समाकल कैलकुलेटर (निश्चित और अनिश्चित)
अपने मान दर्ज करें। टाइप करते ही उत्तर और पूरा हल अपडेट हो जाता है।
परिणाम
1/x का प्रतिअवकलज ln|x| है: निरपेक्ष मान इसे ऋणात्मक x के लिए भी मान्य बनाता है।
प्रतिअवकलज निकालें या निश्चित समाकल का मान निकालें। x की घात, 1/x, e^(ax + b), ax + b के sin, cos और sec², (ax + b)ⁿ और ln(ax + b) जैसे मानक पदों के योग के लिए कैलकुलेटर पद-दर-पद समाकलन करता है और F(b) − F(a) का यथार्थ मान निकालता है। किसी अन्य संतत फलन का अनुकूली सिम्पसन नियम से संख्यात्मक समाकलन किया जाता है, और कैलकुलेटर अनुचित समाकलों की चेतावनी देता है।
चरण-दर-चरण हल
फलन और सीमाएँ पढ़ें
पद-दर-पद प्रतिअवकलज खोजें
F(b) − F(a) का मान निकालें
संख्यात्मक जाँच
मुख्य सूत्र
- घात नियम
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- निश्चित समाकल
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- सामान्य समाकल
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
- ∫ab (f − g) dx
निश्चित समाकल का मान कैसे निकालें
- समाकल्य को पदों के योग में बाँटें और प्रत्येक का अलग-अलग समाकलन करें; अचर गुणक सामने रहते हैं।
- n ≠ −1 के लिए घात नियम ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) और ∫ 1/x dx = ln|x| का उपयोग करें।
- ax + b के फलन के लिए a से भाग दें: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a और ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a।
- प्रतिअवकलज का मान ऊपरी और निचली सीमाओं पर निकालकर घटाएँ: a से b तक ∫ f(x) dx = F(b) − F(a)। अचर C कट जाता है।
- जाँचें कि समाकल्य [a, b] पर संतत है। यदि वहाँ ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है, जैसे x = 0 पर 1/x, तो समाकल अनुचित है और उसे सीमा चाहिए।
प्रश्न और उत्तर
कैलकुलेटर कौन-से समाकल यथार्थ रूप में हल करता है?
xⁿ (कोई भी परिमेय n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), ax + b के sec·tan और csc·cot, (ax + b)ⁿ और ln(ax + b) के अचर गुणजों के योग। x·eˣ जैसे गुणनफलों को खंडशः समाकलन चाहिए, इसलिए उनका मान संख्यात्मक रूप से निकाला जाता है।
संख्यात्मक समाकलन कितना सटीक है?
अनुकूली सिम्पसन नियम अंतराल के उन भागों को बार-बार आधा करता है जहाँ आकलन बदलता है, जब तक वह सुचारु फलनों के लिए लगभग दस सार्थक अंकों तक सहमत न हो जाए। कैलकुलेटर फलन मूल्यांकनों की संख्या और त्रुटि का आकलन दिखाता है।
+ C क्या है?
समाकलन अचर। प्रत्येक फलन के अनंत प्रतिअवकलज होते हैं जो एक अचर से भिन्न होते हैं, क्योंकि अचर का अवकलज शून्य है। निश्चित समाकल में यह कट जाता है।
मुझे अनुचित समाकल की त्रुटि क्यों मिलती है?
समाकल्य [a, b] में कहीं अपरिभाषित या अनंत है, जैसे [−1, 1] पर 1/x या π/2 के आर-पार tan(x)। ऐसे समाकलों को सीमा चाहिए और वे अपसारी हो सकते हैं, इसलिए कैलकुलेटर उनका मान नहीं देता।
क्या मैं सीमाओं में π का उपयोग कर सकता हूँ?
हाँ। सीमा के रूप में pi, pi/2 या 2pi, अथवा e टाइप करें; जैसे 0 से pi तक sin(x) का समाकल 2 है।
स्वयं अभ्यास करें
समाकल का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।