अनुक्रम और श्रेणियाँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: अनुक्रम और श्रेणियाँ में आम गलतियाँ क्या हैं?

aₙ = a₁ + (n − 1)d या a₁rⁿ⁻¹ में n − 1 की जगह n का उपयोग करना। |r| ≥ 1 होने पर या गलत पहले पद के साथ अनंत-योग सूत्र का उपयोग करना। केवल इसलिए अभिसरण का निष्कर्ष निकालना कि पद 0 की ओर जाते हैं। अनुपात-परीक्षण की सीमा को उलटना: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, उसका व्युत्क्रम नहीं। टेलर बहुपद में क्रमगुणन या एकांतर चिह्न भूल जाना।

Q: अनुक्रम और श्रेणियाँ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: समांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ मध्यम: अभिसरण और घात श्रेणियाँ कठिन: टेलर और मैकलॉरिन बहुपद हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त अनुक्रम और श्रेणियाँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: समांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ, अभिसरण और घात श्रेणियाँ, टेलर और मैकलॉरिन बहुपद।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

गुणोत्तर अनुक्रम 5, 7.5, 11.25, … के पहले 8 पदों का योग S₈ ज्ञात करें।

a₁ = 5r = 1.5n = 8

अगला प्रश्न →

अनुक्रम और श्रेणियाँ का मुफ़्त अभ्यास करें अभी अनुक्रम और श्रेणियाँ का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानसमांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ
मध्यमअभिसरण और घात श्रेणियाँ
कठिनटेलर और मैकलॉरिन बहुपद

अनुक्रम और श्रेणियाँ के प्रश्न कैसे हल करें

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

सामान्य गलतियाँ

aₙ = a₁ + (n − 1)d या a₁rⁿ⁻¹ में n − 1 की जगह n का उपयोग करना।
|r| ≥ 1 होने पर या गलत पहले पद के साथ अनंत-योग सूत्र का उपयोग करना।
केवल इसलिए अभिसरण का निष्कर्ष निकालना कि पद 0 की ओर जाते हैं।
अनुपात-परीक्षण की सीमा को उलटना: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, उसका व्युत्क्रम नहीं।
टेलर बहुपद में क्रमगुणन या एकांतर चिह्न भूल जाना।

मुख्य सूत्र

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

अनुक्रम और श्रेणियाँ शुरू से सीखें

इससे पहले: सीमाएँ, अवकलज

1समांतर और गुणोत्तर अनुक्रम

अनुक्रम संख्याओं की सूची a₁, a₂, a₃, … है और श्रेणी उनका योग। हर परीक्षा में दो प्रकार बार-बार आते हैं।

समांतर अनुक्रम हर चरण पर समान अंतर d जोड़ता है: 3, 7, 11, 15, … का d = 4 है।

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

3, 7, 11, … के लिए: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 और S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820। n − 1 पर ध्यान दें: पहले से 20वें पद तक केवल 19 चरण हैं।

गुणोत्तर अनुक्रम हर चरण पर समान अनुपात r से गुणा करता है: 2, 6, 18, … का r = 3 है।

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)

स्व-जाँच 5, 8, 11, 14, … का 10वाँ पद क्या है?

उत्तर: 32. d = 3, इसलिए a₁₀ = 5 + 9·3 = 32। 9·3 की जगह 10·3 उपयोग करने पर 35 मिलता है।

2अनंत गुणोत्तर श्रेणी

2 + 1 + 0.5 + 0.25 + … के पद जोड़ते जाएँ और योग 4 की ओर बढ़ता है, पर उसे कभी पार नहीं करता।

जब |r| < 1 हो, तो Sₙ में पद rⁿ घटकर 0 हो जाता है, और अनंत योग मौजूद होता है:

S = a₁/(1 − r), केवल |r| < 1 के लिए

यहाँ a₁ योग का पहला पद है। Σ_k=2^∞ 8·(1/2)ᵏ के लिए पहला पद 8·(1/2)² = 2 है, इसलिए S = 2/(1 − 1/2) = 4।

जब |r| ≥ 1 हो, तो पद घटते नहीं और श्रेणी का कोई योग नहीं होता: वह अपसरित होती है।

स्व-जाँच Σ_k=0^∞ 3·(1/4)ᵏ क्या है?

उत्तर: 4. पहला पद (k = 0) 3 है और r = 1/4, इसलिए S = 3/(1 − 1/4) = 4। हर में 1 + r उपयोग करने पर 2.4 मिलता है।

3क्या श्रेणी अभिसरित होती है?

अधिकांश श्रेणियों के योग का कोई सरल सूत्र नहीं होता, पर आप फिर भी तय कर सकते हैं कि योग परिमित है या नहीं। परीक्षणों को इसी क्रम में उपयोग करें:

n-वाँ पद परीक्षण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते, तो श्रेणी अपसरित होती है। Σ k/(k + 1) अपसरित होती है क्योंकि उसके पद 1 की ओर जाते हैं।
मानक श्रेणियाँ: Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है (इसलिए Σ1/k, हरात्मक श्रेणी, अपसरित है)। Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए अभिसरित होती है।
तुलना: 1/(k² + 3), 1/k² से छोटा है, इसलिए Σ1/(k² + 3) भी अभिसरित होती है।
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कोई उत्तर नहीं। इसे क्रमगुणों और k-वीं घातों के लिए उपयोग करें।
एकांतर श्रेणी: Σ(−1)ᵏ/k अभिसरित होती है, क्योंकि पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं और वे 0 की ओर घटते हैं।

उदाहरण: Σ k/2ᵏ के लिए अनुपात ((k + 1)/k)·(1/2) है, जो L = 1/2 < 1 की ओर जाता है, इसलिए यह अभिसरित होती है।

स्व-जाँच इनमें से कौन-सी श्रेणी अपसरित होती है?

Σ (2/3)ᵏ
Σ 1/k²
Σ 1/√k
Σ 3ᵏ/k!

उत्तर: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k^1/2, p = 1/2 ≤ 1 वाली p-श्रेणी है, इसलिए अपसरित होती है। 1/k² में p = 2 है, (2/3)ᵏ r < 1 वाली गुणोत्तर श्रेणी है, और 3ᵏ/k! के लिए अनुपात परीक्षण L = 0 देता है।

4घात श्रेणी और अभिसरण त्रिज्या

घात श्रेणी Σ c_k(x − x₀)ᵏ अंतहीन बहुपद है। यह केंद्र x₀ के पर्याप्त निकट x के लिए अभिसरित होती है।

पूरे पद पर अनुपात परीक्षण अभिसरण त्रिज्या R देता है: श्रेणी |x − x₀| < R के लिए अभिसरित और |x − x₀| > R के लिए अपसरित होती है।

R = lim |c_k/c_k+1|

उदाहरण: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) के लिए c_k/c_k+1 = 3(k + 1)/k है, जो 3 की ओर जाता है। अतः R = 3 और श्रेणी −3 < x < 3 के लिए अभिसरित होती है।

दोनों अंत बिंदुओं पर परीक्षण कोई उत्तर नहीं देता; यदि प्रश्न पूरा अंतराल माँगे तो उन्हें अलग से जाँचें।

5टेलर और मैकलॉरिन बहुपद

बिंदु a के निकट सुचारु फलन बहुपद जैसा दिखता है। घात n का टेलर बहुपद a पर मान और पहले n अवकलजों से मेल खाता है:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

a = 0 के लिए इसे मैकलॉरिन बहुपद कहते हैं। इन श्रेणियों को कंठस्थ करें:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …

जितने अधिक पद लेंगे, बहुपद उतनी देर तक फलन के निकट रहेगा।

हल किया गया उदाहरण

घात 3 के मैकलॉरिन बहुपद से e^0.5 का सन्निकटन करें और त्रुटि की सीमा निकालें।

बहुपद लिखें

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6

x = 0.5 रखें

P₃(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 = 1.645833

लाग्रांज त्रुटि सीमा

त्रुटि अधिकतम M·|x|⁴/4! है, जहाँ M, 0 और 0.5 के बीच चौथे अवकलज eᵗ का सबसे बड़ा मान है: M = e^0.5 ≈ 1.6487।

|R₃| ≤ 1.6487·0.5⁴/24 = 0.0043

तुलना करें

कैलकुलेटर e^0.5 = 1.648721 देता है, इसलिए वास्तविक त्रुटि 0.0029 है, जो सीमा के भीतर है।

उत्तर

e^0.5 ≈ 1.6458, अधिकतम 0.0043 की त्रुटि के साथ।

6सामान्य गलतियाँ और परीक्षा प्रश्न

n-वें पद के लिए n − 1 की जगह n चरणों का उपयोग करना।
जब योग k = 0 से शुरू न हो तब गलत पहले पद के साथ a/(1 − r) लिखना।
इस आधार पर निष्कर्ष निकालना कि श्रेणी अभिसरित होती है क्योंकि उसके पद 0 की ओर जाते हैं। Σ1/k प्रति-उदाहरण है।
टेलर बहुपद में क्रमगुणन भूल जाना, या sin और cos के ऋण चिह्न भूल जाना।
त्रुटि सीमा में |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! की जगह |x|ⁿ/n! का उपयोग करना।

आसान: समांतर और गुणोत्तर अनुक्रमों के योग। मध्यम: अभिसरण तय करना, अनुपात परीक्षण और अभिसरण त्रिज्या। कठिन: टेलर बहुपद, उनके गुणांक और त्रुटि सीमाएँ।

स्व-जाँच sin x की मैकलॉरिन श्रेणी में x³ का गुणांक क्या है?

1/3
1/6
−1/3
−1/6

उत्तर: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, और 3! = 6, इसलिए गुणांक −1/6 है। ऋण चिह्न भूल जाने पर 1/6 मिलता है।

ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

गुणोत्तर अनुक्रम aₙ = 5·0.85ⁿ⁻¹ घटता है। पहला सूचकांक n ज्ञात करें जिसके लिए aₙ < 0.2।

a₁ = 5r = 0.85ε = 0.2

ज्ञात करें: n

संकेत दिखाएँ

5·0.85ⁿ⁻¹ < 0.2 को लघुगणकों से हल करें।
ln 0.85 ऋणात्मक है: उससे भाग देने पर असमिका उलट जाती है।
n − 1 > ln(0.2/5)/ln 0.85 = 19.81

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

समांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ: समांतर अनुक्रम हर चरण पर समान अंतर d जोड़ता है, aₙ = a₁ + (n − 1)d, और उसका योग Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 है। गुणोत्तर अनुक्रम हर बार समान अनुपात r से गुणा करता है, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, जहाँ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)। जब |r| < 1 हो, तो पद इतनी तेज़ी से घटते हैं कि अनंत योग मौजूद होता है: S = a₁/(1 − r), जहाँ a₁ योग का पहला पद है।

असमिका

5·0.85ⁿ⁻¹ < 0.2 → 0.85ⁿ⁻¹ < 0.04

लघुगणक

(n − 1)·ln 0.85 < ln 0.04 → n − 1 > 19.81

n = 21

जाँच

a₂₀ = 0.227997 ≥ 0.2

a₂₁ = 0.193798 < 0.2

उत्तर

n = 21

उदाहरण 2मध्यम

योग S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)) ज्ञात करें।

a_k = 12/(k(k + 3))

ज्ञात करें: S

संकेत दिखाएँ

आंशिक भिन्न: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))।
पहले कुछ पद लिखें: अधिकांश कट जाते हैं (दूरदर्शी योग, टेलिस्कोपिंग)।
जो बचता है वह (12/3)·(1 + … + 1/3) है।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

आंशिक भिन्न

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

रद्द करें

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

उत्तर

S = 7.333

उदाहरण 3कठिन

f(x) = cos x का सन्निकटन x = 1 पर घात n के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! और M = 1 के साथ वह सबसे छोटी घात n ज्ञात करें जो त्रुटि को 1 × 10⁻⁶ से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

ज्ञात करें: n

संकेत दिखाएँ

n = 1, 2, 3, … आज़माएँ और हर बार 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! निकालें।
क्रमगुणन तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए कुछ ही चरण काफ़ी हैं।
पहले उस n पर रुकें जहाँ सीमा 1 × 10⁻⁶ से कम हो।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

बढ़ते n के लिए सीमाएँ

n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 9: 2.756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

सबसे छोटी घात

n = 9

उत्तर

n = 9

प्रश्न और उत्तर

अनुक्रम और श्रेणियाँ क्या है?

अनुक्रम और श्रेणियाँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ में आम गलतियाँ क्या हैं?

aₙ = a₁ + (n − 1)d या a₁rⁿ⁻¹ में n − 1 की जगह n का उपयोग करना।
|r| ≥ 1 होने पर या गलत पहले पद के साथ अनंत-योग सूत्र का उपयोग करना।
केवल इसलिए अभिसरण का निष्कर्ष निकालना कि पद 0 की ओर जाते हैं।
अनुपात-परीक्षण की सीमा को उलटना: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, उसका व्युत्क्रम नहीं।
टेलर बहुपद में क्रमगुणन या एकांतर चिह्न भूल जाना।

अनुक्रम और श्रेणियाँ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: समांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ
मध्यम: अभिसरण और घात श्रेणियाँ
कठिन: टेलर और मैकलॉरिन बहुपद

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

सीमाएँ अवकलज

इस विषय वाले कोर्स

अभियांत्रिकी गणित 2 कलन 2 संख्यात्मक विधियाँ AP Calculus अभ्यास प्रश्न

गणित और सांख्यिकी में और विषय

सीमाएँ अवकलज इष्टतमीकरण समाकल बहुचर कलन अवकल समीकरण सम्मिश्र संख्याएँ संख्यात्मक विधियाँ आव्यूह और सारणिक सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ समुच्चय, संबंध और फलन ग्राफ़ सिद्धांत संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित प्रायिकता वर्णनात्मक सांख्यिकी प्रसामान्य बंटन विश्वास्यता अंतराल परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध काई-वर्ग परीक्षण

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित अनुक्रम और श्रेणियाँ वर्कशीट