द्विघात समीकरण हल करने वाला (ax² + bx + c = 0)
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परिणाम
किसी भी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को हल करें। कैलकुलेटर विविक्तकर निकालता है, द्विघात सूत्र लगाता है और मूलों को दशमलव में तथा यथार्थ रूप में देता है, भिन्नों या 2 ± √3 जैसे सरलीकृत वर्गमूलों के रूप में, सम्मिश्र मूलों सहित। यह शीर्ष, सममिति अक्ष और गुणनखंडित रूप भी निकालता है, और वीटा के सूत्रों से मूलों की जाँच करता है।
चरण-दर-चरण हल
a, b और c पहचानें
विविक्तकर
द्विघात सूत्र
शीर्ष और सममिति अक्ष
गुणनखंडित रूप
वियेटा के सूत्रों से जाँच करें
मुख्य सूत्र
- p² < 4q वाला द्विघात
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
द्विघात समीकरण कैसे हल करें
- समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखें और चिह्नों सहित a, b और c पढ़ें।
- विविक्तकर Δ = b² − 4ac निकालें। यदि Δ > 0 तो दो वास्तविक मूल हैं, यदि Δ = 0 तो एक पुनरावृत्त मूल, और यदि Δ < 0 तो दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल।
- द्विघात सूत्र x = (−b ± √Δ)/(2a) का उपयोग करें। वर्ग गुणनखंड बाहर निकालकर वर्गमूल सरल करें: √12 = 2√3।
- Δ < 0 के लिए √Δ = i·√|Δ| लिखें, इसलिए मूल −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a) हैं।
- परवलय y = ax² + bx + c का शीर्ष x = −b/(2a) पर है; y-निर्देशांक के लिए इसे प्रतिस्थापित करें।
- जाँच: मूलों का योग −b/a और गुणनफल c/a होता है।
प्रश्न और उत्तर
सूत्र के बजाय मैं गुणनखंड कब कर सकता हूँ?
जब विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो और गुणांक पूर्णांक हों, तो मूल परिमेय होते हैं और द्विघात पूर्णांकों पर गुणनखंडित हो जाता है, जैसे 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)। अन्यथा द्विघात सूत्र विश्वसनीय विधि है।
ऋणात्मक विविक्तकर का क्या अर्थ है?
परवलय x-अक्ष को नहीं काटता, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। दोनों मूल सम्मिश्र संयुग्मी p ± qi हैं, जो अवमंदित कंपनों और परिपथ विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में महत्त्वपूर्ण हैं।
शीर्ष रूप क्या है?
y = a(x − h)² + k, जहाँ (h, k) शीर्ष है। यह परवलय का न्यूनतम (a > 0) या अधिकतम (a < 0) सीधे दिखाता है और पूर्ण वर्ग बनाने से मिलता है।
यदि a = 0 हो तो?
तब समीकरण रैखिक है, bx + c = 0, जिसका एकमात्र हल x = −c/b है। द्विघात सूत्र शून्य से भाग देगा, इसलिए कैलकुलेटर अशून्य a माँगता है।
कैलकुलेटर यथार्थ मूल क्यों देता है?
परीक्षाओं में प्रायः दशमलव के बजाय (3 ± √17)/4 जैसे उत्तर माँगे जाते हैं। जब a, b और c पूर्णांक या दशमलव हों, तो कैलकुलेटर यथार्थ भिन्नों के साथ काम करता है और वर्गमूल को सरल करता है।
स्वयं अभ्यास करें
सम्मिश्र संख्याएँ का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।