कलन 2: अभ्यास प्रश्न और परीक्षा प्रश्न

दूसरा कलन पाठ्यक्रम: समाकलन तकनीकें, अभिसरण परीक्षणों सहित अनुक्रम और श्रेणियाँ, घात श्रेणियाँ और टेलर बहुपद, तथा आंशिक अवकलज, प्रवणता, क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल सहित बहुचर कलन। पाठ्यक्रम के अनुसार इस सामग्री का एक भाग कलन 3 के रूप में पढ़ाया जाता है।

इस कोर्स का मुफ़्त अभ्यास करेंइस कोर्स का अभ्यास करेंमॉक परीक्षा देंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

क्रैम पैक (PDF)सूत्र-पत्रक, विधि के चरण और पूरे हल सहित अभ्यास प्रश्न, प्रिंट करने के लिए तैयार।

इस कोर्स के विषय

  1. समाकलबहुपद · चरघातांकी, लघुगणक और प्रतिस्थापन · वक्रों के बीच क्षेत्रफलगणनाएँ
  2. अनुक्रम और श्रेणियाँसमांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ · अभिसरण और घात श्रेणियाँ · टेलर और मैकलॉरिन बहुपदगणनाएँ
  3. बहुचर कलनआंशिक अवकलज और द्वि-समाकल · प्रवणता, स्पर्श तल और शृंखला नियम · क्रांतिक बिंदु और क्षेत्रों पर समाकलगणनाएँ
  4. अवकल समीकरणचरघातांकी वृद्धि और क्षय · न्यूटन का शीतलन नियम · प्रथम कोटि रैखिकगणनाएँ

कलन 2 के लिए परीक्षा सुझाव

  • किसी भी अभिसरण परीक्षण से पहले जाँचें कि पद 0 की ओर जाते हैं; यदि नहीं, तो श्रेणी अपसरित होती है।
  • कोई संख्या रखने से पहले क्रमगुणन सहित टेलर बहुपद लिखें।
  • द्वि-समाकल के लिए पहले क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ: रेखाचित्र भीतरी समाकल की सीमाएँ देता है।

हल किए गए उदाहरण

समाकलआसान
xy3y = 0.5x

x = 0 से x = 3 तक y = 0.5x के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस (शंकु) का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

ज्ञात करें: V

संकेत दिखाएँ
  1. x पर परत y = 0.5x त्रिज्या की चकती है।
  2. V = π∫₀3 (0.5x)² dx.
  3. = π·0.25·x³/3.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

चकती विधि

V = π∫₀3 0.25x² dx

समाकलन करें

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

उत्तर

V = 7.069

जाँच: त्रिज्या 1.5 और ऊँचाई 3 वाले शंकु का आयतन (1/3)πr²h = 7.069 है।

अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
kSn​12345678910S = ?

योग S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)) ज्ञात करें।

ak = 12/(k(k + 3))

ज्ञात करें: S

संकेत दिखाएँ
  1. आंशिक भिन्न: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))।
  2. पहले कुछ पद लिखें: अधिकांश कट जाते हैं (दूरदर्शी योग, टेलिस्कोपिंग)।
  3. जो बचता है वह (12/3)·(1 + … + 1/3) है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

आंशिक भिन्न

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

रद्द करें

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

उत्तर

S = 7.333

अभ्यास कैसे काम करता है

  • “इस कोर्स का अभ्यास करें” असली परीक्षा की तरह इसके सभी विषयों के प्रश्न मिलाकर देता है।
  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • मॉक परीक्षाओं में समय सीमा होती है और कोई संकेत नहीं मिलता; अंत में आपको अपना स्कोर और पूरी समीक्षा मिलती है।

इस कोर्स के कैलकुलेटर

अर्ध-आयु और चरघातांकी क्षय कैलकुलेटरसमाकल कैलकुलेटर (निश्चित और अनिश्चित)

संबंधित कोर्स

अभियांत्रिकी गणित 2AP Calculus अभ्यास प्रश्नइंजीनियरिंग गणितअवकल समीकरणसंख्यात्मक विधियाँकलन 1सांख्यिकी का परिचयसांख्यिकी 2: सांख्यिकीय अनुमान
इस कोर्स का मुफ़्त अभ्यास करेंइस कोर्स का अभ्यास करेंमॉक परीक्षा देंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।