वर्णनात्मक सांख्यिकी: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त वर्णनात्मक सांख्यिकी अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: माध्य और माध्यिका, मानक विचलन, प्रसामान्य वितरण।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
510152025303540

आँकड़ों का माध्य x̄ ज्ञात करें: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33।

n = 9
अगला प्रश्न →
वर्णनात्मक सांख्यिकी का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी वर्णनात्मक सांख्यिकी का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानमाध्य और माध्यिका
  2. मध्यममानक विचलन
  3. कठिनप्रसामान्य वितरण

मुख्य सूत्र

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

वर्णनात्मक सांख्यिकी शुरू से सीखें

1केंद्र: माध्य और माध्यिका

वर्णनात्मक सांख्यिकी संख्याओं की सूची, जिसे आँकड़े कहते हैं, का सार कुछ मानों में देती है। पहला प्रश्न है: केंद्र कहाँ है?

माध्य सामान्य औसत है: सभी मान जोड़ें और उनकी संख्या n से भाग दें।

x̄ = Σx / n

प्रतीक Σ का अर्थ है “सबको जोड़ो”, और x̄ को “x बार” पढ़ा जाता है। 3, 5 और 10 का माध्य 18/3 = 6 है।

माध्यिका वह बीच का मान है जो आँकड़ों को छोटे से बड़े के क्रम में सजाने के बाद मिलता है।

  • विषम n: माध्यिका अकेला बीच का मान है। 3, 5, 10 के लिए वह 5 है।
  • सम n: माध्यिका दो बीच के मानों का औसत है।

एक चरम मान, यानी बाह्य मान (आउटलायर), माध्य को अपनी ओर खींच लेता है पर माध्यिका को मुश्किल से हिलाता है। इसी कारण आय का सार अक्सर माध्यिका से दिया जाता है।

स्व-जाँच 4, 40, 29, 22, 17, 20 की माध्यिका क्या है?
  1. 20
  2. 21
  3. 22
  4. 25.5

उत्तर: 21. क्रमबद्ध: 4, 17, 20, 22, 29, 40। दो बीच के मान 20 और 22 हैं, इसलिए माध्यिका 21 है। 25.5 बिना क्रमबद्ध सूची का बीच लेने से आता है; 22 माध्य है।

2प्रसार: मानक विचलन

दो आँकड़ा-समुच्चयों का माध्य समान हो सकता है पर प्रसार बहुत अलग। मानक विचलन s मापता है कि मान सामान्यतः माध्य से कितनी दूर होते हैं।

हर मान का एक विचलन x − x̄ होता है। विचलनों का योग शून्य होता है, इसलिए पहले उनका वर्ग लेते हैं, जिससे वे सब धनात्मक हो जाते हैं।

s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )

यह प्रतिदर्श मानक विचलन है: आप n से नहीं, n − 1 से भाग देते हैं। s के वर्ग को प्रसरण कहते हैं।

2, 4 और 6 के लिए: माध्य 4 है, विचलन −2, 0 और 2 हैं, वर्गों का योग 8 है, 8/2 = 4, और s = √4 = 2।

स्व-जाँच 2, 4 और 6 का प्रतिदर्श मानक विचलन क्या है?
  1. 0
  2. 1.633
  3. 2
  4. 4

उत्तर: 2. Σ(x − x̄)² = 8, n − 1 = 2 से भाग देने पर 4, और √4 = 2। n = 3 से भाग देने पर 1.633 आता है; 4 में वर्गमूल लेना भूल गए हैं, और 0 वर्ग लेने से पहले विचलनों का योग है।

3z-अंक और प्रसामान्य बंटन

कई मापन, जैसे ऊँचाई या परीक्षा के अंक, घंटी के आकार के वक्र का पालन करते हैं: प्रसामान्य बंटन। उसका केंद्र माध्य μ है और उसकी चौड़ाई मानक विचलन σ।

z-अंक बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है:

z = (x − μ) / σ

μ = 70 और σ = 10 के साथ, 74 अंक का z = 4/10 = 0.4 है। ऋणात्मक z का अर्थ है कि मान माध्य से नीचे है।

68–95–99.7 नियम: लगभग 68% मान माध्य के 1σ के भीतर होते हैं, 95% 2σ के भीतर और 99.7% 3σ के भीतर।

4045505560μ−1σ+1σ−2σ+2σ68%2.5%

μ = 50 और σ = 5 के साथ, मान 60 का z = 2 है। लगभग 95% मान 40 और 60 के बीच होते हैं, इसलिए लगभग 2.5% 60 से ऊपर होते हैं। z-सारणी सटीक मान 0.0228 देती है।

स्व-जाँच IQ अंक प्रसामान्य हैं जिनमें μ = 100 और σ = 15 है। लगभग कितने प्रतिशत लोग 115 से ऊपर अंक पाते हैं?
  1. 16%
  2. 32%
  3. 34%
  4. 68%

उत्तर: 16%. 115 माध्य से 1σ ऊपर है। 68% मान 1σ के भीतर हैं, इसलिए 32% बाहर हैं, जो दोनों सिरों में बराबर बँटे हैं: 16% ऊपर। 32% में दोनों सिरों को बाँटना भूल गए हैं।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. आँकड़ों को एक पंक्ति में लिखें और n गिनें।
  2. माध्य: सब कुछ जोड़ें और n से भाग दें।
  3. माध्यिका: पहले क्रमबद्ध करें, फिर बीच का मान लें, या दो बीच के मानों का औसत।
  4. मानक विचलन: हर मान में से माध्य घटाएँ, वर्ग लें, जोड़ें, n − 1 से भाग दें, वर्गमूल लें।
  5. z-अंक: μ घटाएँ, σ से भाग दें। फिर अनुपात के लिए 68–95–99.7 नियम या z-सारणी का उपयोग करें।

x, x − x̄ और (x − x̄)² स्तंभों वाली सारणी मानक विचलन की गणना को सुव्यवस्थित रखती है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

आँकड़ों 4, 8, 6, 5, 7 का माध्य, माध्यिका और प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात कीजिए।

1

माध्य

x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2

माध्यिका

क्रमबद्ध: 4, 5, 6, 7, 8। n = 5 के साथ बीच का मान तीसरा है।

माध्यिका = 6
3

विचलन और वर्ग

हर मान में से माध्य घटाएँ: −2, 2, 0, −1, 1। जाँच: इनका योग 0 है।

2345678910x̄ = 6+2−2

उनके वर्ग लें: 4, 4, 0, 1, 1।

Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4

n − 1 से भाग दें

s² = 10 / (5 − 1) = 2.5
5

वर्गमूल लें

s = √2.5 ≈ 1.58

जाँच: मान माध्य से 0, 1 या 2 दूर हैं, इसलिए लगभग 1.6 की सामान्य दूरी उचित लगती है।

उत्तर

माध्य x̄ = 6, माध्यिका 6, और s ≈ 1.58।

6सामान्य गलतियाँ

  • सूची को क्रमबद्ध किए बिना उसका बीच लेना।
  • प्रतिदर्श मानक विचलन के लिए n − 1 की जगह n से भाग देना।
  • अंत में वर्गमूल भूल जाना, जिससे s की जगह प्रसरण मिलता है।
  • z-अंक का चिह्न गलत लेना: माध्य से नीचे के मान का z ऋणात्मक होता है।
  • z-अंक में σ से भाग देना भूल जाना।
स्व-जाँच परीक्षा के अंकों का माध्य 70 और मानक विचलन 10 है। 60 अंक का z-अंक क्या है?
  1. 1
  2. 6
  3. −10
  4. −1

उत्तर: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1। अंक माध्य से नीचे है, इसलिए z ऋणात्मक है। −10 में σ से भाग देना भूल गए हैं।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: आँकड़ों की छोटी सूची का माध्य या माध्यिका।
  • मध्यम: पाँच या छह मानों का प्रतिदर्श मानक विचलन। n − 1 से भाग दें।
  • कठिन: प्रसामान्य बंटन। z-अंक, या किसी दिए गए मान से ऊपर या नीचे के मानों का अनुपात ज्ञात करें।

एक त्वरित जाँच: माध्य और माध्यिका सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होते हैं, और s कभी ऋणात्मक नहीं होता।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
510152025303540

आँकड़ों की माध्यिका M ज्ञात करें: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5।

n = 9

ज्ञात करें: M

संकेत दिखाएँ
  1. मानों को छोटे से बड़े क्रम में रखें।
  2. विषम संख्या में मान हों तो माध्यिका मध्य वाला मान है।
  3. क्रमबद्ध: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

क्रम में रखें

3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40

मध्य मान

M = 18

उत्तर

M = 18
उदाहरण 2मध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59।

n = 7

ज्ञात करें: s

संकेत दिखाएँ
  1. पहले माध्य ज्ञात करें।
  2. माध्य से हर विचलन का वर्ग करें, उन्हें जोड़ें, n − 1 से भाग दें और वर्गमूल लें।
  3. x̄ = 37.71.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 264/7 = 37.71

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−11.71)² + 19.29² + (−3.714)² + (−15.71)² + 15.29² + (−24.71)² + 21.29² = 2067

मानक विचलन

s = √(2067/6) = 18.56

उत्तर

s = 18.56
उदाहरण 3कठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 36 से कम है?

μ = 60σ = 12x = 36

ज्ञात करें: P

संकेत दिखाएँ
  1. पहले z-स्कोर में बदलें।
  2. z = (36 − 60)/12 = −2.
  3. मानक प्रसामान्य सारणी से Φ(z) पढ़ें।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

प्रश्न और उत्तर

वर्णनात्मक सांख्यिकी क्या है?

वर्णनात्मक सांख्यिकी संख्याओं की सूची, जिसे आँकड़े कहते हैं, का सार कुछ मानों में देती है। पहला प्रश्न है: केंद्र कहाँ है?

प्रतीक Σ का अर्थ है “सबको जोड़ो”, और x̄ को “x बार” पढ़ा जाता है। 3, 5 और 10 का माध्य 18/3 = 6 है।

वर्णनात्मक सांख्यिकी के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

वर्णनात्मक सांख्यिकी के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: माध्य और माध्यिका
  • मध्यम: मानक विचलन
  • कठिन: प्रसामान्य वितरण

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

इसके बाद

प्रसामान्य बंटनरैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

कैलकुलेटर

माध्य, माध्यिका और मानक विचलन कैलकुलेटरसार्थक अंक कैलकुलेटर (गिनें, पूर्णांकित करें और गणना करें)प्रतिशत त्रुटि कैलकुलेटर (और प्रतिशत अंतर)

इस विषय वाले कोर्स

मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकीसांख्यिकी का परिचयइंजीनियरिंग गणितसाक्ष्य-आधारित अभ्यासAP Statistics अभ्यास प्रश्नCFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास

गणित और सांख्यिकी में और विषय

सीमाएँअवकलजइष्टतमीकरणसमाकलअनुक्रम और श्रेणियाँबहुचर कलनअवकल समीकरणसम्मिश्र संख्याएँसंख्यात्मक विधियाँआव्यूह और सारणिकसदिश: अदिश और सदिश गुणनफलप्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँसमुच्चय, संबंध और फलनग्राफ़ सिद्धांतसंख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितप्रायिकताप्रसामान्य बंटनविश्वास्यता अंतरालपरिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालरैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकाई-वर्ग परीक्षण

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