समुच्चय, संबंध और फलन: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: समुच्चय, संबंध और फलन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: वेन आरेख और उपसमुच्चय मध्यम: समावेश–अपवर्जन और संबंध कठिन: फलन और गिनती हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त समुच्चय, संबंध और फलन अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: वेन आरेख और उपसमुच्चय, समावेश–अपवर्जन और संबंध, फलन और गिनती।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

मान लें A = {b, e} और B = {1, 2}। |A × B| ज्ञात करें।

A = {b, e}B = {1, 2}

सटीक उत्तर: एक पूर्ण संख्या, बिना पूर्णांकन के।

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समुच्चय, संबंध और फलन का मुफ़्त अभ्यास करें अभी समुच्चय, संबंध और फलन का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानवेन आरेख और उपसमुच्चय
मध्यमसमावेश–अपवर्जन और संबंध
कठिनफलन और गिनती

समुच्चय, संबंध और फलन के प्रश्न कैसे हल करें

वेन आरेख बनाएँ और क्षेत्र-दर-क्षेत्र तय करें कि समुच्चय व्यंजक में कौन-सा भाग आता है।
गिनती के प्रश्नों में क्षेत्रों को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले सभी समुच्चय, फिर जोड़े, फिर अकेले समुच्चय, फिर बाहरी भाग।
जाँच के लिए समावेश–अपवर्जन का उपयोग करें: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|।
किसी संबंध के लिए हर गुण को हर जोड़े पर जाँचें और गुण विफल होने पर एक प्रति-उदाहरण दें।
किसी फलन के लिए B के हर अवयव पर पहुँचने वाले तीरों को गिनें: अधिकतम एक हो तो एकैकी, कम से कम एक हो तो आच्छादक।

सामान्य गलतियाँ

अतिव्यापन घटाए बिना |A| और |B| को जोड़ देना।
तीन समुच्चयों के लिए केंद्र को वापस जोड़ना भूल जाना।
फलनों की संख्या में घातांक उलट देना: m अवयवों से n में फलनों की संख्या nᵐ होती है।
g ∘ f को गलत क्रम में लगाना: पहले f कार्य करता है।
तुल्यता संबंध के जोड़े गिनते समय जोड़ों (x, x) को भूल जाना।

मुख्य सूत्र

दो समुच्चय: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
तीन समुच्चय: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
अंतर और पूरक: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
घात समुच्चय और गुणनफल: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
आकार k के उपसमुच्चय: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
फलन A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n अवयवों पर संबंध: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
संयोजन: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

समुच्चय, संबंध और फलन शुरू से सीखें

इससे पहले: प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

1समुच्चय और समुच्चय संक्रियाएँ

समुच्चय भिन्न अवयवों का संग्रह है: A = {1, 2, 3}। क्रम और दोहराव मायने नहीं रखते। |A| अवयवों की संख्या है, और U सार्वत्रिक समुच्चय है जिसमें चर्चा की हर चीज़ शामिल है।

A ∪ B (संघ): A में या B में या दोनों में स्थित अवयव।
A ∩ B (सर्वनिष्ठ): दोनों में स्थित अवयव।
A − B (अंतर): A के वे अवयव जो B में नहीं हैं।
A′ (पूरक): U के वे अवयव जो A में नहीं हैं।

वेन आरेख में दो वृत्त U को चार क्षेत्रों में बाँटते हैं: केवल A, दोनों, केवल B, और कोई नहीं। हर समुच्चय व्यंजक इनमें से कुछ क्षेत्रों का संघ है, इसलिए आप उसे हमेशा क्षेत्र-दर-क्षेत्र गिन सकते हैं।

यहाँ |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 और |(A ∪ B)′| = 15।

स्व-जाँच ऊपर के आरेख में A − B में कितने अवयव हैं?

उत्तर: 12. A − B, A का वह भाग रखता है जो B के बाहर है: केवल 12 वाला क्षेत्र। अतिव्यापन के 5 अवयव B में भी हैं, और 17 पूरा A है।

2समावेश–अपवर्जन से गिनती

|A| और |B| जोड़ने पर अतिव्यापन दो बार गिना जाता है, इसलिए उसे एक बार घटाएँ:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

तीन समुच्चयों के लिए युग्मवार अतिव्यापन घटाए जाते हैं, पर तब केंद्र तीन बार हट चुका होता है, इसलिए उसे वापस जोड़ा जाता है:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

शाब्दिक प्रश्नों में आमतौर पर वेन आरेख को केंद्र से बाहर की ओर भरना अधिक सुरक्षित है: पहले तीनों समुच्चयों के अवयव, फिर केंद्र घटाकर हर जोड़ी, फिर पहले से रखे गए अवयव घटाकर हर अकेला समुच्चय।

दो और गिनतियाँ अक्सर आती हैं: n अवयवों वाले समुच्चय के 2ⁿ उपसमुच्चय होते हैं (उसका घात समुच्चय 𝒫(A)), और |A × B| = |A|·|B| क्रमित युग्म होते हैं।

स्व-जाँच 40 विद्यार्थियों में से 25 फ्रेंच पढ़ते हैं, 18 जर्मन पढ़ते हैं और 9 दोनों पढ़ते हैं। कितने विद्यार्थी कोई नहीं पढ़ते?

उत्तर: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34, इसलिए 40 − 34 = 6 विद्यार्थी कोई नहीं पढ़ते। 9 घटाना भूलने पर 43 मिलता है, जो पूरे समूह से अधिक है।

3एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

60 विद्यार्थियों में से 30 गणित (M), 25 भौतिकी (P) और 20 रसायन (C) में उत्तीर्ण हुए। 10 M और P में, 8 M और C में, 6 P और C में, तथा 3 तीनों में उत्तीर्ण हुए। कितने किसी में उत्तीर्ण नहीं हुए?

केंद्र

3 तीनों में उत्तीर्ण हुए।

केवल जोड़ियाँ

केवल M और P: 10 − 3 = 7। केवल M और C: 8 − 3 = 5। केवल P और C: 6 − 3 = 3।

केवल अकेले

केवल M: 30 − 7 − 5 − 3 = 15। केवल P: 25 − 7 − 3 − 3 = 12। केवल C: 20 − 5 − 3 − 3 = 9।

संघ और पूरक

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

सूत्र भी वही देता है: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54।

उत्तर

60 − 54 = 6 विद्यार्थी तीनों में से किसी में उत्तीर्ण नहीं हुए।

4संबंध

समुच्चय X पर संबंध R क्रमित युग्मों (x, y) का समुच्चय है, जहाँ x और y, X में हैं। दिशित ग्राफ़ के रूप में खींचने पर हर युग्म एक तीर है और (x, x) एक लूप है।

स्वतुल्य: हर x के लिए (x, x) ∈ R: हर शीर्ष पर एक लूप।
सममित: (x, y) ∈ R के साथ हमेशा (y, x) ∈ R होता है।
प्रति-सममित: (x, y) और (y, x) दोनों R में केवल तब होते हैं जब x = y।
संक्रामक: R में (x, y) और (y, z) होने पर (x, z) ∈ R अनिवार्य है।

जो संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो, वह तुल्यता संबंध है। यह X को असंयुक्त वर्गों में बाँटता है, जैसे “x ≡ y (mod 3)” के लिए शेषफल 0, 1 और 2। s अवयवों वाला वर्ग s² क्रमित युग्म देता है।

किसी गुण को गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रति-उदाहरण काफ़ी है; उसे सिद्ध करने के लिए हर युग्म जाँचें।

स्व-जाँच {1, 2, 3} पर R = {(1, 2), (2, 3)}। R को संक्रामक बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?

(1, 1)
(1, 3)
(2, 1)
(3, 1)

उत्तर: (1, 3). R में (1, 2) और (2, 3) हैं, इसलिए संक्रामकता के लिए (1, 3) आवश्यक है। (2, 1) सममिति के लिए और (1, 1) स्वतुल्यता के लिए चाहिए होता।

5फलन

फलन f: A → B, A के हर अवयव को B में ठीक एक प्रतिबिंब देता है।

एकैकी (इंजेक्टिव): भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न होते हैं; B के किसी अवयव पर दो तीर नहीं पहुँचते।
आच्छादक (सरजेक्टिव): B के हर अवयव पर कम से कम एक तीर पहुँचता है।
एकैकी आच्छादक (बाइजेक्टिव): दोनों। तभी f का प्रतिलोम f⁻¹ होता है।

आकृति में फलन एकैकी है पर आच्छादक नहीं: d पर कोई तीर नहीं पहुँचता। एकैकी के लिए |A| ≤ |B| और आच्छादक के लिए |A| ≥ |B| चाहिए।

|A| = m और |B| = n के साथ nᵐ फलन होते हैं और n!/(n − m)! एकैकी फलन। संयोजन (g ∘ f)(x) = g(f(x)) पहले f लगाता है।

स्व-जाँच 3 अवयवों वाले समुच्चय से 4 अवयवों वाले समुच्चय तक कितने फलन हैं?

उत्तर: 64. 3 अवयवों में से हर एक 4 प्रतिबिंबों में से एक चुनता है: 4³ = 64। 3⁴ = 81 भूमिकाएँ बदल देता है, 24 = 4·3·2 केवल एकैकी फलनों को गिनता है, और 12 = 3·4 A × B का आकार है।

6सामान्य गलतियाँ

अतिव्यापन घटाए बिना |A| + |B| जोड़ना।
तीन-समुच्चय समावेश–अपवर्जन में केंद्र को वापस जोड़ना भूल जाना।
m अवयवों से n अवयवों तक फलनों की संख्या के लिए nᵐ की जगह mⁿ लिखना।
यह सोचना कि कोई संबंध एक साथ सममित और प्रति-सममित नहीं हो सकता: संबंध {(1, 1)} दोनों है।
g ∘ f को गलत क्रम में लगाना: पहले f कार्य करता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: वेन आरेख और उपसमुच्चय। आप वेन आरेख से समुच्चय व्यंजक गिनते हैं, किसी व्यंजक के क्षेत्र पर क्लिक करते हैं, या घात समुच्चय, कार्तीय गुणनफल या उपसमुच्चयों के परिवार का आकार निकालते हैं।
मध्यम: समावेश–अपवर्जन और संबंध। आप दो- और तीन-समुच्चय गिनती के प्रश्न हल करते हैं, क्षेत्र-योगों से व्यंजक गिनते हैं, तय करते हैं कि संबंध में कौन-सा गुण है, या किसी संवरण के लिए आवश्यक युग्म गिनते हैं।
कठिन: फलन और गिनती। आप फलन को एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादक में वर्गीकृत करते हैं, फलन, एकैकी और आच्छादक फलन गिनते हैं, संयोजन और प्रतिलोम का मान निकालते हैं, और तुल्यता संबंधों में युग्म गिनते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

मान लें A = {a, b, c, x, y} और B = {1, 2, 3, 4}। |𝒫(A)| ज्ञात करें।

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

ज्ञात करें: |𝒫(A)|

संकेत दिखाएँ

k अवयवों वाले समुच्चय के 2ᵏ उपसमुच्चय होते हैं: हर अवयव या तो उपसमुच्चय में होता है या नहीं।
|A| = 5, |B| = 4.
|𝒫(A)| = 2^|A|.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

फलन और गिनती: फलन f: A → B, A के हर अवयव को B में ठीक एक प्रतिबिंब देता है। f एकैकी (इंजेक्टिव) होता है जब भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न हों, आच्छादक (सरजेक्टिव) जब B का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब हो, और एकैकी आच्छादक (बाइजेक्टिव) जब दोनों हों। |A| = m और |B| = n के साथ nᵐ फलन होते हैं, n!/(n − m)! एकैकी फलन (m ≤ n), और समावेश–अपवर्जन से Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ आच्छादक फलन। |𝒫(A)| = 2ᵐ और |A × B| = m·n।

आकार

|A| = 5

|B| = 4

गिनें

|𝒫(A)| = 2⁵ = 32

उत्तर

|𝒫(A)| = 32

उदाहरण 2मध्यम

53 प्रथम वर्ष के विद्यार्थियों में से 35 गणित (M) में, 28 भौतिकी (P) में और 29 रसायन (C) में उत्तीर्ण हुए। 20 M और P में, 18 M और C में, 10 P और C में, तथा 6 तीनों में उत्तीर्ण हुए। कितने तीनों समुच्चयों में से किसी में नहीं हैं?

|U| = 53

ज्ञात करें: |(M ∪ P ∪ C)′|

संकेत दिखाएँ

वेन आरेख को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले तीनों, फिर जोड़ियाँ, फिर अकेले समुच्चय।
केवल M और P (C नहीं): 20 − 6 = 14। केवल M: 35 − 14 − 12 − 6 = 3।
कम से कम एक समुच्चय: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

समुच्चय और वेन आरेख: A ∪ B में A या B (या दोनों) के अवयव होते हैं, A ∩ B में दोनों के अवयव, A − B में A के वे अवयव जो B में नहीं हैं, और पूरक A′ में U का वह सब कुछ जो A में नहीं है। वेन आरेख में हर समुच्चय व्यंजक क्षेत्रों का संघ होता है, इसलिए उसे क्षेत्र-दर-क्षेत्र गिनें। समावेश–अपवर्जन: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, और |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|।

केंद्र और जोड़ियाँ

M ∩ P ∩ C: 6

M ∩ P केवल: 20 − 6 = 14

M ∩ C केवल: 18 − 6 = 12

P ∩ C केवल: 10 − 6 = 4

अकेले समुच्चय

M केवल: 35 − 14 − 12 − 6 = 3

P केवल: 28 − 14 − 4 − 6 = 4

C केवल: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

उत्तर

|M ∪ P ∪ C| = 50

|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

उत्तर

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3

उदाहरण 3कठिन

{1, 2, 3, 4, 5} पर फलन f और g अपनी सारणियों से दिए गए हैं। (f ∘ g)(5) ज्ञात करें।

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

ज्ञात करें: (f ∘ g)(5)

संकेत दिखाएँ

(f ∘ g)(x) का अर्थ f(g(x)) है: पहले g, फिर f।
भीतरी मान g(5) = 1 है।
अब 1 पर बाहरी फलन लगाएँ।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

भीतरी फलन

g(5) = 1

बाहरी फलन

f(1) = 1

(f ∘ g)(5) = 1

उत्तर

(f ∘ g)(5) = 1

प्रश्न और उत्तर

समुच्चय, संबंध और फलन क्या है?

यहाँ |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 और |(A ∪ B)′| = 15।

समुच्चय, संबंध और फलन के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

वेन आरेख बनाएँ और क्षेत्र-दर-क्षेत्र तय करें कि समुच्चय व्यंजक में कौन-सा भाग आता है।
गिनती के प्रश्नों में क्षेत्रों को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले सभी समुच्चय, फिर जोड़े, फिर अकेले समुच्चय, फिर बाहरी भाग।
जाँच के लिए समावेश–अपवर्जन का उपयोग करें: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|।
किसी संबंध के लिए हर गुण को हर जोड़े पर जाँचें और गुण विफल होने पर एक प्रति-उदाहरण दें।
किसी फलन के लिए B के हर अवयव पर पहुँचने वाले तीरों को गिनें: अधिकतम एक हो तो एकैकी, कम से कम एक हो तो आच्छादक।

समुच्चय, संबंध और फलन में आम गलतियाँ क्या हैं?

अतिव्यापन घटाए बिना |A| और |B| को जोड़ देना।
तीन समुच्चयों के लिए केंद्र को वापस जोड़ना भूल जाना।
फलनों की संख्या में घातांक उलट देना: m अवयवों से n में फलनों की संख्या nᵐ होती है।
g ∘ f को गलत क्रम में लगाना: पहले f कार्य करता है।
तुल्यता संबंध के जोड़े गिनते समय जोड़ों (x, x) को भूल जाना।

समुच्चय, संबंध और फलन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: वेन आरेख और उपसमुच्चय
मध्यम: समावेश–अपवर्जन और संबंध
कठिन: फलन और गिनती

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

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उत्तरों सहित समुच्चय, संबंध और फलन वर्कशीट