प्रसामान्य बंटन: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: प्रसामान्य बंटन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: एक पुच्छ में क्षेत्रफल मध्यम: दो मानों के बीच क्षेत्रफल कठिन: शततमक हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त प्रसामान्य बंटन अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: एक पुच्छ में क्षेत्रफल, दो मानों के बीच क्षेत्रफल, शततमक।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 67.5 अंक से अधिक है? P(X > x) को दशमलव में ज्ञात कीजिए।

μ = 65σ = 10x = 67.5

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानएक पुच्छ में क्षेत्रफल
मध्यमदो मानों के बीच क्षेत्रफल
कठिनशततमक

प्रसामान्य बंटन के प्रश्न कैसे हल करें

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

सामान्य गलतियाँ

तालिका को गलत पुच्छ के लिए पढ़ना।
σ से भाग देना भूल जाना।
50% से नीचे के शतमकों के लिए z का चिह्न उलटा लेना।

मुख्य सूत्र

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

प्रसामान्य बंटन शुरू से सीखें

इससे पहले: वर्णनात्मक सांख्यिकी

1घंटी वक्र

कई राशियाँ, जैसे ऊँचाई, IQ अंक या मशीन से बने पैकेटों का भार, प्रसामान्य बंटन का पालन करती हैं। अधिकांश मान बीच के पास होते हैं, और दूर के मान दुर्लभ।

ग्राफ़ एक सममित घंटी है। उसकी दो संख्याएँ हैं: माध्य μ, जहाँ शिखर है, और मानक विचलन σ, जो चौड़ाई तय करता है।

मुख्य विचार: प्रायिकता वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है। कुल क्षेत्रफल 1 है। छायांकित बायें आधे का क्षेत्रफल 0.5 है, इसलिए सभी मानों में से आधे माध्य से नीचे हैं।

लगभग 68% मान माध्य के एक σ के भीतर होते हैं, और लगभग 95% दो σ के भीतर।

स्व-जाँच पैकेटों का भार प्रसामान्य बंटित है जिसका माध्य 500 g है। पैकेटों का कौन-सा अंश 500 g से कम भार का है?

0.5
0.68
0.95
यह σ पर निर्भर करता है

उत्तर: 0.5. वक्र माध्य के चारों ओर सममित है, इसलिए σ चाहे जो हो, ठीक आधा क्षेत्रफल μ से नीचे है। 0.68 दोनों ओर एक σ के भीतर का क्षेत्रफल है।

2z-अंक और सारणी

हर प्रसामान्य बंटन उसी मानक प्रसामान्य वक्र (माध्य 0, σ = 1) में बदल जाता है जब आप मान x को z-अंक में बदलते हैं:

z = (x − μ) / σ

सारणी Φ(z) देती है: z के बायीं ओर का क्षेत्रफल। उदाहरण के लिए Φ(1.2) = 0.8849, इसलिए 88.49% मान z = 1.2 से नीचे हैं।

x से नीचे: P(X < x) = Φ(z)।
x से ऊपर: P(X > x) = 1 − Φ(z), क्योंकि कुल क्षेत्रफल 1 है।
ऋणात्मक z के लिए: सममिति से Φ(−z) = 1 − Φ(z)। इसलिए Φ(−1.2) = 0.1151।

जो मान आप अक्सर देखेंगे: Φ(1) = 0.8413, Φ(1.5) = 0.9332, Φ(2) = 0.9772।

स्व-जाँच Φ(1.2) = 0.8849 है। P(Z > 1.2) क्या है?

0.1151
0.3849
0.8849
1.2

उत्तर: 0.1151. सारणी बायीं ओर का क्षेत्रफल देती है। दायीं ओर का क्षेत्रफल 1 − 0.8849 = 0.1151 है। 0.8849 को सीधे लेना गलत सिरा पढ़ना है।

3दो मानों के बीच और प्रतिशतक

दो मानों के बीच के क्षेत्रफल के लिए दोनों बायें क्षेत्रफलों को घटाएँ: ऊपरी मान से नीचे सब कुछ, घटा निचले मान से नीचे सब कुछ।

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

प्रतिशतक पीछे की ओर काम करता है। 90वाँ प्रतिशतक वह मान है जिसके बायें 90% क्षेत्रफल हो।

वह z ज्ञात करें जिसके लिए Φ(z) क्षेत्रफल के बराबर हो। 90% के लिए z = 1.2816। 80% के लिए z = 0.8416।
वापस x में बदलें: x = μ + z · σ।

50% से नीचे के प्रतिशतक के लिए z ऋणात्मक होता है। 10वें प्रतिशतक का z = −1.2816 है।

स्व-जाँच IQ अंक प्रसामान्य हैं जिनमें μ = 100 और σ = 15 है। 80वें प्रतिशतक का z 0.8416 है। 80वाँ प्रतिशतक क्या है?

100.8
112.6
115
87.4

उत्तर: 112.6. x = 100 + 0.8416 · 15 = 112.6। ऋण चिह्न लेने पर 87.4 आता है, जो 20वाँ प्रतिशतक है; 100.8 में σ से गुणा करना भूल गए हैं।

4विधि चरण-दर-चरण

घंटी वक्र का रेखाचित्र बनाएँ, μ और मान (मानों) को चिह्नित करें, और पूछा गया क्षेत्रफल छायांकित करें।
हर मान को z-अंक में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, यानी बाईं ओर का क्षेत्रफल।
नीचे: Φ(z)। ऊपर: 1 − Φ(z)। बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)।
प्रतिशतक के लिए पीछे की ओर जाएँ: क्षेत्रफल → z → x = μ + zσ।
अपने रेखाचित्र से तुलना करें: आधे से छोटा छायांकित क्षेत्रफल 0.5 से कम संख्या देना चाहिए।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

IQ अंक प्रसामान्य बंटित हैं जिनका माध्य 100 और मानक विचलन 15 है। 91 और 121 के बीच कौन-सा अंश P है?

क्षेत्रफल का रेखाचित्र बनाएँ

छायांकित क्षेत्रफल बीच को और दाएँ पक्ष के अधिक भाग को ढकता है। 0.5 से थोड़ी ऊपर संख्या की अपेक्षा करें।

निचला z-अंक

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0.6

ऊपरी z-अंक

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1.4

दोनों क्षेत्रफल देखें

Φ(1.4) = 0.9192

Φ(−0.6) = 1 − Φ(0.6) = 1 − 0.7257 = 0.2743

घटाइए

P = 0.9192 − 0.2743 = 0.6449

यह 0.5 से थोड़ा ऊपर है, जैसा रेखाचित्र ने बताया था।

उत्तर

P ≈ 0.645: लगभग 64.5% अंक 91 और 121 के बीच हैं।

6सामान्य गलतियाँ

गलत सिरा पढ़ना: x से ऊपर का क्षेत्रफल पूछे जाने पर Φ(z) का उपयोग करना।
z-अंक में σ से भाग देना भूल जाना।
किसी अंतराल के लिए दोनों बायें क्षेत्रफलों को घटाने की जगह जोड़ देना।
50% से नीचे के प्रतिशतक के लिए z का गलत चिह्न लेना।
σ और प्रसरण σ² को आपस में उलझा देना। मानक विचलन σ से भाग दें।

स्व-जाँच परीक्षा के अंक प्रसामान्य हैं जिनमें μ = 65 और σ = 10 है। Φ(−1.5) = 0.0668 है। कौन-सा अंश 50 से ऊपर अंक पाता है?

0.0668
0.4332
0.5668
0.9332

उत्तर: 0.9332. z = (50 − 65)/10 = −1.5, और P(X > 50) = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332। 0.0668 50 से नीचे का क्षेत्रफल है: गलत सिरा। अधिकांश विद्यार्थी 50 से ऊपर अंक पाते हैं, इसलिए उत्तर बड़ा होना चाहिए।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: एक सिरे का क्षेत्रफल। एक z-अंक के साथ P(X < x) या P(X > x) ज्ञात करें।
मध्यम: उदाहरण की तरह दो मानों के बीच का क्षेत्रफल, Φ(z₂) − Φ(z₁)।
कठिन: प्रतिशतक। वह मान ज्ञात करें जिसके नीचे 80% या 90% आँकड़े आते हैं।

हमेशा पहले रेखाचित्र बनाएँ। दस सेकंड का रेखाचित्र अधिकांश सिरों की गलतियाँ पकड़ लेता है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 36.8 min से अधिक है? P(X > x) को दशमलव में ज्ञात कीजिए।

μ = 32σ = 6x = 36.8

ज्ञात करें: P(X > x)

संकेत दिखाएँ

z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
z = (36.8 − 32)/6 = 0.8.
दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z = (36.8 − 32)/6 = 0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

उत्तर

P = 0.2119

यह 21.19% है।

उदाहरण 2मध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 250 g और मानक विचलन 4 g है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 500 g और मानक विचलन 9 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 769.7 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769.7 g

ज्ञात करें: P

संकेत दिखाएँ

E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
σ = √(4² + 9²) = 9.849 g.
z = (769.7 − 750)/9.849.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

मानकीकृत करें

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

उदाहरण 3कठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 20% आते हैं (20वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 20%

ज्ञात करें: x (cm)

संकेत दिखाएँ

उलटा चलें: तालिका में वह z खोजें जिसके लिए Φ(z) = P/100 हो।
z = −0.8416.
फिर x = μ + z·σ।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

वापस x पर

x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm

उत्तर

x = 172.11 cm

प्रश्न और उत्तर

प्रसामान्य बंटन क्या है?

प्रसामान्य बंटन के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

प्रसामान्य बंटन में आम गलतियाँ क्या हैं?

तालिका को गलत पुच्छ के लिए पढ़ना।
σ से भाग देना भूल जाना।
50% से नीचे के शतमकों के लिए z का चिह्न उलटा लेना।

प्रसामान्य बंटन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: एक पुच्छ में क्षेत्रफल
मध्यम: दो मानों के बीच क्षेत्रफल
कठिन: शततमक

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

वर्णनात्मक सांख्यिकी

इसके बाद

विश्वास्यता अंतराल

कैलकुलेटर

z-स्कोर और प्रसामान्य प्रायिकता कैलकुलेटर प्रसामान्य बंटन कैलकुलेटर

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