कलन 2: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

बहुचर कलन

आंशिक अवकलज: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
प्रवणता: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
दिशात्मक अवकलज: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
स्पर्श तल: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
शृंखला नियम: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
द्वि-समाकल: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
ध्रुवीय निर्देशांक: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

विधि

आंशिक अवकलज के लिए दूसरे चर को अचर मानें और एकल-चर के नियम उपयोग करें।
प्रवणता के प्रश्नों में बिंदु पर ∇f = (f_x, f_y) निकालें; सबसे तीव्र ढाल के लिए |∇f| और दिशात्मक अवकलज के लिए मात्रक सदिश u के साथ ∇f·u उपयोग करें।
चरम बिंदुओं के लिए f_x = 0 और f_y = 0 को साथ-साथ हल करें, फिर हर बिंदु को D = f_xx·f_yy − f_xy² से वर्गीकृत करें।
द्वि-समाकल के लिए क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ, क्रम (या वृत्तों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक) ऐसे चुनें कि भीतरी सीमाएँ घेरने वाले वक्र हों, और पहले भीतरी का समाकलन करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.समाकलमध्यम

x = 0 से x = 3 तक y = √(x) के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस (परवलयज) का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = √(x)0 ≤ x ≤ 3

V =

2.समाकलकठिन

रेखा y = 2x और परवलय y = 0.5x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 2xy = 0.5x²

V =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

घात श्रेणी Σ_k=1^∞ k²·3ᵏ·(x − 1)ᵏ x₀ = 1 के आसपास एक अंतराल पर अभिसरित होती है। उस अंतराल का बायाँ सिरा x ज्ञात करें।

Σ k²·3ᵏ·(x − 1)ᵏx₀ = 1

x =

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

a = 1 के परितः f(x) = 1/x की टेलर श्रेणी में (x − 1)³ का गुणांक c₃ ज्ञात करें।

f(x) = 1/xa = 1k = 3

c₃ =

5.बहुचर कलनमध्यम

z = ln(x² + 2y²), जहाँ x = 2t − 2 और y = −2t² + 1। t = −1 पर dz/dt ज्ञात करने के लिए शृंखला नियम का उपयोग करें।

z = ln(x² + 2y²)x = 2t − 2y = −2t² + 1t = −1

dz/dt =

6.बहुचर कलनकठिन

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy का (−3, −3) पर एक क्रांतिक बिंदु है। वहाँ विविक्तकर D = f_xxf_yy − f_xy² निकालें।

f(x, y) = x³ + y³ + 9xyP = (−3, −3)

D =

7.अवकल समीकरणमध्यम

92 °C पर कॉफ़ी का एक कप 19 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.04 min⁻¹ के साथ 14 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

T₀ = 92 °CT_a = 19 °Ck = 0.04 min⁻¹t = 14 min

T = °C

8.अवकल समीकरणकठिन

x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + y/x = 6 को y(1) = −3 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।

y′ + y/x = 6y(1) = −3

y(3) =

3विलयन

1.समाकल

उत्तर: V = 14.14

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

चकती विधि

V = π∫₀³ x dx

समाकलन करें

V = π·1·3²/2 = 14.14

उत्तर

V = 14.14

2.समाकल

उत्तर: V = 107.2

प्रतिच्छेद बिंदु

2x = 0.5x² → x = 0, x = 4

वॉशर विधि

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0.5x²)²) dx

समाकलन करें

V = π(4·4³/3 − 0.25·4⁵/5) = π·34.13 = 107.2

उत्तर

V = 107.2

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: x = 0.6667

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

गुणांक

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3

त्रिज्या

R = 0.3333

अंतराल

0.6667 < x < 1.333

x = 0.6667

उत्तर

x = 0.6667

अनुपात परीक्षण दोनों अंत बिंदुओं पर कुछ नहीं कहता; उन्हें अलग से जाँचना होता है।

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: c₃ = −1

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

अवकलज f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

गुणांक

c₃ = −6/(1⁴·6) = −1

c₃ = −1

उत्तर

c₃ = −1

5.बहुचर कलन

उत्तर: dz/dt = −1.778

प्रवणता: ∇f = (f_x, f_y) सबसे तीव्र आरोहण की दिशा में इंगित करता है, और |∇f| परिवर्तन की सबसे बड़ी दर है। दिशा v के अनुदिश दिशात्मक अवकलज D_uf = ∇f·u है, जहाँ मात्रक सदिश u = v/|v|। बिंदु (a, b) पर स्पर्श तल z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) है; यह उस बिंदु के निकट f का रैखिक सन्निकटन देता है। शृंखला नियम: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt।

बिंदु और दरें

x(−1) = −4, y(−1) = −1

dx/dt = 2, dy/dt = −4t = 4

आंशिक अवकलज

f_x = 2x/(x² + 2y²) = −0.4444

f_y = 4y/(x² + 2y²) = −0.2222

शृंखला नियम

dz/dt = (−0.4444)·2 + (−0.2222)·4 = −1.778

उत्तर

dz/dt = −1.778

6.बहुचर कलन

उत्तर: D = 243

क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल: क्रांतिक बिंदु पर f_x = f_y = 0 होता है। D = f_xxf_yy − f_xy² के साथ द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D > 0 और f_xx > 0 स्थानीय निम्निष्ठ है, D > 0 और f_xx < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, D < 0 काठी बिंदु, और D = 0 कुछ तय नहीं करता। सामान्य क्षेत्र पर द्वि-समाकल के लिए भीतरी सीमाएँ वे वक्र रखें जो क्षेत्र को घेरते हैं; वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें, x = r cos θ, y = r sin θ और dA = r dr dθ (गुणक r न भूलें)।

द्वितीय अवकलज

f_xx = −18, f_yy = −18, f_xy = 9

विविक्तकर

D = (−18)·(−18) − 9² = 243

→ स्थानीय उच्चिष्ठ

उत्तर

D = 243

7.अवकल समीकरण

उत्तर: T = 60.7 °C

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन नियम का हल

T(t) = 19 + 73·e^−0.04t

t रखें

T(14) = 19 + 73·0.5712 = 60.7 °C

उत्तर

T = 60.7 °C

8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(3) = 7

समाकलन गुणक

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

समाकलन करें

(x¹y)′ = 6x → x¹y = 6x²/2 + C

प्रारंभिक प्रतिबंध

−3 = 6/2 + C → C = −6

मान निकालें

y(3) = (6·3²/2 + (−6))/3¹ = 7

उत्तर

y(3) = 7

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