आव्यूह और सारणिक: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त आव्यूह और सारणिक अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: 2×2 सारणिक, 3×3 और गुणनफल, आइगेनमान और निकाय।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
A =9−6−8−5

दिखाए गए आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [9 −6; −8 −5]

सटीक उत्तर: एक पूर्ण संख्या, बिना पूर्णांकन के।

अगला प्रश्न →
आव्यूह और सारणिक का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी आव्यूह और सारणिक का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसान2×2 सारणिक
  2. मध्यम3×3 और गुणनफल
  3. कठिनआइगेनमान और निकाय

मुख्य सूत्र

2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)

आव्यूह और सारणिक शुरू से सीखें

1आव्यूह और 2×2 सारणिक

आव्यूह पंक्तियों और स्तंभों में संख्याओं की सारणी है। 2 पंक्तियों और 3 स्तंभों वाला आव्यूह 2×3 आव्यूह कहलाता है: पहले पंक्तियाँ, फिर स्तंभ।

इंजीनियर कई समीकरण एक साथ लिखने के लिए आव्यूहों का उपयोग करते हैं। निकाय 2x + y = 5 और x − y = 1 को उसके गुणांकों के आव्यूह [2 1; 1 −1] के रूप में संचित किया जाता है।

वर्ग आव्यूह की एक विशेष संख्या होती है, उसका सारणिक, जिसे det A लिखते हैं। 2×2 आव्यूह के लिए यह एक विकर्ण के गुणनफल में से दूसरे विकर्ण का गुणनफल घटाने पर मिलता है।

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

[3 1; 2 4] के लिए सारणिक 3·4 − 1·2 = 10 है।

यदि det A = 0 हो, तो आव्यूह का कोई प्रतिलोम नहीं होता, और समीकरण निकाय का कोई एकल हल नहीं होता।

स्व-जाँच [4 2; 3 5] का सारणिक क्या है? (पंक्ति 1 है 4 2, पंक्ति 2 है 3 5।)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

उत्तर: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14। दोनों गुणनफलों को जोड़ने पर 26 मिलता है, और bc − ad लेने पर −14।

23×3 सारणिक और गुणनफल

3×3 आव्यूह के लिए, पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार कीजिए। हर प्रविष्टि को उसके उपसारणिक से गुणा किया जाता है: वह 2×2 सारणिक जो उस प्रविष्टि की पंक्ति और स्तंभ को काटने पर बचता है।

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

पहली पंक्ति के अनुदिश चिह्न + − + चलते हैं। यह चिह्न-प्रतिरूप सबसे आसानी से भूला जाने वाला भाग है।

आव्यूह गुणनफल AB, A की पंक्तियों और B के स्तंभों से बनता है। पंक्ति i, स्तंभ j की प्रविष्टि, A की पंक्ति i गुणा B का स्तंभ j है: जोड़े गुणा कीजिए और जोड़ दीजिए।

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

गुणनफल तभी मौजूद होता है जब A में उतने स्तंभ हों जितनी B में पंक्तियाँ हैं। सामान्यतः AB और BA बराबर नहीं होते।

स्व-जाँच A = [2 1; 0 3] और B = [1 4; 2 1] हैं। AB में पंक्ति 1, स्तंभ 2 की प्रविष्टि क्या है?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

उत्तर: 9. A की पंक्ति 1 है (2, 1) और B का स्तंभ 2 है (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9। केवल संगत प्रविष्टियों को गुणा करने पर 1·4 = 4 मिलता है, और 13 BA की प्रविष्टि है।

3आइगेन मान और निकाय

A का आइगेन मान λ वह संख्या है जिसके लिए किसी सदिश v ≠ 0 के लिए A·v = λ·v होता है। आव्यूह उस सदिश को केवल खींचता है, घुमाता नहीं।

आप आइगेन मान अभिलक्षणिक समीकरण से ज्ञात करते हैं। यहाँ I तत्समक आव्यूह [1 0; 0 1] है।

det(A − λI) = 0

2×2 आव्यूह के लिए यह द्विघात बन जाता है। इसका मध्य गुणांक अनुरेख a + d है, और अचर पद det A है:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

[4 1; 2 3] के लिए: λ² − 7λ + 10 = 0, इसलिए (λ − 2)(λ − 5) = 0 और आइगेन मान 2 और 5 हैं।

क्रैमर का नियम सारणिकों से निकाय हल करता है। A के स्तंभ i को दाएँ पक्ष से बदलकर Ai पाइए, फिर xi = det Ai / det A।

2x + y = 5 और x − y = 1 के लिए: det A = −3 और det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, इसलिए x = −6/−3 = 2।

स्व-जाँच [2 1; 1 2] का बड़ा आइगेन मान क्या है?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

उत्तर: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 से (λ − 1)(λ − 3) = 0 मिलता है, इसलिए आइगेन मान 1 और 3 हैं। 4 अनुरेख है, जो आइगेन मानों का योग है, उनमें से कोई एक नहीं।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. आव्यूह को हर ऋण चिह्न सहित ध्यान से उतारिए।
  2. 2×2 सारणिक: ad − bc।
  3. 3×3 सारणिक: पहली पंक्ति की हर प्रविष्टि के लिए, उसकी पंक्ति और स्तंभ काटिए और 2×2 उपसारणिक ज्ञात कीजिए।
  4. चिह्नों + − + के साथ जोड़िए: a11M11 − a12M12 + a13M13।
  5. आइगेन मान: λ² − (a + d)λ + det A = 0 लिखिए और द्विघात हल कीजिए।
  6. जाँच: शून्यों की एक पंक्ति, या दो समान पंक्तियाँ, हमेशा det A = 0 देती हैं।

सुझाव: बहुत से शून्यों वाली पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसार कीजिए। हर शून्य प्रविष्टि आपका एक उपसारणिक बचाती है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

3×3 आव्यूह A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4] का सारणिक ज्ञात कीजिए।

1

पहला उपसारणिक

210131024A =

प्रविष्टि 2 की पंक्ति 1 और स्तंभ 1 काटिए। जो बचता है वह [3 1; 2 4] है।

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

दूसरा उपसारणिक

210131024A =

प्रविष्टि 1 की पंक्ति 1 और स्तंभ 2 काटिए। जो बचता है वह [1 1; 0 4] है।

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

तीसरा उपसारणिक

प्रविष्टि a13 0 है, इसलिए उसका पद उपसारणिक जो भी हो 0 है। आप उसे छोड़ सकते हैं।

4

+ − + के साथ जोड़िए

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

उत्तर जाँचें

3×3 आव्यूहों के लिए, सैरस का नियम वही मान देता है: तीन “नीचे जाते” विकर्ण गुणनफलों में से तीन “ऊपर जाते” विकर्ण गुणनफल घटाइए।

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
उत्तर

det A = 16

6सामान्य गलतियाँ

  • 3×3 प्रसार में मध्य पद का ऋण चिह्न भूल जाना।
  • ad − bc के बजाय bc − ad निकालना।
  • जब प्रविष्टि ऋणात्मक हो तो ऋण चिह्न खो देना: −2 · −3 = +6 होता है।
  • आव्यूहों को पंक्ति गुणा स्तंभ के बजाय प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि गुणा करना।
  • अभिलक्षणिक समीकरण हल करने के बजाय अनुरेख या किसी विकर्ण प्रविष्टि को आइगेन मान मान लेना।
स्व-जाँच [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2] का सारणिक क्या है?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

उत्तर: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10। मध्य पद के लिए + लेने पर 2 + 12 = 14 मिलता है, जो सबसे आम चूक है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: 2×2 आव्यूह का सारणिक, अक्सर ऋणात्मक प्रविष्टियों के साथ। ad − bc का उपयोग कीजिए।
  • मध्यम: 3×3 सारणिक या आव्यूह गुणनफल। + − + के साथ पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार कीजिए।
  • कठिन: 2×2 आव्यूह के आइगेन मान, या क्रैमर के नियम से 2×2 निकाय का एक अज्ञात।

आइगेन मानों की एक त्वरित जाँच: उनका योग अनुरेख a + d के बराबर होना चाहिए और उनका गुणनफल det A के बराबर।

ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखेंऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
A =1−8−10

दिखाए गए आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [1 −8; −1 0]

ज्ञात करें: det A

संकेत दिखाएँ
  1. 2×2 आव्यूह के लिए det = ad − bc।
  2. a और d मुख्य विकर्ण पर हैं, b और c दूसरे विकर्ण पर।
  3. ad = 0.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

विकर्ण गुणनफल

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

उत्तर

det A = −8
उदाहरण 2मध्यम
A =−153−5−1−3−513

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

ज्ञात करें: det A

संकेत दिखाएँ
  1. चिह्नों + − + के साथ पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें।
  2. हर पद एक अवयव गुणा वह 2×2 सारणिक है जो उसकी पंक्ति और स्तंभ काटने पर बचता है।
  3. उपसारणिक: 0, −30, −10.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

सहखंड प्रसार

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

उत्तर

det A = 120
उदाहरण 3कठिन
A =−3−5−2−4b =19

निकाय −3x − 5y = 1 और −2x − 4y = 9 हल करें। x ज्ञात करें।

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

ज्ञात करें: x

संकेत दिखाएँ
  1. क्रेमर नियम: x = det(Aₓ)/det(A), जहाँ Aₓ में पहले स्तंभ को दाएँ पक्ष से बदला गया है।
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20.5

उत्तर

x = 20.5
y = −12.5

प्रश्न और उत्तर

आव्यूह और सारणिक क्या है?

इंजीनियर कई समीकरण एक साथ लिखने के लिए आव्यूहों का उपयोग करते हैं। निकाय 2x + y = 5 और x − y = 1 को उसके गुणांकों के आव्यूह [2 1; 1 −1] के रूप में संचित किया जाता है।

वर्ग आव्यूह की एक विशेष संख्या होती है, उसका सारणिक, जिसे det A लिखते हैं। 2×2 आव्यूह के लिए यह एक विकर्ण के गुणनफल में से दूसरे विकर्ण का गुणनफल घटाने पर मिलता है।

आव्यूह और सारणिक के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

आव्यूह और सारणिक के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: 2×2 सारणिक
  • मध्यम: 3×3 और गुणनफल
  • कठिन: आइगेनमान और निकाय

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

कैलकुलेटर

आव्यूह सारणिक और व्युत्क्रम कैलकुलेटरआइगेन मान और आइगेन सदिश कैलकुलेटररैखिक समीकरण निकाय हल करने वाला (2×2 और 3×3)

इस विषय वाले कोर्स

इंजीनियरिंग गणितअभियांत्रिकी गणित 2संख्यात्मक विधियाँ

गणित और सांख्यिकी में और विषय

सीमाएँअवकलजइष्टतमीकरणसमाकलअनुक्रम और श्रेणियाँबहुचर कलनअवकल समीकरणसम्मिश्र संख्याएँसंख्यात्मक विधियाँसदिश: अदिश और सदिश गुणनफलप्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँसमुच्चय, संबंध और फलनग्राफ़ सिद्धांतसंख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितप्रायिकतावर्णनात्मक सांख्यिकीप्रसामान्य बंटनविश्वास्यता अंतरालपरिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालरैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकाई-वर्ग परीक्षण

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित आव्यूह और सारणिक वर्कशीट
आव्यूह और सारणिक का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी आव्यूह और सारणिक का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।