रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: ढाल और अंतःखंड, सहसंबंध गुणांक, पूर्वानुमान।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
xy242352445555660760xy2465060

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। अंतःखंड a ज्ञात कीजिए।

n = 6
अगला प्रश्न →
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानढाल और अंतःखंड
  2. मध्यमसहसंबंध गुणांक
  3. कठिनपूर्वानुमान

मुख्य सूत्र

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध शुरू से सीखें

इससे पहले: वर्णनात्मक सांख्यिकी

1समाश्रयण क्या है

आप हर मामले के लिए दो राशियाँ मापते हैं, उदाहरण के लिए x = पढ़ाई के घंटे और y = परीक्षा के अंक। हर जोड़ी प्रकीर्ण आलेख में एक बिंदु है।

xy123456246810

यदि बिंदु लगभग एक सीधी रेखा के साथ पड़ें, तो आप उन्हें एक रेखा से बता सकते हैं और उससे x के आधार पर y का पूर्वानुमान कर सकते हैं। यह रैखिक समाश्रयण है।

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y हैट”) y का पूर्वानुमानित मान है।
  • b ढाल है: x में 1 की वृद्धि पर ŷ कितना बदलता है।
  • a अंतःखंड है: x = 0 पर ŷ का मान।
स्व-जाँच एक समाश्रयण रेखा ŷ = 40 + 5x है, जिसमें x पढ़ाई के घंटे हैं और ŷ पूर्वानुमानित अंक। 5 का क्या अर्थ है?
  1. अंक घंटों का 5 गुना है
  2. जो विद्यार्थी पढ़ाई नहीं करता उसे 5 अंक मिलते हैं
  3. रेखा (5, 40) से होकर जाती है
  4. हर अतिरिक्त घंटा लगभग 5 अंक जोड़ता है

उत्तर: हर अतिरिक्त घंटा लगभग 5 अंक जोड़ता है. ढाल b, x की प्रति इकाई ŷ में परिवर्तन है। x = 0 पर पूर्वानुमानित अंक अंतःखंड a = 40 है, 5 नहीं।

2न्यूनतम वर्ग रेखा

कोई रेखा हर बिंदु से होकर नहीं जाती। किसी बिंदु से रेखा तक की ऊर्ध्वाधर दूरी उसका अवशिष्ट है, e = y − ŷ।

न्यूनतम वर्ग रेखा वह रेखा है जिसमें अवशिष्टों के वर्गों का योग सबसे छोटा होता है। उसका ढाल और अंतःखंड माध्यों से विचलनों के योगों से मिलते हैं:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

रेखा हमेशा माध्यों के बिंदु (x̄, ȳ) से होकर जाती है। इसीलिए a = ȳ − b · x̄।

यदि केवल योग दिए हों, तो शॉर्टकट Sxx = Σx² − (Σx)²/n और Sxy = Σxy − ΣxΣy/n का उपयोग करें।

स्व-जाँच एक आँकड़ा-समूह में x̄ = 4, ȳ = 10 और b = 2 है। अंतःखंड a क्या है?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

उत्तर: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2। घटाने की जगह जोड़ने पर 18 आता है, और 10 स्वयं ȳ है, जिसमें ढाल भूल गए हैं।

3सहसंबंध गुणांक

पियर्सन का सहसंबंध गुणांक r मापता है कि बिंदु सीधी रेखा के कितने निकट हैं। यह हमेशा −1 और 1 के बीच होता है।

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r 1 के निकट: प्रबल बढ़ती प्रवृत्ति।
  • r −1 के निकट: प्रबल घटती प्रवृत्ति, जैसे कार की क़ीमत बनाम कार की आयु।
  • r 0 के निकट: कोई सीधी-रेखा संबंध नहीं।

r का चिह्न ढाल b के चिह्न जैसा ही होता है। उसका वर्ग r² y की उस भिन्नता का अंश है जिसे रेखा समझाती है।

प्रबल सहसंबंध यह सिद्ध नहीं करता कि x, y का कारण है। दोनों किसी तीसरी राशि पर निर्भर हो सकते हैं।

स्व-जाँच कार की आयु x और क़ीमत y के लिए r = −0.95 है। यह आपको क्या बताता है?
  1. एक दुर्बल संबंध
  2. एक प्रबल घटता सीधी-रेखा संबंध
  3. गणना ग़लत है, क्योंकि r ऋणात्मक है
  4. पुरानी कारें अधिक महँगी होती हैं

उत्तर: एक प्रबल घटता सीधी-रेखा संबंध. −1 के पास r का अर्थ है कि बिंदु एक घटती रेखा के निकट हैं: आयु बढ़ने पर क़ीमत गिरती है। ऋणात्मक r पूरी तरह वैध है; केवल −1 से 1 के बाहर के मान असंभव हैं।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. माध्य x̄ और ȳ निकालें।
  2. स्तंभ x − x̄, y − ȳ, उनका गुणनफल और (x − x̄)² वाली सारणी बनाएँ। यदि r पूछा गया हो तो (y − ȳ)² जोड़ें।
  3. स्तंभ जोड़कर Sxy, Sxx और Syy प्राप्त करें।
  4. ढाल b = Sxy/Sxx, फिर अंतःखंड a = ȳ − b · x̄।
  5. सहसंबंध r = Sxy/√(SxxSyy)।
  6. पूर्वानुमान: x को ŷ = a + bx में रखें। अवशिष्ट: e = y − ŷ।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

पाँच जोड़ियाँ मापी गई हैं: x = 1, 2, 3, 4, 5 और y = 3, 5, 6, 8, 8। न्यूनतम वर्ग रेखा ŷ = a + b·x ज्ञात कीजिए और x = 6 के लिए ŷ का पूर्वानुमान कीजिए।

1

माध्य

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

विचलन

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2।

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2।

3

योग

जोड़ियों का गुणा करें: 6, 1, 0, 2, 4। x-विचलनों का वर्ग करें: 4, 1, 0, 1, 4।

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

ढाल और अंतःखंड

b = 13 / 10 = 1.3
a = 6 − 1.3 · 3 = 6 − 3.9 = 2.1
xy123456246810ŷ = 2.1 + 1.3x

बिंदीदार रेखाएँ अवशिष्ट हैं। वे छोटी हैं, इसलिए रेखा अच्छी तरह बैठती है।

5

पूर्वानुमान करें

ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 2.1 + 7.8 = 9.9

जाँच: रेखा माध्यों के बिंदु से होकर जाती है, 2.1 + 1.3 · 3 = 6 = ȳ।

उत्तर

ŷ = 2.1 + 1.3x, और x = 6 के लिए पूर्वानुमान ŷ = 9.9 है।

6सामान्य गलतियाँ

  • अवशिष्ट को y − ŷ की जगह ŷ − y निकालना।
  • ढाल के लिए Sxx की जगह Syy से भाग देना।
  • a और b को उलझा देना: ढाल x को गुणा करता है।
  • यह भूल जाना कि r का चिह्न ढाल के चिह्न जैसा ही होता है।
  • आँकड़ों के परास से बहुत बाहर पूर्वानुमान करना। वहाँ सीधी रेखा लागू न भी हो सकती है।
स्व-जाँच रेखा ŷ = 2.1 + 1.3x है। एक नया बिंदु (6, 8) मापा जाता है। उसका अवशिष्ट क्या है?
  1. 1.9
  2. 17.9
  3. 9.9
  4. −1.9

उत्तर: −1.9. ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 9.9, इसलिए e = y − ŷ = 8 − 9.9 = −1.9। बिंदु रेखा के नीचे है। 1.9 ŷ − y निकालता है, जो उलटा है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: ढाल और अंतःखंड। सारणी में पाँच जोड़ियाँ; न्यूनतम वर्ग रेखा का b या a ज्ञात करें।
  • मध्यम: सहसंबंध गुणांक r, आँकड़ों से या दिए गए योगों से।
  • कठिन: पूर्वानुमान। नए x के लिए ŷ का पूर्वानुमान करने या नए प्रेक्षण का अवशिष्ट ज्ञात करने के लिए रेखा का उपयोग करें।

एक त्वरित जाँच: b और r का चिह्न प्रकीर्ण आलेख की दिशा से मेल खाना चाहिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
xy2441262082210301235xy510102030

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। अंतःखंड a ज्ञात कीजिए।

n = 6

ज्ञात करें: a

संकेत दिखाएँ
  1. पहले ढाल b = Sxy/Sxx ज्ञात करें।
  2. x̄ = 7, ȳ = 20.5.
  3. रेखा (x̄, ȳ) से होकर जाती है, इसलिए a = ȳ − b·x̄।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

ढाल

b = 211/70 = 3.014

अंतःखंड

a = 20.5 − 3.014·7 = −0.6

उत्तर

a = −0.6
उदाहरण 2मध्यम
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

ज्ञात करें: r

संकेत दिखाएँ
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

सहसंबंध गुणांक

r = 403/√(70·2443) = 0.9746

उत्तर

r = 0.9746
उदाहरण 3कठिन
xy123221318412513xy241520x = 1.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 1.5

ज्ञात करें: ŷ

संकेत दिखाएँ
  1. पहले न्यूनतम-वर्ग रेखा ज्ञात करें: b = Sxy/Sxx और a = ȳ − b·x̄।
  2. x̄ = 3, ȳ = 17.4.
  3. ŷ = a + b·1.5.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

समाश्रयण रेखा

b = −29/10 = −2.9
a = 17.4 − (−2.9)·3 = 26.1
ŷ = 26.1 − 2.9·x

पूर्वानुमान

ŷ = 26.1 + (−2.9)·1.5 = 21.75

उत्तर

ŷ = 21.75

प्रश्न और उत्तर

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध क्या है?

आप हर मामले के लिए दो राशियाँ मापते हैं, उदाहरण के लिए x = पढ़ाई के घंटे और y = परीक्षा के अंक। हर जोड़ी प्रकीर्ण आलेख में एक बिंदु है।

यदि बिंदु लगभग एक सीधी रेखा के साथ पड़ें, तो आप उन्हें एक रेखा से बता सकते हैं और उससे x के आधार पर y का पूर्वानुमान कर सकते हैं। यह रैखिक समाश्रयण है।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है: रेखा (x̄, ȳ) से होकर जाती है।
  • ȳ, x = x̄ पर रेखा की ऊँचाई है, x = 0 पर नहीं। a = ȳ − b·x̄ का उपयोग करें।
  • सहप्रसरण और दोनों मानक विचलनों में एक ही भाजक (n या n − 1) का उपयोग करें। Sxy, Sxx और Syy के साथ भाजक कट जाते हैं।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: ढाल और अंतःखंड
  • मध्यम: सहसंबंध गुणांक
  • कठिन: पूर्वानुमान

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

वर्णनात्मक सांख्यिकी

कैलकुलेटर

रैखिक समाश्रयण कैलकुलेटरसहसंबंध गुणांक कैलकुलेटर (पियर्सन और स्पीयरमैन)

इस विषय वाले कोर्स

मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकीसांख्यिकी का परिचयसांख्यिकी 2: सांख्यिकीय अनुमानAP Statistics अभ्यास प्रश्नCFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास

गणित और सांख्यिकी में और विषय

सीमाएँअवकलजइष्टतमीकरणसमाकलअनुक्रम और श्रेणियाँबहुचर कलनअवकल समीकरणसम्मिश्र संख्याएँसंख्यात्मक विधियाँआव्यूह और सारणिकसदिश: अदिश और सदिश गुणनफलप्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँसमुच्चय, संबंध और फलनग्राफ़ सिद्धांतसंख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितप्रायिकतावर्णनात्मक सांख्यिकीप्रसामान्य बंटनविश्वास्यता अंतरालपरिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकाई-वर्ग परीक्षण

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध वर्कशीट
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।