विश्वास्यता अंतराल: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: विश्वास्यता अंतराल क्या है?

आप पूरी समष्टि का माध्य μ जानना चाहते हैं, जैसे किसी कारखाने की बनाई सभी बैटरियों का औसत जीवनकाल। आप सबका परीक्षण नहीं कर सकते, इसलिए आप n बैटरियों के एक प्रतिदर्श का परीक्षण करते हैं। प्रतिदर्श माध्य x̄ μ के लिए आपका सबसे अच्छा अनुमान है, पर दूसरा प्रतिदर्श थोड़ा अलग x̄ देगा। अकेली संख्या उस अनिश्चितता को छिपा देती है।

Q: विश्वास्यता अंतराल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: z अंतराल मध्यम: t अंतराल कठिन: प्रतिदर्श आकार हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त विश्वास्यता अंतराल अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: z अंतराल, t अंतराल, प्रतिदर्श आकार।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

यादृच्छिक रूप से चुने गए 100 मतदाताओं के एक सर्वेक्षण में 55 एक प्रस्ताव का समर्थन करते हैं। समर्थकों के अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 100x = 5590%

अगला प्रश्न →

विश्वास्यता अंतराल का मुफ़्त अभ्यास करें अभी विश्वास्यता अंतराल का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानz अंतराल
मध्यमt अंतराल
कठिनप्रतिदर्श आकार

विश्वास्यता अंतराल के प्रश्न कैसे हल करें

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

सामान्य गलतियाँ

√n से भाग देना भूल जाना।
प्रतिदर्श छोटा और σ अज्ञात होने पर z का उपयोग करना।
प्रतिदर्श आकार को ऊपर के बजाय नीचे पूर्णांकित करना।

मुख्य सूत्र

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विश्वास्यता अंतराल शुरू से सीखें

इससे पहले: प्रसामान्य बंटन

1विश्वास्यता अंतराल क्या है

आप पूरी समष्टि का माध्य μ जानना चाहते हैं, जैसे किसी कारखाने की बनाई सभी बैटरियों का औसत जीवनकाल। आप सबका परीक्षण नहीं कर सकते, इसलिए आप n बैटरियों के एक प्रतिदर्श का परीक्षण करते हैं।

प्रतिदर्श माध्य x̄ μ के लिए आपका सबसे अच्छा अनुमान है, पर दूसरा प्रतिदर्श थोड़ा अलग x̄ देगा। अकेली संख्या उस अनिश्चितता को छिपा देती है।

विश्वास्यता अंतराल इसके बजाय एक परास देता है: x̄ में से एक सीमा घटाने से लेकर x̄ में एक सीमा जोड़ने तक।

95% विश्वास्यता अंतराल ऐसी विधि से बनता है जो सभी प्रतिदर्शों में से 95% में सच्चे μ को पकड़ लेती है। ऊँचे विश्वास्यता स्तर से अंतराल चौड़ा होता है।

स्व-जाँच आप एक ही प्रतिदर्श से 90% और 99% विश्वास्यता अंतराल निकालते हैं। कौन-सा चौड़ा है?

90% वाला अंतराल
99% वाला अंतराल
दोनों समान रूप से चौड़े हैं
यह प्रतिदर्श माध्य पर निर्भर करता है

उत्तर: 99% वाला अंतराल. इस बारे में अधिक आश्वस्त होने के लिए कि अंतराल में μ है, उसे चौड़ा होना होगा। 99% का क्रांतिक मान 2.576, 90% के मान 1.645 से बड़ा है।

2z अंतराल

जब समष्टि का मानक विचलन σ ज्ञात हो, तो अंतराल है:

x̄ ± z · σ / √n

पद σ/√n मानक त्रुटि है: x̄ एक प्रतिदर्श से दूसरे में कितना बदलता है। बड़ा प्रतिदर्श छोटी मानक त्रुटि देता है।

क्रांतिक मान z विश्वास्यता स्तर पर निर्भर करता है। ये तीन याद करें:

90%: z = 1.645
95%: z = 1.96
99%: z = 2.576

त्रुटि सीमा E = z · σ/√n है। अंतराल x̄ − E (निचली सीमा) से x̄ + E (ऊपरी सीमा) तक जाता है।

स्व-जाँच 64 के एक प्रतिदर्श का माध्य 55 है। समष्टि का σ 12 है। 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा क्या है?

55.37
57.47
57.94
78.52

उत्तर: 57.94. E = 1.96 · 12/√64 = 1.96 · 1.5 = 2.94, इसलिए ऊपरी सीमा 57.94 है। √n भूल जाने पर 78.52 आता है, और 57.47 में 90% वाला मान 1.645 लिया गया है।

3t अंतराल और प्रतिदर्श आकार

आमतौर पर σ ज्ञात नहीं होता। तब आप प्रतिदर्श मानक विचलन s का उपयोग करते हैं, और क्रांतिक मान t-बंटन से आता है:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

स्वातंत्र्य कोटि df की संख्या n − 1 है। t का मान z से बड़ा होता है, इसलिए अंतराल चौड़ा होता है: यह s में अतिरिक्त अनिश्चितता को समाहित करता है। बड़े n के लिए t, z के करीब आ जाता है।

95% पर: df = 9 के लिए t = 2.262, df = 15 के लिए t = 2.131 और df = 29 के लिए t = 2.045।

कभी-कभी आपको प्रतिदर्श आकार की योजना बनानी होती है: अधिकतम E की त्रुटि सीमा के लिए n कितना बड़ा होना चाहिए? E = zσ/√n को n के लिए हल करें:

n = (z · σ / E)²

हमेशा अगली पूर्ण संख्या तक ऊपर पूर्णांकित करें। नीचे पूर्णांकित करने पर त्रुटि सीमा E से थोड़ी बड़ी आएगी।

स्व-जाँच σ = 13 है। अधिकतम 2 की त्रुटि सीमा वाले 95% अंतराल के लिए प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए?

उत्तर: 163. (1.96 · 13/2)² = 12.74² = 162.3, ऊपर पूर्णांकित करने पर 163। नीचे 162 पर पूर्णांकित करने से त्रुटि सीमा 2 से थोड़ी ऊपर आती है, और 13 में वर्ग करना भूल गए हैं।

4विधि चरण-दर-चरण

n, x̄, और σ या s लिखें।
z (σ ज्ञात) या df = n − 1 वाला t (केवल s ज्ञात) चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
मानक त्रुटि निकालें: σ/√n या s/√n।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक त्रुटि।
अंतराल: x̄ − E से x̄ + E तक। जो सीमा पूछी गई हो वही दें।

प्रतिदर्श आकार के प्रश्न के लिए: n = (zσ/E)², ऊपर पूर्णांकित।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

16 मदों के एक प्रतिदर्श का माध्य 40 और मानक विचलन s = 6 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल ज्ञात कीजिए।

z या t?

केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात है, σ नहीं। इसलिए df = n − 1 = 15 वाला t लें।

t(15) = 2.131 at 95%

मानक त्रुटि

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1.5

त्रुटि सीमा

E = 2.131 · 1.5 = 3.197

अंतराल

40 − 3.197 = 36.80, 40 + 3.197 = 43.20

उत्तर जाँचें

z = 1.96 के साथ त्रुटि सीमा 2.94 होती। t अंतराल थोड़ा चौड़ा है, जैसा σ अज्ञात होने पर होना चाहिए।

उत्तर

95% विश्वास्यता अंतराल [36.80, 43.20] है।

6सामान्य गलतियाँ

√n से भाग देना भूल जाना।
प्रतिदर्श छोटा और σ अज्ञात होने पर z का उपयोग करना।
t के लिए df = n − 1 की जगह df = n लेना।
95% अंतराल के लिए 90% वाला मान 1.645 लेना।
प्रतिदर्श आकार को ऊपर के बजाय नीचे पूर्णांकित करना।

स्व-जाँच n = 10 के एक प्रतिदर्श का मानक विचलन s = 5 है। σ अज्ञात है। 95% अंतराल के लिए आप कौन-सा क्रांतिक मान लेंगे?

t = 2.228 (df = 10)
t = 2.262 (df = 9)
z = 1.645
z = 1.96

उत्तर: t = 2.262 (df = 9). σ अज्ञात है, इसलिए df = n − 1 = 9 वाला t लें। z लेने पर s की अनिश्चितता की अनदेखी होती है, और df = 10 में एक घटाना भूल गए हैं।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: z अंतराल। σ ज्ञात है; निचली या ऊपरी सीमा ज्ञात करें।
मध्यम: t अंतराल। केवल s दिया गया है; n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t मान दिया गया है या सारणी से आता है।
कठिन: प्रतिदर्श आकार। दी गई त्रुटि सीमा के लिए सबसे छोटा n ज्ञात करें, और ऊपर पूर्णांकित करें।

एक त्वरित जाँच: प्रतिदर्श माध्य हमेशा अंतराल के ठीक बीच में होता है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

200 मापों के एक प्रतिदर्श का माध्य 174.5 है। समष्टि मानक विचलन 30 ज्ञात है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 200x̄ = 174.5σ = 3090%

ज्ञात करें: ऊपरी सीमा

संकेत दिखाएँ

σ ज्ञात है, इसलिए z क्रांतिक मान का उपयोग करें।
z = 1.645 (90%).
E = z·σ/√n।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·30/√200 = 3.49

अंतराल

x̄ ± E = 174.5 ± 3.49 → [171, 178]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 178

उदाहरण 2मध्यम

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 7.8 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 100 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 50E₁ = 7.8n₂ = 100

ज्ञात करें: E₂

संकेत दिखाएँ

E = z·σ/√n, और σ वही रहता है।
E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂)।
z₁ = 1.96, z₂ = 1.96.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(50/100) = 0.7071

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 7.8·0.7071 = 5.515

उत्तर

E₂ = 5.515

उदाहरण 3कठिन

21 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.2 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 20 के साथ χ² बंटन का 2.5% 9.591 से नीचे और 2.5% 34.17 से ऊपर है।

n = 21s = 1.2 µmχ² = 9.591, 34.17

ज्ञात करें: σ (µm)

संकेत दिखाएँ

प्रसामान्य समष्टि के लिए (n − 1)s²/σ², n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाले χ² बंटन का अनुसरण करता है।
σ² के लिए अंतराल: (n − 1)s²/34.17 से (n − 1)s²/9.591 तक। σ के लिए वर्गमूल लें।
(n − 1)s² = 28.8.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 20·1.2² = 28.8

σ² की सीमाएँ

28.8/34.17 = 0.8428

28.8/9.591 = 3.003

σ की सीमा

σ = √3.003 = 1.733 µm

उत्तर

σ = 1.733 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [0.9181, 1.733] µm।

प्रश्न और उत्तर

विश्वास्यता अंतराल क्या है?

विश्वास्यता अंतराल के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

विश्वास्यता अंतराल में आम गलतियाँ क्या हैं?

√n से भाग देना भूल जाना।
प्रतिदर्श छोटा और σ अज्ञात होने पर z का उपयोग करना।
प्रतिदर्श आकार को ऊपर के बजाय नीचे पूर्णांकित करना।

विश्वास्यता अंतराल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: z अंतराल
मध्यम: t अंतराल
कठिन: प्रतिदर्श आकार

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

प्रसामान्य बंटन

इसके बाद

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

कैलकुलेटर

विश्वास्यता अंतराल कैलकुलेटर प्रतिदर्श आकार कैलकुलेटर

इस विषय वाले कोर्स

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