(3, 2) भूलने पर 0.125 आता है: वह केवल एक क्रम है, जैसे HHT, पर THH और HTH भी गिने जाने चाहिए।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. लिखें कि एक परिणाम क्या है और कुल कितने परिणाम हैं।
  2. शब्दों का अनुवाद करें: “और” का अर्थ गुणा, “या” का अर्थ जोड़ (उभयनिष्ठ घटाकर), “नहीं” का अर्थ 1 − P।
  3. “कम से कम एक” के लिए पहले पूरक “कोई नहीं” की गणना करें।
  4. प्रतिस्थापन के बिना: हर बार निकालने के बाद गिनतियाँ घटाएँ। या संचय से गिनें।
  5. निश्चित p वाले बार-बार के स्वतंत्र परीक्षण: द्विपद सूत्र का उपयोग करें।
  6. जाँचें कि उत्तर 0 और 1 के बीच है।

कई चरण होने पर वृक्ष आरेख मदद करता है: शाखा के साथ गुणा करें, और जिन शाखाओं की आपको ज़रूरत है उन्हें जोड़ें।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। कम से कम एक के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

1

पूरक का उपयोग करें

“कम से कम एक लाल” के तीन मामले हैं: लाल–लाल, लाल–नीली और नीली–लाल। उसका उलटा, “कोई लाल नहीं”, केवल एक मामला है: नीली–नीली।

P(कम से कम एक लाल) = 1 − P(दोनों नीली)
2

पहली बार निकालना

10 में से 6 गेंदें नीली हैं।

P(पहली नीली) = 6/10
3

दूसरी बार निकालना

एक नीली गेंद निकल चुकी है, इसलिए 9 में से 5 नीली गेंदें बची हैं।

P(दोनों नीली) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

वृक्ष में R लाल गेंद है और B नीली। मोटी शाखा नीली–नीली है।

4

पूरक लें

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0.667
5

उत्तर जाँचें

संचय से गिनें: C(10, 2) = 45 जोड़े हैं, और उनमें से C(6, 2) = 15 नीली–नीली हैं। 15/45 = 1/3, पहले जैसा ही।

वृक्ष की बाक़ी तीन शाखाओं का योग भी 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 है।

उत्तर

P = 2/3 ≈ 0.667

6सामान्य गलतियाँ

  • “कम से कम एक” के लिए 1 − P(कोई नहीं) की जगह प्रायिकताओं को जोड़ देना।
  • प्रतिस्थापन के बिना निकालते समय गिनतियाँ घटाना भूल जाना।
  • द्विपद सूत्र में गुणक C(n, k) भूल जाना।
  • ग़लत कुल से भाग देना, उदाहरण के लिए केवल दूसरे रंगों से।
  • 1 से ऊपर या 0 से नीचे की प्रायिकता देना। यह हमेशा ग़लती का संकेत है।
स्व-जाँच आप एक निष्पक्ष पासे को दो बार फेंकते हैं। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता क्या है?
  1. 1/3 ≈ 0.333
  2. 1/36 ≈ 0.028
  3. 11/36 ≈ 0.306
  4. 25/36 ≈ 0.694

उत्तर: 11/36 ≈ 0.306. 1 − P(कोई छक्का नहीं) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36। 1/6 + 1/6 जोड़ने पर 1/3 आता है, जो दो छक्कों वाले मामले को दो बार गिनता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: समान रूप से संभावित परिणाम। रंगीन गेंदों के थैले से एक बार निकालना, या पासे का एक बार फेंकना।
  • मध्यम: गिनती और पूरक। C(n, k) से समितियाँ, या प्रतिस्थापन के बिना दो बार निकालना।
  • कठिन: द्विपद बंटन। ठीक k सफलताएँ, या “अधिकतम एक” को P(X = 0) + P(X = 1) के रूप में।

उत्तर 0 और 1 के बीच के दशमलव के रूप में दें, तीन या चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करके।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
xp(x)1?20.2530.1540.250.15

सारणी X का प्रायिकता बंटन देती है, पर एक प्रायिकता छूटी है। P(X = 1) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0.25, 0.15, 0.2, 0.15

ज्ञात करें: P(X = 1)

संकेत दिखाएँ
  1. बंटन की सभी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
  2. ज्ञात प्रायिकताएँ जोड़ें।
  3. P = 1 − 0.75.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

ज्ञात प्रायिकताओं का योग

0.25 + 0.15 + 0.2 + 0.15 = 0.75

छूटी प्रायिकता

P(X = 1) = 1 − 0.75 = 0.25

उत्तर

P(X = 1) = 0.25
उदाहरण 2मध्यम
xp(x)10.1520.3530.0540.350.15μ = 2.95

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.3, 0.15

ज्ञात करें: Var(X)

संकेत दिखाएँ
  1. μ = Σx·p(x) = 2.95.
  2. फिर E(X²) = Σx²·p(x)।
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.15 = 2.95

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.15 = 10.55

प्रसरण

Var(X) = 10.55 − 2.95² = 1.848

उत्तर

Var(X) = 1.848
उदाहरण 3कठिन
n = 12, p = 0.3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

एक परीक्षा में 12 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.3 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 5 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.3k = 5

ज्ञात करें: P

संकेत दिखाएँ
  1. यह द्विपद वितरण है: स्वतंत्र प्रयोगों की निश्चित संख्या, समान सफलता प्रायिकता।
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 5) = 792·0.35·0.77 = 792·0.00243·0.08235 = 0.1585

उत्तर

P = 0.1585

प्रश्न और उत्तर

प्रायिकता क्या है?

प्रायिकता 0 और 1 के बीच की वह संख्या है जो बताती है कि कोई बात कितनी संभावित है। 0 का अर्थ है कि वह कभी नहीं होती, 1 का अर्थ है कि वह हमेशा होती है।

जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, तो उन्हें गिनें:

प्रायिकता के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

प्रायिकता में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • यह ज्ञात प्रायिकताओं का योग है। छूटी प्रायिकता 1 में से इस योग को घटाने पर मिलती है।
  • मान समान रूप से संभावित नहीं हैं: इस तथ्य का उपयोग करें कि सभी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
  • E(X²) प्रसरण नहीं है: μ² घटाएँ।
प्रायिकता के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: समसंभाव्य परिणाम
  • मध्यम: गणना और पूरक
  • कठिन: द्विपद वितरण

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

इसके बाद

साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी

कैलकुलेटर

द्विपद बंटन कैलकुलेटरप्वासों बंटन कैलकुलेटरक्रमचय और संचय कैलकुलेटर (nPr और nCr)प्रत्याशित मान और प्रसरण कैलकुलेटर

इस विषय वाले कोर्स

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गणित और सांख्यिकी में और विषय

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प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित प्रायिकता वर्कशीट
प्रायिकता का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी प्रायिकता का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।