अवकलज: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: अवकलज के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: घात नियम मध्यम: शृंखला और गुणनफल नियम कठिन: स्पर्शरेखाएँ और चरम मान हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त अवकलज अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: घात नियम, शृंखला और गुणनफल नियम, स्पर्शरेखाएँ और चरम मान।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

मान लें f(x) = −5x³ + 7x² − 4x + 9। x = −2 पर ग्राफ़ की ढाल, अर्थात f′(−2), ज्ञात करें।

f(x) = −5x³ + 7x² − 4x + 9x = −2

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अवकलज का मुफ़्त अभ्यास करें अभी अवकलज का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानघात नियम
मध्यमशृंखला और गुणनफल नियम
कठिनस्पर्शरेखाएँ और चरम मान

अवकलज के प्रश्न कैसे हल करें

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

सामान्य गलतियाँ

शृंखला नियम में आंतरिक अवकलज भूल जाना।
भागफल नियम में क्रम गलत लेना।
अचर गुणज को गुणनफल मानना।

मुख्य सूत्र

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

अवकलज शुरू से सीखें

इससे पहले: सीमाएँ

1अवकलज क्या है

अवकलज मापता है कि कोई चीज़ कितनी तेज़ी से बदलती है। यदि किसी कार की स्थिति हर घंटे 50 km बदलती है, तो उसकी चाल 50 km/h है: स्थिति के परिवर्तन की दर।

ग्राफ़ पर किसी बिंदु पर अवकलज वहाँ वक्र की प्रवणता है: बहुत पास से देखने पर वह कितनी तेज़ी से चढ़ता या उतरता है।

वह प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता है, वह सीधी रेखा जो उस बिंदु पर वक्र को बस छूती है।

y = x² के लिए x = 1 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 2 है। हम f′(1) = 2 लिखते हैं, जिसे “f प्राइम ऑफ़ 1” पढ़ते हैं।

धनात्मक अवकलज: ग्राफ़ ऊपर जाता है।
ऋणात्मक अवकलज: ग्राफ़ नीचे जाता है।
शून्य अवकलज: ग्राफ़ वहाँ समतल है, उदाहरण के लिए किसी शिखर या तल पर।

स्व-जाँच जिस बिंदु पर f का ग्राफ़ नीचे जा रहा है, वहाँ अवकलज होता है…

अपरिभाषित
ऋणात्मक
धनात्मक
शून्य

उत्तर: ऋणात्मक. अवकलज प्रवणता है। जो ग्राफ़ बाएँ से दाएँ नीचे जाता है उसकी प्रवणता ऋणात्मक होती है।

2मूल नियम

आपको हर बार सीमाओं की ज़रूरत नहीं है। कुछ नियम अधिकांश फलनों को कवर करते हैं।

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

यह घात नियम है: घात को आगे नीचे लाएँ और घात को एक घटाएँ। अतः (x³)′ = 3x² और (x)′ = 1।

अकेले अचर का अवकलज 0 है: वह बदलता नहीं।
अचर गुणक बना रहता है: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x²।
योग में हर पद का अवकलज अलग-अलग लें।

ये भी सीखें: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x और (cos x)′ = −sin x।

स्व-जाँच 4x³ − 2x + 7 का अवकलज क्या है?

12x² − 2 + 7
12x² − 2
12x³ − 2x
4x² − 2

उत्तर: 12x² − 2. हर पद पर घात नियम: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 और अचर 7 से 0 मिलता है।

3गुणनफल और श्रृंखला नियम

दो और नियम उन फलनों को संभालते हैं जो अन्य फलनों से बने हैं।

गुणनफल नियम, एक साथ गुणा किए गए दो फलनों के लिए:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

श्रृंखला नियम, किसी फलन के अंदर दूसरे फलन के लिए: बाहरी का अवकलज लें, अंदर वाले को जैसा है वैसा रखें, फिर अंदर वाले के अवकलज से गुणा करें।

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

भागफल नियम इन दोनों से निकलता है: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²।

स्व-जाँच (2x + 5)³ का अवकलज क्या है?

(2x + 5)² · 2
3(2x + 5)²
6(2x + 5)²
6x(2x + 5)²

उत्तर: 6(2x + 5)². बाहरी: 3(2x + 5)²। अंदर: (2x + 5)′ = 2। गुणा करें: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)²। अंदर वाले 2 को भूल जाना क्लासिक भूल है।

4विधि चरण-दर-चरण

संरचना देखें: पदों का योग, गुणनफल, भागफल या फलन के अंदर फलन।
पहले मूलों और भिन्नों को घातों के रूप में लिखें: √x = x^1/2 और 1/x² = x⁻²।
नियमों को बाहर से अंदर की ओर, एक-एक टुकड़ा करके लगाएँ।
परिणाम को सरल करें।
यदि कोई मान पूछा जाए, तो संख्या केवल अंत में रखें।

किसी ग्राफ़ का शिखर या तल (चरम बिंदु) ज्ञात करने के लिए f′(x) = 0 हल करें। द्वितीय अवकलज बताता है कि वह कौन-सा है: f″ < 0 अधिकतम है, f″ > 0 न्यूनतम।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

मान लें f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1। x = 0 पर प्रवणता, और स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।

पद-दर-पद अवकलन करें

हर पद पर घात नियम लगाएँ। अचर 1 लुप्त हो जाता है।

f′(x) = 3x² − 12x + 9

x = 0 पर प्रवणता

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

अतः x = 0 पर स्पर्श रेखा दाईं ओर हर इकाई पर 9 इकाई ऊपर उठती है।

अवकलज को शून्य रखें

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3

अधिकतम कौन-सा है?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 ऋणात्मक है, इसलिए x = 1 अधिकतम है। f″(3) = 6 धनात्मक है, इसलिए x = 3 न्यूनतम है।

मान ज्ञात करें

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5

f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1

ग्राफ़ इसकी पुष्टि करता है: दोनों बिंदुओं पर समतल, (1, 5) पर शिखर और (3, 1) पर तल।

उत्तर

f′(0) = 9। स्थानीय अधिकतम (1, 5) पर, स्थानीय न्यूनतम (3, 1) पर।

6सामान्य गलतियाँ

श्रृंखला नियम में अंदर वाले का अवकलज भूल जाना।
(u · v)′ = u′ · v′ लिखना। गुणनफल नियम में दो पद होते हैं।
भागफल नियम में क्रम गलत करना: ऊपर u′v − uv′ है, ऋण के साथ।
अवकलन से पहले संख्या रख देना। पहले अवकलन करें, फिर प्रतिस्थापित करें।
5x³ जैसे अचर गुणज को गुणनफल मानना। यह सरल है: 5 बस बना रहता है।

स्व-जाँच √x का अवकलज क्या है?

1/(2√x)
1/√x
2√x
½x

उत्तर: 1/(2√x). √x = x^1/2, इसलिए अवकलज ½x^−1/2 = 1/(2√x) है। पहले मूल को घात के रूप में लिखना इसे आसान बनाता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: एक बहुपद। घात नियम का उपयोग करें और दिए गए x पर प्रवणता ज्ञात करें।
मध्यम: श्रृंखला या गुणनफल नियम, उदाहरण के लिए (2x + 5)⁵ या x²·e^−x, किसी बिंदु पर मूल्यांकित।
कठिन: स्पर्श रेखाएँ और चरम बिंदु। f′(x) = 0 हल करें और तय करें कि कौन-सा बिंदु अधिकतम है।

प्रवणता वाले प्रश्नों के लिए त्वरित जाँच: मन में ग्राफ़ देखें। यदि वह वहाँ ऊपर जा रहा है, तो आपका उत्तर धनात्मक होना चाहिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

मान लें f(x) = −x⁵ + 3x² − 7x + 7। x = 1 पर ग्राफ़ की ढाल, अर्थात f′(1), ज्ञात करें।

f(x) = −x⁵ + 3x² − 7x + 7x = 1

ज्ञात करें: f′(1)

संकेत दिखाएँ

घात नियम (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ से पद-दर-पद अवकलन करें। अचर लुप्त हो जाता है।
f′(x) = −5x⁴ + 6x − 7.
अब x = 1 रखें।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

पद-दर-पद अवकलन करें

f′(x) = −5x⁴ + 6x − 7

मान रखें

f′(1) = (−5)·1⁴ + 6·1 + (−7) = −6

उत्तर

f′(1) = −6

उदाहरण 2मध्यम

मान लें f(x) = x³·e^−x। f′(1) ज्ञात करें।

f(x) = x³·e^−xx = 1

ज्ञात करें: f′(1)

संकेत दिखाएँ

u = x³ और v = e^−x के साथ गुणनफल नियम।
u′ = 3x², v′ = −1·e^−x.
f′(x) = e^−x·(3x² + (−1)·x³).

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

गुणनफल नियम

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

मान रखें

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

उत्तर

f′(1) = 0.7358

उदाहरण 3कठिन

मान लें f(x) = x³ − 13.5x² + 54x + 6। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।

f(x) = x³ − 13.5x² + 54x + 6

ज्ञात करें: x

संकेत दिखाएँ

स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ पर अवकलज शून्य होता है।
f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 0.
धनात्मक x³ पद वाले घन फलन में पहले उच्चिष्ठ (छोटा x) आता है, फिर निम्निष्ठ।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अवकलज

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

f′(x) = 0 हल करें

x = 3 या x = 6

कौन-सा क्या है

f″(x) = 6x − 27: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

उत्तर

x = 6

प्रश्न और उत्तर

अवकलज क्या है?

अवकलज के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

अवकलज में आम गलतियाँ क्या हैं?

शृंखला नियम में आंतरिक अवकलज भूल जाना।
भागफल नियम में क्रम गलत लेना।
अचर गुणज को गुणनफल मानना।

अवकलज के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: घात नियम
मध्यम: शृंखला और गुणनफल नियम
कठिन: स्पर्शरेखाएँ और चरम मान

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

सीमाएँ

इसके बाद

समाकल बहुचर कलन संख्यात्मक विधियाँ अवकल समीकरण इष्टतमीकरण अनुक्रम और श्रेणियाँ

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चरणों सहित अवकलज कैलकुलेटर

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सीमाएँ इष्टतमीकरण समाकल अनुक्रम और श्रेणियाँ बहुचर कलन अवकल समीकरण सम्मिश्र संख्याएँ संख्यात्मक विधियाँ आव्यूह और सारणिक सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ समुच्चय, संबंध और फलन ग्राफ़ सिद्धांत संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित प्रायिकता वर्णनात्मक सांख्यिकी प्रसामान्य बंटन विश्वास्यता अंतराल परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध काई-वर्ग परीक्षण

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