परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: z सांख्यिकी मध्यम: t सांख्यिकी कठिन: विश्वास्यता अंतराल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: z सांख्यिकी, t सांख्यिकी, विश्वास्यता अंतराल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक आपूर्तिकर्ता दावा करता है कि एक केबल की माध्य तोड़ सामर्थ्य 50 kN है; आपको संदेह है कि यह अधिक है। मानक विचलन 8 kN ज्ञात है। आप 25 केबलों का प्रतिदर्श लेंगे और α = 0.05 पर H₀: μ = 50 kN बनाम H₁: μ > 50 kN का परीक्षण करेंगे। किस प्रतिदर्श माध्य x̄_c से ऊपर आप H₀ अस्वीकार करेंगे?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0.05

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानz सांख्यिकी
मध्यमt सांख्यिकी
कठिनविश्वास्यता अंतराल

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल के प्रश्न कैसे हल करें

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

सामान्य गलतियाँ

द्विपक्षीय परीक्षण के लिए एकपक्षीय क्रांतिक मान का उपयोग करना।
अस्वीकार न होने पर कहना कि H₀ सत्य सिद्ध हो गई।
मानक त्रुटि में √n भूल जाना।

मुख्य सूत्र

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल शुरू से सीखें

इससे पहले: विश्वास्यता अंतराल

1परीक्षण का विचार

एक मशीन को औसतन 500 mL की बोतलें भरनी चाहिए। बोतलों के एक प्रतिदर्श का माध्य 496 mL है। क्या मशीन गलत है, या यह केवल संयोग है?

एक परिकल्पना परीक्षण संख्याओं से इस प्रश्न का उत्तर देता है। आप दो कथनों से शुरू करते हैं:

शून्य परिकल्पना H₀: कुछ नहीं बदला है। यहाँ H₀: μ = 500।
वैकल्पिक परिकल्पना H₁: जिसका आपको संदेह है। यहाँ H₁: μ ≠ 500 (द्विपक्षीय), या μ < 500 यदि आपको केवल कम भरने की चिंता है (एकपक्षीय)।

आप मान लेते हैं कि H₀ सत्य है और पूछते हैं: यह प्रतिदर्श कितना असामान्य है? यदि वह बहुत असामान्य होगा, तो आप H₀ को अस्वीकार कर देते हैं।

स्व-जाँच एक आपूर्तिकर्ता दावा करता है कि उसके प्रतिरोधक औसतन 220 Ω के हैं। आप इस दावे का परीक्षण करना चाहते हैं। H₀ क्या है?

x̄ = 220 Ω
μ > 220 Ω
μ = 220 Ω
μ ≠ 220 Ω

उत्तर: μ = 220 Ω. H₀ वह दावा है जिसका परीक्षण हो रहा है, समष्टि माध्य μ के बारे में। μ ≠ 220 Ω वैकल्पिक H₁ है, और परिकल्पना कभी प्रतिदर्श माध्य x̄ के बारे में नहीं होती, जो आप पहले से जानते हैं।

2परीक्षण प्रतिदर्शज

परीक्षण प्रतिदर्शज मापता है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ के मान μ₀ से मानक त्रुटि की इकाइयों में कितनी दूर है।

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

जब समष्टि का मानक विचलन σ ज्ञात हो, तो z का उपयोग करें। जब केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात हो, तो t का उपयोग करें:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

0 के पास z या t का मान बताता है कि प्रतिदर्श H₀ से मेल खाता है। बड़ा धनात्मक या ऋणात्मक मान बताता है कि प्रतिदर्श μ₀ से दूर है।

स्व-जाँच H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 और x̄ = 118। z क्या है?

1
−0.25
−1
−4

उत्तर: −1. मानक त्रुटि 8/√16 = 2 है, इसलिए z = (118 − 120)/2 = −1। σ/√n की जगह σ = 8 से भाग देने पर −0.25 आता है। चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि x̄, μ₀ से नीचे है।

3निर्णय: क्रांतिक मान और p-मान

आँकड़े देखने से पहले सार्थकता स्तर α चुनें, आमतौर पर 0.05। यह वह जोखिम है जो आप सही H₀ को अस्वीकार करने का स्वीकार करते हैं।

α = 0.05 पर z परीक्षण के लिए:

द्विपक्षीय (H₁: μ ≠ μ₀): यदि |z| > 1.96 हो तो H₀ को अस्वीकार करें।
एकपक्षीय (H₁: μ > μ₀): यदि z > 1.645 हो तो H₀ को अस्वीकार करें। μ < μ₀ के लिए: यदि z < −1.645 हो तो अस्वीकार करें।

p-मान उस परिणाम की प्रायिकता है जो H₀ सत्य होने पर कम से कम इतना चरम हो। p < α होने पर H₀ को अस्वीकार करें।

H₀ को अस्वीकार न करने से वह सिद्ध नहीं होती। इसका अर्थ केवल इतना है कि आँकड़े उसके विरुद्ध पर्याप्त मज़बूत प्रमाण नहीं हैं।

परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल सहमत होते हैं: 5% पर द्विपक्षीय परीक्षण H₀ को ठीक तभी अस्वीकार करता है जब μ₀ 95% अंतराल x̄ ± 1.96 · σ/√n के बाहर हो।

स्व-जाँच α = 0.05 पर एक द्विपक्षीय z परीक्षण z = 1.8 देता है। आप क्या निष्कर्ष निकालेंगे?

H₀ को अस्वीकार करें
H₀ को अस्वीकार न करें
H₀ सत्य सिद्ध हो गई है
H₁ को अस्वीकार करें और H₀ को सिद्ध मानकर स्वीकार करें

उत्तर: H₀ को अस्वीकार न करें. |1.8|, 1.96 से छोटा है, इसलिए परिणाम सार्थक नहीं है और H₀ अस्वीकार नहीं होती। इससे H₀ सिद्ध नहीं होती; प्रमाण बस पर्याप्त मज़बूत नहीं है।

4विधि चरण-दर-चरण

H₀ और H₁ लिखें, और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
z (σ ज्ञात) या t (केवल s ज्ञात, df = n − 1) चुनें।
मानक त्रुटि σ/√n या s/√n निकालें।
परीक्षण प्रतिदर्शज (x̄ − μ₀) / मानक त्रुटि निकालें।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
निष्कर्ष शब्दों में, प्रश्न के संदर्भ में, लिखें।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक मशीन को औसतन 500 mL की बोतलें भरनी चाहिए। σ = 12 mL है। 36 बोतलों के एक प्रतिदर्श का माध्य 496 mL है। α = 0.05 पर H₁: μ ≠ 500 के विरुद्ध H₀: μ = 500 का परीक्षण कीजिए।

परिकल्पनाएँ

H₀: μ = 500 mL। H₁: μ ≠ 500 mL। यह द्विपक्षीय है, इसलिए क्रांतिक मान ±1.96 हैं।

मानक त्रुटि

σ ज्ञात है, इसलिए z का उपयोग करें।

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL

परीक्षण सांख्यिकी

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2

तुलना करें

|−2| = 2, 1.96 से बड़ा है, इसलिए z छायांकित अस्वीकरण क्षेत्र में है।

अंतराल से जाँचें

496 ± 1.96 · 2 = [492.08, 499.92]

मान 500 95% अंतराल के बाहर है, इसलिए अंतराल वही निर्णय देता है।

उत्तर

z = −2। 5% स्तर पर H₀ को अस्वीकार करें: मशीन का माध्य भराव 500 mL से भिन्न है।

6सामान्य गलतियाँ

द्विपक्षीय परीक्षण के लिए एकपक्षीय क्रांतिक मान (1.645) का उपयोग करना, या उलटा।
अस्वीकार न होने पर कहना कि H₀ सत्य सिद्ध हो गई।
मानक त्रुटि में √n भूल जाना।
x̄ − μ₀ को उलटा लिखना, जिससे z का चिह्न पलट जाता है।
छोटे प्रतिदर्श में केवल प्रतिदर्श s ज्ञात होने पर z का उपयोग करना।

स्व-जाँच α = 0.05 पर H₁: μ > μ₀ वाला एकपक्षीय परीक्षण z = 1.8 देता है। आप क्या निष्कर्ष निकालेंगे?

H₀ को अस्वीकार करें, क्योंकि 1.8 > 1.645
H₀ को अस्वीकार करें, क्योंकि z धनात्मक है
H₀ को अस्वीकार न करें, क्योंकि 1.8 < 1.96
H₀ को अस्वीकार न करें, क्योंकि 1.8 < 2.576

उत्तर: H₀ को अस्वीकार करें, क्योंकि 1.8 > 1.645. 5% पर एकपक्षीय परीक्षण पूरा 5% एक सिरे में रखता है, इसलिए क्रांतिक मान 1.645 है। 1.96 से तुलना करना गलती से द्विपक्षीय मान का उपयोग करना है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: z प्रतिदर्शज। σ ज्ञात है; z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) निकालें।
मध्यम: t प्रतिदर्शज। केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s दिया गया है; t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) निकालें।
कठिन: विश्वास्यता अंतराल। 95% या 99% पर x̄ ± z · σ/√n की निचली या ऊपरी सीमा ज्ञात करें।

एक त्वरित जाँच: यदि x̄, μ₀ से नीचे है, तो परीक्षण प्रतिदर्शज ऋणात्मक होना चाहिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक मशीन को बोतलों में औसतन 100 mL भरना चाहिए। मानक विचलन 4 mL ज्ञात है। 81 बोतलों के प्रतिदर्श का माध्य 99.6 mL है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी z ज्ञात करें।

μ₀ = 100 mLx̄ = 99.6 mLσ = 4 mLn = 81

ज्ञात करें: z

संकेत दिखाएँ

माध्य की मानक त्रुटि, मानक विचलन को √n से भाग देने पर मिलती है।
SE = 4/√81 = 0.4444.
फिर अंतर x̄ − μ₀ को मानक त्रुटि से भाग दें। चिह्न बनाए रखें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

परीक्षण सांख्यिकी

z = (99.6 − 100)/0.4444 = −0.9

उत्तर

z = −0.9

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

उदाहरण 2मध्यम

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 504.5 और प्रतिदर्श मानक विचलन 15 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 504.5s = 15n = 64

ज्ञात करें: t

संकेत दिखाएँ

माध्य की मानक त्रुटि, मानक विचलन को √n से भाग देने पर मिलती है।
SE = 15/√64 = 1.875.
फिर अंतर x̄ − μ₀ को मानक त्रुटि से भाग दें। चिह्न बनाए रखें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मानक त्रुटि

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

परीक्षण सांख्यिकी

t = (504.5 − 500)/1.875 = 2.4

उत्तर

t = 2.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

उदाहरण 3कठिन

64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 80 है। समष्टि मानक विचलन 20 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

ज्ञात करें: L

संकेत दिखाएँ

विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z*·σ/√n।
z* = 2.576 — स्तर 99%.
σ/√n = 2.5.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

त्रुटि सीमा

E = 2.576·20/√64 = 6.44

अंतराल सीमा

L = 80 − 6.44 = 73.56

उत्तर

L = 73.56

प्रश्न और उत्तर

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल क्या है?

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल में आम गलतियाँ क्या हैं?

द्विपक्षीय परीक्षण के लिए एकपक्षीय क्रांतिक मान का उपयोग करना।
अस्वीकार न होने पर कहना कि H₀ सत्य सिद्ध हो गई।
मानक त्रुटि में √n भूल जाना।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: z सांख्यिकी
मध्यम: t सांख्यिकी
कठिन: विश्वास्यता अंतराल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

विश्वास्यता अंतराल

इसके बाद

काई-वर्ग परीक्षण

कैलकुलेटर

t-परीक्षण कैलकुलेटर p-मान कैलकुलेटर एकतरफ़ा ANOVA कैलकुलेटर

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