प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: सत्यमान सारणियाँ, तुल्यताएँ और उपपत्ति विधियाँ, परिमाणक और तर्क।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
सत्यमान सारणी पूरी करें (1 = सत्य, 0 = असत्य)। कितनी पंक्तियों N में (p → r) ↔ (r ∨ q) सत्य है?
प्रस्ताव ऐसा कथन है जो सत्य या असत्य में से कोई एक होता है, जैसे “7 अभाज्य है”। हम इसे अक्षर p या q से लिखते हैं और इसका सत्यमान 1 (सत्य) या 0 (असत्य) लिखते हैं।
संयोजक छोटे सूत्रों से बड़े सूत्र बनाते हैं:
¬p (p नहीं) मान उलट देता है।
p ∧ q (और) केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों।
p ∨ q (या) केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों। यह समावेशी “या” है: दोनों सत्य हो सकते हैं।
p → q (यदि p तो q) केवल तब 0 होता है जब p = 1 और q = 0।
p ↔ q (यदि और केवल यदि) तब 1 होता है जब p और q का मान समान हो।
निहितार्थ कई विद्यार्थियों को चौंकाता है: जब p असत्य हो, तो q कुछ भी हो, p → q सत्य होता है। “यदि बारिश होगी तो मैं छाता लूँगा” का वादा केवल बारिश वाले दिन छाते के बिना टूटता है।
स्व-जाँच p = 0 और q = 1। p → q का मान क्या है?
0
1
अपरिभाषित
यह संदर्भ पर निर्भर करता है
उत्तर: 1. निहितार्थ केवल तब असत्य होता है जब शर्त पूरी हो और निष्कर्ष विफल हो (p = 1, q = 0)। p = 0 होने पर q कुछ भी हो, वह सत्य होता है।
2सत्यमान सारणियाँ
सत्यमान सारणी चरों के सत्यमानों के हर संयोजन को सूचीबद्ध करती है। n अलग-अलग चरों के साथ 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं: दो चरों के लिए 4, तीन के लिए 8, चार के लिए 16। जो चर दो बार आता है, वह फिर भी एक बार गिना जाता है।
भीतर से बाहर की ओर काम करें। हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें, ताकि हर नए स्तंभ में आपके पास पहले से मौजूद स्तंभों पर केवल एक संयोजक लगाना पड़े।
चरों को सूचीबद्ध करें और सभी 2ⁿ संयोजन लिखें, सभी 1 से शुरू करके।
हर उप-सूत्र के लिए एक स्तंभ जोड़ें, सबसे भीतरी से शुरू करके।
हर स्तंभ को उसके मुख्य संयोजक के नियम से भरें।
उत्तर अंतिम स्तंभ से पढ़ें: 1 गिनें, या माँगी गई पंक्ति खोजें।
स्व-जाँच (p ∧ q) → (r ∨ p) की सत्यमान सारणी में कितनी पंक्तियाँ हैं?
16
4
6
8
उत्तर: 8. सूत्र में तीन अलग चर p, q और r हैं, इसलिए 2³ = 8 पंक्तियाँ। p दो बार आता है पर एक ही चर है; 16 तो चार आवृत्तियों के लिए 2⁴ होता।
3एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
(p → q) ∧ ¬q की सत्यमान सारणी की कितनी पंक्तियों में यह सत्य है?
1
चर और पंक्तियाँ
दो चर p और q, इसलिए 4 पंक्तियाँ: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)।
2
स्तंभ p → q
यह केवल पंक्ति p = 1, q = 0 में 0 है:
p → q: 1, 0, 1, 1
3
स्तंभ ¬q
¬q: 0, 1, 0, 1
4
संयोजन
दोनों स्तंभ 1 होने चाहिए। ऐसा केवल अंतिम पंक्ति में होता है, p = 0 और q = 0।
(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
उत्तर
सूत्र 1 पंक्ति में सत्य है, पंक्ति p = 0, q = 0। इसीलिए p → q और ¬q साथ मिलकर ¬p देते हैं (मोडस टोलेंस)।
4तुल्यताएँ और उपपत्ति विधियाँ
दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब उनके सत्यमान सारणी स्तंभ समान हों। पुनरुक्ति (टॉटोलॉजी) हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन (कंटिन्जेंसी) इनमें से कुछ नहीं होता।
सबसे अधिक उपयोग होने वाले नियम:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
ये नियम उपपत्ति विधियों का आधार हैं। p → q की प्रतिधनात्मक उपपत्ति इसके बजाय ¬q → ¬p सिद्ध करती है, जो तुल्य है। विरोधाभास द्वारा उपपत्ति p ∧ ¬q मान लेती है, जो निहितार्थ के विफल होने का एकमात्र तरीका है, और कोई असंभव परिणाम निकालती है।
ध्यान दें: विलोम q → p और व्युत्क्रम ¬p → ¬q, p → q के तुल्य नहीं हैं।
स्व-जाँच ¬(p ∧ q) के तुल्य कौन-सा सूत्र है?
p ∨ q
¬p ∧ q
¬p ∧ ¬q
¬p ∨ ¬q
उत्तर: ¬p ∨ ¬q. डी मॉर्गन के अनुसार ∧, ∨ बन जाता है और दोनों भागों का निषेध होता है। ¬p ∧ ¬q, p ∨ q का निषेध है, जो अलग कथन है: यह तब असत्य है जब p और q में से ठीक एक सत्य हो, जबकि ¬(p ∧ q) तब सत्य है।
5परिमाणक और वैध तर्क
किसी प्रांत पर चरों के साथ, ∀x P(x) कहता है “P हर x के लिए सत्य है” और ∃x P(x) कहता है “P कम से कम एक x के लिए सत्य है”। निषेध परिमाणक को बदल देता है:
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
निषेध को एक-एक चरण में भीतर ले जाएँ; भीतर प्रस्ताविक नियमों का उपयोग करें। उदाहरण के लिए ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)): “हर P, Q नहीं है” का अर्थ है “कोई P, Q नहीं है”।
कोई तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। विशिष्ट वैध रूप हैं मोडस पोनेंस (p → q, p, अतः q), मोडस टोलेंस (p → q, ¬q, अतः ¬p) और काल्पनिक न्यायवाक्य (p → q, q → r, अतः p → r)।
जिस पंक्ति में सभी आधार-वाक्य 1 हों और निष्कर्ष 0, वह प्रति-उदाहरण है। परिणाम की पुष्टि (p → q, q, अतः p) अवैध है: पंक्ति p = 0, q = 1 एक प्रति-उदाहरण है।
स्व-जाँच “हर विद्यार्थी उत्तीर्ण हुआ”, ∀x P(x), का निषेध क्या है?
किसी एक निश्चित विद्यार्थी x के लिए ¬P(x)
∀x ¬P(x): कोई भी विद्यार्थी उत्तीर्ण नहीं हुआ
∃x P(x): कोई विद्यार्थी उत्तीर्ण हुआ
∃x ¬P(x): कोई विद्यार्थी उत्तीर्ण नहीं हुआ
उत्तर: ∃x ¬P(x): कोई विद्यार्थी उत्तीर्ण नहीं हुआ. एक अनुत्तीर्ण विद्यार्थी “हर विद्यार्थी उत्तीर्ण हुआ” को असत्य बनाने के लिए काफ़ी है। “कोई भी विद्यार्थी उत्तीर्ण नहीं हुआ” निषेध से कहीं अधिक प्रबल कथन है।
6सामान्य गलतियाँ
जब p असत्य हो तब p → q को असत्य मानना। यह केवल तब असत्य है जब p = 1 और q = 0।
पंक्तियों की संख्या निकालते समय दोहराए गए चर को दो बार गिनना।
प्रतिधनात्मक ¬q → ¬p को विलोम q → p या व्युत्क्रम ¬p → ¬q समझ लेना।
∀x P(x) का निषेध ∀x ¬P(x) लिखना: परिमाणक ∃ में बदलना चाहिए।
¬(p ∧ q) को ¬p ∧ ¬q लिखना: डी मॉर्गन संयोजक भी बदलता है।
स्व-जाँच “यदि n² सम है, तो n सम है” का प्रतिधनात्मक कथन कौन-सा है?
n² सम है और n विषम है
यदि n विषम है, तो n² विषम है
यदि n सम है, तो n² सम है
यदि n² विषम है, तो n विषम है
उत्तर: यदि n विषम है, तो n² विषम है. दोनों भागों की अदला-बदली करें और दोनों का निषेध करें: not (n सम) → not (n² सम)। “यदि n सम है, तो n² सम है” विलोम है; अंतिम विकल्प वह है जो विरोधाभास द्वारा उपपत्ति मानती है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: सत्यमान सारणियाँ। आप पंक्तियों की संख्या निकालते हैं, उन पंक्तियों को गिनते हैं जिनमें सूत्र सत्य है, या सूत्र को सत्य या असत्य बनाने वाली एक पंक्ति पर क्लिक करते हैं।
मध्यम: तुल्यताएँ और उपपत्ति विधियाँ। आप तय करते हैं कि सूत्र पुनरुक्ति, विरोधोक्ति या आपातिक कथन है, तुल्य सूत्र चुनते हैं, या प्रतिधनात्मक अथवा विरोधाभास द्वारा उपपत्ति में सिद्ध किया जाने वाला कथन चुनते हैं।
कठिन: परिमाणक और तर्क। आप परिमाणक वाले कथनों का निषेध करते हैं, आधार-वाक्यों से निकलने वाला निष्कर्ष चुनते हैं, अवैध तर्क की प्रति-उदाहरण पंक्ति पर क्लिक करते हैं, या चार-चर सारणी की सत्य पंक्तियाँ गिनते हैं।
सत्यमान सारणी की ठीक एक पंक्ति ¬(p ∨ q) → q को असत्य बनाती है। उस पंक्ति पर क्लिक करें।
¬(p ∨ q) → q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
संकेत दिखाएँ
a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0। ¬a मान उलट देता है। a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों।
पहले मुख्य संयोजक निकालें: पूरे सूत्र के 0 होने के लिए उसके दोनों पक्ष क्या होने चाहिए?
हर भाग को अपना स्तंभ दें: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q।
उत्तर और व्याख्या दिखाएँ
सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।
कौन-सा सूत्र (b ∧ c) → a के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।
(b ∧ c) → a
1(b → a) ∧ (c → a)
2b → (c → a)
3b ∧ (c → a)
4(b → c) → a
संकेत दिखाएँ
तुल्य सूत्र सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में सहमत होते हैं। एक पंक्ति जहाँ वे भिन्न हों, किसी विकल्प को बाहर कर देती है।
ऐसी पंक्ति आज़माएँ जो (b ∧ c) → a को 0 बनाए और जाँचें कि वहाँ कौन-से विकल्प भी 0 हैं।
निर्यात: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)। दोनों केवल तब 0 होते हैं जब a = 1, b = 1 और c = 0।
उत्तर और व्याख्या दिखाएँ
तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।
नियम
निर्यात: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)। दोनों केवल तब 0 होते हैं जब a = 1, b = 1 और c = 0।
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)
सत्यमान सारणी से जाँच
a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0
उत्तर
b → (c → a)
पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।
उदाहरण 3कठिन
आधार-वाक्य (q ∧ p) → r; q; ¬r दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।
(q ∧ p) → rq¬r
1p
2p ∧ ¬r
3¬p
4r
संकेत दिखाएँ
निष्कर्ष तब निकलता है जब वह उन सभी पंक्तियों में 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों।
वे पंक्तियाँ खोजें जो सभी आधार-वाक्यों को 1 बनाती हैं, फिर उन पंक्तियों में हर विकल्प की जाँच करें।
यह एक मानक नियम है: संयोजन के साथ मोडस टोलेंस।
उत्तर और व्याख्या दिखाएँ
परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।
वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं
p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0
निष्कर्ष
¬p (संयोजन के साथ मोडस टोलेंस)
उत्तर
¬p
प्रश्न और उत्तर
प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ क्या है?
संयोजक छोटे सूत्रों से बड़े सूत्र बनाते हैं:
निहितार्थ कई विद्यार्थियों को चौंकाता है: जब p असत्य हो, तो q कुछ भी हो, p → q सत्य होता है। “यदि बारिश होगी तो मैं छाता लूँगा” का वादा केवल बारिश वाले दिन छाते के बिना टूटता है।
प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।
प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ में आम गलतियाँ क्या हैं?
जब p असत्य हो तब p → q को असत्य मान लेना।
पंक्तियों की संख्या निकालते समय दोहराए गए चर को दो बार गिनना।
प्रतिधनात्मक ¬q → ¬p को विलोम q → p समझ लेना।
∀x P(x) का निषेध ∃x ¬P(x) की जगह ∀x ¬P(x) लिख देना।
∧ और ∨ को बदले बिना डी मॉर्गन लगाना।
प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: सत्यमान सारणियाँ
मध्यम: तुल्यताएँ और उपपत्ति विधियाँ
कठिन: परिमाणक और तर्क
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।