बहुचर कलन: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: बहुचर कलन क्या है?

दो चरों का फलन, z = f(x, y), xy-तल के ऊपर एक पृष्ठ है। मानचित्र पर इसे समोच्च वक्रों से खींचा जाता है, ऐसी रेखाएँ जहाँ f का मान समान हो। उदाहरण: f(x, y) = x²y + 3y²। fx के लिए y को संख्या मानें, और fy के लिए x को संख्या:

Q: बहुचर कलन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: आंशिक अवकलज और द्वि-समाकल मध्यम: प्रवणता, स्पर्श तल और शृंखला नियम कठिन: क्रांतिक बिंदु और क्षेत्रों पर समाकल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त बहुचर कलन अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: आंशिक अवकलज और द्वि-समाकल, प्रवणता, स्पर्श तल और शृंखला नियम, क्रांतिक बिंदु और क्षेत्रों पर समाकल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy के लिए बिंदु (3, −3) पर आंशिक अवकलज ∂f/∂x ज्ञात करें।

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)

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बहुचर कलन का मुफ़्त अभ्यास करें अभी बहुचर कलन का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानआंशिक अवकलज और द्वि-समाकल
मध्यमप्रवणता, स्पर्श तल और शृंखला नियम
कठिनक्रांतिक बिंदु और क्षेत्रों पर समाकल

बहुचर कलन के प्रश्न कैसे हल करें

आंशिक अवकलज के लिए दूसरे चर को अचर मानें और एकल-चर के नियम उपयोग करें।
प्रवणता के प्रश्नों में बिंदु पर ∇f = (f_x, f_y) निकालें; सबसे तीव्र ढाल के लिए |∇f| और दिशात्मक अवकलज के लिए मात्रक सदिश u के साथ ∇f·u उपयोग करें।
चरम बिंदुओं के लिए f_x = 0 और f_y = 0 को साथ-साथ हल करें, फिर हर बिंदु को D = f_xx·f_yy − f_xy² से वर्गीकृत करें।
द्वि-समाकल के लिए क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ, क्रम (या वृत्तों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक) ऐसे चुनें कि भीतरी सीमाएँ घेरने वाले वक्र हों, और पहले भीतरी का समाकलन करें।

सामान्य गलतियाँ

जिस चर को अचर रखना है, उसका अवकलन करना।
दिशा सदिश को सामान्यीकृत करना भूल जाना।
D = f_xx·f_yy + f_xy² लिखना, या D < 0 वाले बिंदु को चरम बिंदु कहना।
वक्रों से घिरे क्षेत्र के लिए अचर भीतरी सीमाएँ उपयोग करना।
dA = r dr dθ में गुणक r छोड़ देना।

मुख्य सूत्र

आंशिक अवकलज: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
प्रवणता: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
दिशात्मक अवकलज: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
स्पर्श तल: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
शृंखला नियम: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
द्वि-समाकल: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
ध्रुवीय निर्देशांक: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

बहुचर कलन शुरू से सीखें

इससे पहले: अवकलज, समाकल

1आंशिक अवकलज

दो चरों का फलन, z = f(x, y), xy-तल के ऊपर एक पृष्ठ है। मानचित्र पर इसे समोच्च वक्रों से खींचा जाता है, ऐसी रेखाएँ जहाँ f का मान समान हो।

आंशिक अवकलज एक दिशा में ढाल मापता है। ∂f/∂x (जिसे f_x भी लिखा जाता है) के लिए y को स्थिर रखें और सामान्य नियमों से x के सापेक्ष अवकलन करें।

उदाहरण: f(x, y) = x²y + 3y²। f_x के लिए y को संख्या मानें, और f_y के लिए x को संख्या:

f_x = 2xy f_y = x² + 6y

(1, 2) पर इससे f_x = 4 और f_y = 1 + 12 = 13 मिलता है।

फिर से अवकलन करने पर द्वितीय आंशिक अवकलज f_xx, f_yy और f_xy मिलते हैं। मिश्रित अवकलज का क्रम मायने नहीं रखता: f_xy = f_yx। यहाँ f_xy = 2x।

स्व-जाँच f(x, y) = x³y² के लिए ∂f/∂y क्या है?

2x³y
3x²y²
6x²y
x³y²

उत्तर: 2x³y. x को स्थिर रखें: x³ अचर गुणक है, और y² से 2y मिलता है, इसलिए f_y = 2x³y। 3x²y² तो ∂f/∂x है।

2प्रवणता और दिशात्मक अवकलज

प्रवणता दोनों आंशिक अवकलजों को इकट्ठा करती है: ∇f = (f_x, f_y)। यह उस दिशा में इंगित करती है जिसमें f सबसे तेज़ बढ़ता है, समोच्च वक्र के लंबवत।

सबसे तीव्र ढाल स्वयं लंबाई |∇f| = √(f_x² + f_y²) है।

किसी अन्य दिशा v में ढाल दिशात्मक अवकलज है। पहले v को मात्रक सदिश u = v/|v| बनाएँ, फिर अदिश गुणनफल लें:

D_uf = ∇f·u

(1, 2) पर f = x²y + 3y² के लिए: ∇f = (4, 13)। दिशा v = (3, 4) में u = (0.6, 0.8), इसलिए D_uf = 4·0.6 + 13·0.8 = 12.8।

स्व-जाँच किसी बिंदु पर ∇f = (3, 4) है। वहाँ f की वृद्धि की सबसे बड़ी दर क्या है?

उत्तर: 5. यह |∇f| = √(3² + 4²) = 5 है। घटकों को जोड़ने पर 7 मिलता है, और वर्गमूल भूलने पर 25।

3स्पर्श तल और शृंखला नियम

बिंदु (a, b) के निकट पृष्ठ लगभग समतल होता है। स्पर्श तल है

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)

यह रैखिक सन्निकटन f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + f_xΔx + f_yΔy देता है।

उदाहरण: f = x²y + 3y² के लिए f(1, 2) = 14, इसलिए (1, 2) के निकट: f(1.1, 1.9) ≈ 14 + 4·0.1 + 13·(−0.1) = 13.1। यथार्थ मान 13.129 है।

जब x और y दोनों t पर निर्भर हों, तो शृंखला नियम दोनों मार्गों को जोड़ता है: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt।

4क्रांतिक बिंदु

उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु पर पृष्ठ समतल होता है: f_x = 0 और f_y = 0। ऐसे बिंदु क्रांतिक बिंदु हैं।

द्वितीय-अवकलज परीक्षण बिंदु पर D = f_xxf_yy − f_xy² का उपयोग करता है:

D > 0 और f_xx > 0: स्थानीय निम्निष्ठ।
D > 0 और f_xx < 0: स्थानीय उच्चिष्ठ।
D < 0: काठी बिंदु, एक दिशा में ऊपर और दूसरी में नीचे।
D = 0: परीक्षण कुछ तय नहीं करता।

हल किया गया उदाहरण

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y के क्रांतिक बिंदु खोजें और उन्हें वर्गीकृत करें।

दोनों आंशिक अवकलजों को शून्य रखें

f_x = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 f_y = 2y − 4 = 0 → y = 2

क्रांतिक बिंदु (1, 2) और (−1, 2) हैं।

द्वितीय अवकलज

f_xx = 6x, f_yy = 2, f_xy = 0

(1, 2) का परीक्षण

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 और f_xx = 6 > 0: स्थानीय निम्निष्ठ, f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6 के साथ।

(−1, 2) का परीक्षण

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: काठी बिंदु।

उत्तर

(1, 2) पर f = −6 के साथ स्थानीय निम्निष्ठ; (−1, 2) पर काठी बिंदु।

5द्वि-समाकल

द्वि-समाकल ∬_R f dA क्षेत्र R पर f को जोड़ता है; f = 1 के लिए यह R का क्षेत्रफल है। इसे दो एकल समाकलों के रूप में निकालें, पहले भीतरी।

आयत पर सीमाएँ संख्याएँ हैं: ∫₀²∫₀¹ (x + 2y) dy dx। भीतरी समाकल x + 1 देता है, और ∫₀² (x + 1) dx = 4।

सामान्य क्षेत्र पर भीतरी सीमाएँ वे वक्र हैं जो उसे घेरते हैं। y = x² और y = 2x के बीच के क्षेत्र के लिए y, x² से 2x तक चलता है, और x, 0 से 2 तक।

क्षेत्रफल = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें: x² + y² = r² और dA = r dr dθ। वृत्त r ≤ 2 पर: ∬(x² + y²) dA = ∫₀^2π∫₀² r³ dr dθ = 2π·4 = 8π।

स्व-जाँच ध्रुवीय निर्देशांकों में dA क्या बन जाता है?

dr dθ
r dr dθ
r² dr dθ
θ dr dθ

उत्तर: r dr dθ. एक छोटा ध्रुवीय खंड Δr चौड़ा और r·Δθ लंबा होता है, इसलिए dA = r dr dθ। गुणक r भूलना सबसे आम गलती है।

6सामान्य गलतियाँ और परीक्षा प्रश्न

आंशिक अवकलज में “अचर” चर का भी अवकलन कर देना।
दिशात्मक अवकलज में मात्रक सदिश u की जगह v का उपयोग करना।
D = f_xxf_yy + f_xy² लिखना, या D < 0 वाले बिंदु को चरम बिंदु वर्गीकृत करना।
जब क्षेत्र वक्रों से घिरा हो तब भीतरी सीमाओं के रूप में संख्याएँ उपयोग करना।
ध्रुवीय निर्देशांकों में गुणक r भूल जाना।

आसान: किसी बिंदु पर आंशिक अवकलज और आयतों पर समाकल। मध्यम: प्रवणता, दिशात्मक अवकलज, स्पर्श तल और शृंखला नियम। कठिन: क्रांतिक बिंदुओं का वर्गीकरण और वक्रीय क्षेत्रों पर समाकल, ध्रुवीय निर्देशांकों में या उलटे क्रम के साथ।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy के लिए बिंदु (−1, −3) पर आंशिक अवकलज ∂f/∂x ज्ञात करें।

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

ज्ञात करें: f_x(−1, −3)

संकेत दिखाएँ

y को अचर संख्या मानें और x के सापेक्ष अवकलन करें।
∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
x = −1 और y = −3 रखें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

आंशिक अवकलज: ∂f/∂x, y को स्थिर रखते हुए x के सापेक्ष साधारण अवकलज है (y को संख्या मानें), और ∂f/∂y इसका उलटा। नियम (घात, गुणनफल, शृंखला) एकल चर जैसे ही हैं। मिश्रित द्वितीय अवकलज किसी भी क्रम में वही परिणाम देते हैं: f_xy = f_yx। आयत पर द्वि-समाकल दो एकल समाकलों के रूप में निकाला जाता है, पहले भीतरी: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx।

अवकलन करें

y स्थिर रखा गया है।

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

मान रखें

f_x(−1, −3) = −4

उत्तर

f_x(−1, −3) = −4

उदाहरण 2मध्यम

z = 2x²e^3y, जहाँ x = −t − 2 और y = t² + 2। t = 0 पर dz/dt ज्ञात करने के लिए शृंखला नियम का उपयोग करें।

z = 2x²e^3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

ज्ञात करें: dz/dt

संकेत दिखाएँ

dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt।
t = 0 पर: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0।
f_x = 4xe^3y, f_y = 6x²e^3y

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रवणता: ∇f = (f_x, f_y) सबसे तीव्र आरोहण की दिशा में इंगित करता है, और |∇f| परिवर्तन की सबसे बड़ी दर है। दिशा v के अनुदिश दिशात्मक अवकलज D_uf = ∇f·u है, जहाँ मात्रक सदिश u = v/|v|। बिंदु (a, b) पर स्पर्श तल z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) है; यह उस बिंदु के निकट f का रैखिक सन्निकटन देता है। शृंखला नियम: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt।

बिंदु और दरें

x(0) = −2, y(0) = 2

dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

आंशिक अवकलज

f_x = 4xe^3y = −3227

f_y = 6x²e^3y = 9682

शृंखला नियम

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

उत्तर

dz/dt = 3227

उदाहरण 3कठिन

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy का (1, 1) पर एक क्रांतिक बिंदु है। वहाँ विविक्तकर D = f_xxf_yy − f_xy² निकालें।

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

ज्ञात करें: D

संकेत दिखाएँ

तीनों द्वितीय अवकलज f_xx, f_yy और f_xy निकालें।
बिंदु पर: f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = −3।
D = f_xxf_yy − f_xy²।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल: क्रांतिक बिंदु पर f_x = f_y = 0 होता है। D = f_xxf_yy − f_xy² के साथ द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D > 0 और f_xx > 0 स्थानीय निम्निष्ठ है, D > 0 और f_xx < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, D < 0 काठी बिंदु, और D = 0 कुछ तय नहीं करता। सामान्य क्षेत्र पर द्वि-समाकल के लिए भीतरी सीमाएँ वे वक्र रखें जो क्षेत्र को घेरते हैं; वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें, x = r cos θ, y = r sin θ और dA = r dr dθ (गुणक r न भूलें)।

द्वितीय अवकलज

f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = −3

विविक्तकर

D = 6·6 − (−3)² = 27

→ स्थानीय निम्निष्ठ

उत्तर

D = 27

प्रश्न और उत्तर

बहुचर कलन क्या है?

उदाहरण: f(x, y) = x²y + 3y²। f_x के लिए y को संख्या मानें, और f_y के लिए x को संख्या:

बहुचर कलन के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

आंशिक अवकलज के लिए दूसरे चर को अचर मानें और एकल-चर के नियम उपयोग करें।
प्रवणता के प्रश्नों में बिंदु पर ∇f = (f_x, f_y) निकालें; सबसे तीव्र ढाल के लिए |∇f| और दिशात्मक अवकलज के लिए मात्रक सदिश u के साथ ∇f·u उपयोग करें।
चरम बिंदुओं के लिए f_x = 0 और f_y = 0 को साथ-साथ हल करें, फिर हर बिंदु को D = f_xx·f_yy − f_xy² से वर्गीकृत करें।
द्वि-समाकल के लिए क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ, क्रम (या वृत्तों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक) ऐसे चुनें कि भीतरी सीमाएँ घेरने वाले वक्र हों, और पहले भीतरी का समाकलन करें।

बहुचर कलन में आम गलतियाँ क्या हैं?

जिस चर को अचर रखना है, उसका अवकलन करना।
दिशा सदिश को सामान्यीकृत करना भूल जाना।
D = f_xx·f_yy + f_xy² लिखना, या D < 0 वाले बिंदु को चरम बिंदु कहना।
वक्रों से घिरे क्षेत्र के लिए अचर भीतरी सीमाएँ उपयोग करना।
dA = r dr dθ में गुणक r छोड़ देना।

बहुचर कलन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: आंशिक अवकलज और द्वि-समाकल
मध्यम: प्रवणता, स्पर्श तल और शृंखला नियम
कठिन: क्रांतिक बिंदु और क्षेत्रों पर समाकल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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