सम्मिश्र संख्याएँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त सम्मिश्र संख्याएँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: आयताकार रूप में अंकगणित, ध्रुवीय और चरघातांकी रूप, डी मॉयवर, मूल और समीकरण।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
z₁ = 1 + j4 और z₂ = 5 + j6 के लिए w = 2z₁ + 5z̄₂ का काल्पनिक भाग ज्ञात करें।
समीकरण x² = −1 का कोई वास्तविक हल नहीं है। इंजीनियर एक नई संख्या j जोड़ते हैं जिसके लिए j² = −1। गणितज्ञ i लिखते हैं; इंजीनियरी में j उपयोग होता है क्योंकि i पहले से धारा को दर्शाता है।
सम्मिश्र संख्या का रूप z = a + jb होता है। संख्या a वास्तविक भाग है और b काल्पनिक भाग: Re(z) = a और Im(z) = b।
आप z को आर्गंड आरेख में बिंदु (a, b) के रूप में खींच सकते हैं: वास्तविक भाग क्षैतिज अक्ष पर, काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर अक्ष पर।
मूलबिंदु से दूरी मापांक |z| = √(a² + b²) है। धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण कोणांक θ है। वास्तविक अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब, z̄ = a − jb, संयुग्मी है।
स्व-जाँच z = 3 − j4 का मापांक क्या है?
25
5
7
−1
उत्तर: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5। 3 और 4 जोड़ने पर 7 मिलता है, और वर्गमूल भूल जाने पर 25।
उत्तर: 2. यह संख्या और उसके संयुग्मी का गुणनफल है: 1² + 1² = 2। 1 − j² को 1 − 1 = 0 लिखना j² = −1 भूलना है, इसलिए −j² = +1।
3ध्रुवीय और चरघातांकी रूप
किसी बिंदु को उसकी दूरी और कोण से भी दिया जा सकता है: z = r∠θ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी a = r cos θ और b = r sin θ से।
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
अंतिम रूप यूलर के सूत्र ejθ = cos θ + j sin θ का उपयोग करता है। चरघातांकी रूप में θ रेडियन में होना चाहिए।
चतुर्थांश पर ध्यान दें। कैलकुलेटर atan(b/a) को −90° और 90° के बीच देता है। यदि a < 0 है तो बिंदु बाईं ओर है, इसलिए 180° जोड़ें या घटाएँ।
उदाहरण: z = −2 + j2। तब r = √8 = 2.828। संदर्भ कोण atan(2/2) = 45° है, और बिंदु दूसरे चतुर्थांश में है, इसलिए θ = 180° − 45° = 135°।
स्व-जाँच z = −1 − j का कोणांक, −180° और 180° के बीच, क्या है?
135°
45°
−135°
−45°
उत्तर: −135°. बिंदु तीसरे चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण 45° है, इसलिए θ = −(180° − 45°) = −135°। atan(−1/−1) = 45° विपरीत चतुर्थांश की ओर इंगित करता है।
4ध्रुवीय रूप में गुणा, घात और मूल
ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें। भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
इसे दोहराने से डी मॉयवर का प्रमेय मिलता है: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ।
समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं। सभी का मापांक R1/n है और कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं।
z³ = 8 = 8∠0° के लिए: मापांक 2 है और कोणांक 0°, 120° और 240° (अर्थात −120°) हैं। मूल वृत्त पर एक सम त्रिभुज बनाते हैं।
द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं। वास्तविक बहुपदों के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
5एक हल किया गया उदाहरण
1 + j जैसी संख्याओं की घातें ध्रुवीय रूप में गुणा करके खोलने की अपेक्षा कहीं तेज़ होती हैं।
हल किया गया उदाहरण
डी मॉयवर के प्रमेय से (1 + j)6 निकालें।
1
1 + j को ध्रुवीय रूप में लिखें
r = √(1² + 1²) = √2। बिंदु पहले चतुर्थांश में है, इसलिए θ = atan(1/1) = 45°।
1 + j = √2∠45°
2
डी मॉयवर लगाएँ
मापांक का घात 6 लें और कोण को 6 से गुणा करें।
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
कोण को परास में लाएँ
270° वही दिशा है जो −90° है।
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
आयताकार रूप में वापसी
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
उत्तर
(1 + j)6 = −j8: वास्तविक भाग 0, काल्पनिक भाग −8।
6सामान्य गलतियाँ और परीक्षा प्रश्न
गुणा करते समय j² = −1 भूल जाना, जिससे किसी पद का चिह्न गलत हो जाता है।
भाग-दर-भाग भाग देना: (a + jb)/(c + jd), a/c + jb/d नहीं है। संयुग्मी का उपयोग करें।
जब a < 0 हो तब atan(b/a) को कोणांक मान लेना। पहले बिंदु का रेखाचित्र बनाएँ।
ejθ में डिग्री का उपयोग करना, या डिग्री में दिए r∠θ के लिए कैलकुलेटर को रेडियन में छोड़ देना।
डी मॉयवर में: मापांक का घात लेना भूल जाना, या zⁿ = w का केवल एक मूल देना।
आसान प्रश्न गुणनफल, भागफल या योग का एक भाग पूछते हैं। मध्यम प्रश्न आयताकार, ध्रुवीय और चरघातांकी रूप के बीच परिवर्तन करते हैं। कठिन प्रश्न डी मॉयवर, n-वें मूल और बहुपद समीकरणों का उपयोग करते हैं।
स्व-जाँच z₁ = 2∠30° और z₂ = 4∠50°। z₁·z₂ क्या है?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
उत्तर: 8∠80°. मापांक गुणा करें (2·4 = 8) और कोणांक जोड़ें (30° + 50° = 80°)। मापांक जोड़ने पर 6 मिलता है, और कोणों का गुणा करना अर्थहीन है।
z₁ = −7 + j और z₂ = 4 + j2 के लिए गुणनफल z₁·z₂ का वास्तविक भाग ज्ञात करें।
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
ज्ञात करें: Re(z₁z₂)
संकेत दिखाएँ
कोष्ठकों को (a + b)(c + d) की तरह खोलकर गुणा करें, जिससे चार पद बनते हैं।
j² को −1 से बदलें ताकि चार पदों में से एक वास्तविक हो जाए।
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
सम्मिश्र संख्याएँ: z = a + jb का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b है, जहाँ j² = −1 (गणितज्ञ i लिखते हैं)। भाग-दर-भाग जोड़ें और घटाएँ; कोष्ठक खोलकर गुणा करें और j² को −1 से बदलें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी z̄ = a − jb से गुणा करें, क्योंकि z·z̄ = a² + b² वास्तविक है। आर्गंड आरेख पर z बिंदु (a, b) है: मूलबिंदु से उसकी दूरी मापांक |z| = √(a² + b²) है, और धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण कोणांक θ है।
z = 4∠160° को आयताकार रूप a + jb में लिखें और काल्पनिक भाग b दें।
r = 4θ = 160°
ज्ञात करें: b
संकेत दिखाएँ
a = r·cos θ और b = r·sin θ।
sin(160°) = 0.342
r = 4 से गुणा करें।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।
घटक
a = 4·cos(160°) = −3.759
b = 4·sin(160°) = 1.368
आयताकार रूप
z = −3.759 + j1.368
b = 1.368
उत्तर
b = 1.368
उदाहरण 3कठिन
zⁿ = w के मूल, n = 4 और w = 16∠−60° के साथ, zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n) हैं, k = 0, 1, 2, 3। z₂ का वास्तविक भाग ज्ञात करें।
w = 16∠−60°n = 4k = 2
ज्ञात करें: Re(z₂)
संकेत दिखाएँ
हर मूल का मापांक R1/n = 161/4 = 2 है।
z₂ का कोणांक (φ + 360°·k)/n है, जहाँ φ = −60°, k = 2 और n = 4।
a = R1/n·cos(165°)।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।
मूलों का मापांक
161/4 = 2
मूल का कोणांक
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
आयताकार रूप
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1.932 + j0.5176
Re(z₂) = −1.932
उत्तर
Re(z₂) = −1.932
4 मूल त्रिज्या 2 के वृत्त पर स्थित हैं, 90° के अंतर पर।
प्रश्न और उत्तर
सम्मिश्र संख्याएँ क्या है?
समीकरण x² = −1 का कोई वास्तविक हल नहीं है। इंजीनियर एक नई संख्या j जोड़ते हैं जिसके लिए j² = −1। गणितज्ञ i लिखते हैं; इंजीनियरी में j उपयोग होता है क्योंकि i पहले से धारा को दर्शाता है।
आप z को आर्गंड आरेख में बिंदु (a, b) के रूप में खींच सकते हैं: वास्तविक भाग क्षैतिज अक्ष पर, काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर अक्ष पर।
सम्मिश्र संख्याएँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।
सम्मिश्र संख्याएँ में आम गलतियाँ क्या हैं?
गुणा करते समय j² को +1 मानना।
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग भाग देना।
बाएँ अर्ध-तल के बिंदु के लिए atan(b/a) को कोणांक मान लेना।
डिग्री और रेडियन मिला देना, विशेषकर ejθ में।
zⁿ = w का केवल एक मूल देना, या मापांक का n-वाँ मूल लेना भूल जाना।
सम्मिश्र संख्याएँ के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: आयताकार रूप में अंकगणित
मध्यम: ध्रुवीय और चरघातांकी रूप
कठिन: डी मॉयवर, मूल और समीकरण
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।